Pobouření

Václav Klaus je pobouřen tím, co si akademický svět dovoluje. Pravda, není to zrovna nejčerstvější zpráva, ale někdy je s psaním lepší počkat, až pobouření vyprchá. Na obou stranách.

Předmět sporu zde vlastně není až tolik podstatný. Představitelé akademické sféry se bouří proti krokům ministerstva školství, a jelikož prezident z nějakých důvodů dnešního ministra školství — aspoň morálně — podporuje, postavil se na jeho stranu. K napsání politického pamfletu by mě taková událost nepřivedla, nebýt argumentu, který Klaus na podporu svého postoje použil.

„Pohybujeme se ve světě veřejného školství, které platí stát, respektive daňoví poplatníci, a proto také stát musí mít právo, aby o něm rozhodoval či spolurozhodoval.“

Argument je to na první poslech smysluplný, přesto ovšem problematický z několika různých pohledů.

Problém první — vymezení státu a jeho role. Od dob Ludvíka XIV. uplynulo již mnoho desítek let, a neplatí už „stát jsem já“, pro žádnou jednotlivou osobu dosazenou za objekt reference zájmena „já“. Demokratická republika možná nemá přísně ideově definováno, kdo je stát (proč by také měla mít), ale dá se asi docela bezesporně říct, že stát tvoří všichni jeho občané, akademickou obec nevyjímaje. Ministerstvo školství, a v širším pojetí pak vláda, tvoří jednu ze složek státní moci. To ovšem neznamená, že vláda přebírá morální právo disponovat prostředky státu dle svého uvážení, a ostatní subjekty mají morální povinnost tato rozhodnutí přijímat s pokorou. (Nebylo to tak formulováno explicitně, ale prezidentovo „pobouření“ přinejmenším podobnou interpretaci silně naznačuje.) Peníze ministerstva školství nenáleží ministerstvu o nic více, než akademickým senátům vysokých škol. Legitimita, s jakou vláda rozhoduje o veřejných prostředcích, se odvíjí od toho, nakolik tato rozhodnutí reprezentují vůli občanů. Soudě podle momentální popularity vlády — nic moc.

Samozřejmě, argumentace morálním právem je vždy ošidná, protože morální právo si mohou a chtějí osobovat všichni, ale ve sporech nemohou vítězit všichni. Bylo by nepříliš moudré proti Klausovu pobouření stavět jiné pobouření a proti argumentu, že občané jsou morálně povinni poslouchat vládu, stavět jako protiargument morální povinnost vlády poslouchat své občany, nebo něco podobného. (Stojí ale za to vždy zkusit situaci uvidět pod úhlem pohledu druhé strany — obvykle je podložen stejně silnými intuicemi a rozhořčením, jako pohled strany vlastní.) Moudrý politik nemyslí na své pobouření, ale na důsledky nabízejících se rozhodnutí. Což vede k druhému problému — neblahým důsledkům přílišné konformity.

Není to poprvé, co náš prezident fakticky prosazuje logiku dle hesla koho chleba jíš, toho píseň zpívej, zejména ve vztahu státní moci a státních institucí. Potíž je v tom, že i když zapomeneme na to, že řečený chleba nepatří vládě, nenabízí ona zásada vizi efektivně fungující společnosti. Je skutečně optimální, aby o alokaci prostředků na vědu, výzkum a vysokoškolskou výuku rozhodovalo ministerstvo, nebo je v zájmu státu, aby o rozdělování těchto prostředků rozhodovaly z větší míry instituce, kterých se to zejména týká? Obě varianty mají své nevýhody: ministerské regulátory můžeme snadno vinit z nekompetentnosti, akademiky ze střetu zájmů. Mám-li se klonit k některé variantě, dám spíš přednost té druhé, poněvadž nekompetentnost je zpravidla zodpovědná za více škod, než nečestné úmysly. Zvlášť když ty na straně ministerstva nakonec taktéž vyloučit nelze.

Na věc je možné podívat se i obecněji: prospívá společnosti dodržování zásady, že státní zaměstnanci a další občané jsoucí na výplatní pásce státu jsou loajálními stoupenci vládní politiky? Zde je odpověď jednoznačné ne, alespoň pokud se nechceme odchýlit od premisy liberální demokracie, na kterou jsme zvyklí. Pro ilustraci stačí nahradit akademiky jinou skupinou:

„Pokud soudy touží po naprosté nezávislosti svého rozhodování na vládě, pak by samozřejmě musely chtít i nezávislost na penězích daňových poplatníků.“

Souhlasíte? [1]

Václav Klaus tradičně je, aspoň ve verbální rovině, odhodlaným obráncem občanských svobod a demokratického zřízení. Měl by na tyto své zásady pamatovat, kdykoli jej popadne úmysl vyjádřit jako prezident republiky pohoršení nad tím, že určitá skupina občanů veřejně a otevřeně hájí své zájmy. Na tom je totiž demokracie postavena.

Poznámky
1. Autentický Klausův výrok zněl: „Pokud školy touží po naprosté nezávislosti na státu, pak by samozřejmě musely chtít i nezávislost na penězích daňových poplatníků.“

Filosofické pseudoproblémy: zedrý a molený

Každý den ráno, s železnou pravidelností, vyjde slunce. Děje se tak od nepaměti, nikdo nikdy nezaznamenal výjimku z pravidla. Můžeme proto věřit, že slunce vyjde i zítra? Jedná se o problém indukce, jednu z oblíbených hrátek filosofů.

Indukce je odvození obecného pravidla z platnosti jeho jednotlivých instancí. Obecné pravidlo je například to, že slunce vyjde každý den, instancí je třeba fakt, že slunce vyšlo 12. listopadu 1949. Pokud pro mnoho různých n ověříme platnost predikátu P(n) a zároveň nenalezneme žádné n takové, aby P(n) neplatilo, pak induktivní úvaha vede k přijetí závěru ∀n: P(n). Indukce není absolutně spolehlivá: i když platí P(1), P(2), ... P(568), klidně se může stát, že P(569) platit nebude. Zajímavým příkladem selhání indukce je Pólyova hypotéza, která říká, že pro každé přirozené číslo n větší než 2, alespoň polovina čísel menších než n má lichý počet prvočíselných faktorů. Vezměme třeba čísla menší než n = 7: lichý počet faktorů mají tři (2, 3 a 5), zatímco sudý počet faktorů mají pouze dvě: 4 (=2x2) a 6 (=2x3). Sedmička tedy není tím n, které by hypotézu ∀n: P(n) vyvrátilo. Zkusíte-li systematicky brát všechny hodnoty n od tří nahoru, pravděpodobně dojdete po chvíli k induktivnímu závěru, že hypotéza platí. Abyste našli protipříklad, museli byste mít sakra velkou trpělivost: nejnižší n, pro které P(n) selhává, je rovno 906 150 257.

Nezaručenost induktivních závěrů vzbuzovala vždy nedůvěru. Na jedné straně indukci používáme každý den, na druhé straně, pokud akceptujeme Humeův argument, nemůžeme její užití deduktivně odůvodnit. Je pravděpodobné, že nedůvěra k indukci inspirovala Popperovu filosofii vědy, která se indukci elegantně vyhýbá za cenu toho, že žádnou teorii nikdy neprohlásí za pravdivou. Nechci ovšem o tom teď spekulovat, neb mám na mysli bizarnější problémek, kterému se říká Goodmanův paradox.

Nelson Goodman se zamýšlel nad typickou induktivní úvahou, které by se mohl oddávat třeba hledač drahokamů: Všechny až doposud nalezené smaragdy byly zelené. Znamená to, že i všechny v budoucnu nalezené smaragdy budou zelené?

Zdravý rozum, zdá se, podporuje kladnou odpověď. Deduktivně odvozená jistota to není, ale vysoká pravděpodobnost ano. (Pro hnidopichy: v rámci této úvahy zelená barva není považována za součást definice smaragdu. Že v reálném světě zelená barva požadována je, a tudíž že smaragdy jsou poměrně špatný materiál pro ilustraci našeho „paradoxu“, to je výtka, již třeba směřovat přímo Goodmanovi.)

Goodman proti zdravému rozumu nasadí tuto sofistiku:

Nadefinujme si nové pojmy: budeme říkat, že objekt je zedrý (v originále grue), pokud je zelený a zároveň je rok 2020 nebo dřívější, nebo pokud je objekt modrý a zároveň je rok 2021 nebo pozdější. Analogicky, objekt je molený (bleen), je-li modrý a datum je 2020 nebo nižší, nebo je-li zelený a datum je 2021 nebo pozdější. Těmito novými pojmy jsme schopni nahradit náš starý slovník týkající se barev. Když vyjdu ven a podívám se nahoru, uvidím molené nebe a zedrou trávu [*] Jaký to představuje problém pro smaragdy a indukci? „Všechny doposud nalezené smaragdy byly zedré“, řekl by hledač drahokamů, shodou okolností čtenář Goodmanových článků. „To znamená (s vysokou pravděpodobností), že i v budoucnu budou všechny nalezené smaragdy zedré.„ Hypotéza, že všechny v budoucnu nalezené smaragdy budou zedré, je samozřejmě v konfliktu s hypotézou, že všechny smaragdy budou zelené. Kdybychom věřili první hypotéze, očekávali bychom, že po prvním lednu 2020 smaragdy zmodrají. To je pochopitelně absurdní, a tudíž Goodmanova induktivní úvaha nefunguje. A nabízí se tudíž otázka: Proč indukce funguje se slovy „zelený“ a „modrý“, zatímco nefunguje se slovy „molený“ a „zedrý“?

Je myslím plně rozumné odvrhnout nejjednodušší odpověď, a to, že (A) indukce vlastně nefunguje nikdy. Byla by to příliš vysoká cena za vyřešení triviálního paradoxu. Problematická je i další odpověď, byť na první pohled vypadá rozumněji: (B) pojmy „molený“ a „zedrý“ jsou odvozené z primitivních pojmů „zelený“ a „modrý“, a induktivních úvah se lze platně dovolávat pouze tehdy, užívají-li primitivní pojmy. Problémy jsou dva: (1) bez dalšího objasnění je „primitivnost“ příliš vágní vlastnost, a (2) mnoho induktivně odvozených zákonitostí je formulováno pomocí odvozených pojmů. Vezměme třeba zákon zachování energie; energie zpravidla není měřena přímo a je definována pomocí jiných, primitivnějších, fyzikálních veličin. V duchu námitky (1) zase jde standardní Goodmanův protiargument: Představme si člověka vychovaného ve společnosti užívající slova „molený“ a „zedrý“ (nebo významové ekvivalenty) pro označování barev. Pro takového člověka je „zelený“ nové slovo, nadefinované jako „zedrý“ do Silvestra 2019 a „molený“ po prvním lednu 2020. Z pohledu takového člověka je náš barevný slovník kompozitní, nadefinovaný pomocí primitivních goodmanovských pojmů.

Námitky pomocí viditelně vykonstruovaného myšlenkového experimentu obvykle nepovažuji za příliš relevantní (nemám například problém se smířit s tím, že člověk myslící v goodmanovských barvách je co do užití indukce ztracen), ale možná stojí za to tezi (B) modifikovat tak, aby byla proti podobným námitkám imunní. Můžeme začít třeba s touto variantou:

(C) Zedrost a molenost jsou nepřirozené pojmy. Jejich určení vyžaduje stanovit časovou hranici, 1. leden 2020, kterou si někdo vycucal z prstu. Nepřirozené vlastnosti nemohou být induktivně zobecňovány z pozorování.

Nevyhovuje-li přirozenost jako kritérium, můžeme se vždy obrátit ke staré známé Occamově břitvě:

(D) Zedrost a molenost jsou složitější pojmy než modrost a zelenost. Pozorování, že všechny doposud nalezené smaragdy byly zedré sice je evidence pro induktivní vyvození, že zedrost bude pozorována i v budoucnu, ale proti tomu stojí stejně platná induktivní úvaha vyvozující, že smaragdy budou zelené. Jelikož je druhá úvaha jednodušší, má přednost.

Nejlepší se mi ale stále jeví statistický argument.

(E) Zedrost a molenost nejsou vlastnosti předmětů, ale vlastnosti předmětů a času. Co se času týče, je statistický vzorek nereprezentativní.

Ke zjištění, zda je předmět zelený nebo modrý stačí mít oči (nebo spektrometr). Ke zjištění, zda je zedrý nebo molený potřebujeme navíc hodiny. Množina dostupných pozorování tak jsou dvojice (přirozená barva, čas), ze kterých můžeme odvodit goodmanovskou barvu. Všechny prvky množiny mají přirozená barva = zelená a čas < 2020 (což pochopitelně implikuje goodmanovská barva = zedrá). Platná induktivní úvaha obecně může znít

1. Všechny pozorované prvky nezanedbatelně velké množiny mají vlastnosti X a Y.
   
2. Tudíž pravděpodobně všechny prvky této množiny včetně těch nepozorovaných mají vlastnosti X a Y.
   

Nemůže ale být ve tvaru

1. Všechny pozorované prvky nezanedbatelně velké množiny mají vlastnosti X a Y.
   
2. Tudíž pravděpodobně všechny prvky této množiny včetně těch nepozorovaných, které nemají vlastnost Y, mají vlastnosti X.
   

Prvky množiny jsou nálezy smaragdů a vlastnost Y je čas nálezu, respektive fakt, zda byl nález učiněn před rokem 2020. Jelikož Y umíme docela dobře ovlivnit, můžeme dost dobře předpokládat, že existují i nálezy, kde Y neplatí, čímž vyloučíme platnou první induktivní úvahu. Vyloučení platné úvahy ovšem člověka neopravňuje k akceptování její neplatné modifikace.

Goodmanův paradox může být docela užitečnou ilustrací toho, že ne všechny pojmy jsou si rovny. Indukce jej ovšem přežije celkem snadno.

Uljanovsk / Simbirsk

Uljanovsk je šestisettisícové město ležící na Volze zhruba na půli cesty mezi Kazaní a Saratovem. Hlavní místní zajímavostí je Leninovo rodiště; po slavném revolucionáři se také město jmenuje. Počátkem devadesátých let se uvažovalo o návratu ke starému názvy Simbirsk, oficiální přejmenování se ale nekonalo. Přesto je staré jméno města občas neoficiálně používáno, mimo jiné třeba v názvu piva Simbirskoje.

Případné návštěvníky by mohla zajímat historka, kterou jsme s kolegou zažili po příjezdu do města těsně po půlnoci. Protože od nádraží do centra je daleko, první volba padla na komnatu otdycha, což je ubytovací zařízení přítomné na skoro každém větším ruském nádraží. Komnaty otdycha slouží cestujícím (podmínkou pro ubytování je vlastnictví jízdenky z daného místa) a obvykle bývají levnější než standardní hotely. V Uljanovsku byly ovšem dveře s nápisem комната отдыха pevně zamčené. Pomůže tedy zřízenec v informacích.

„Komnata otdycha je otevřena?“
„Co?“
„Komnata otdycha. Tady ty dveře vpravo...“
„Aha, tady nemáme komnatu otdycha. Je tu nádražní hotel.“

Budiž, jdeme do hotelu. Je to koneckonců jen pár metrů. Hotel je spolu se zbytkem nádraží postaven v klasickém reálněsocialistickém panelákovém stylu. To by mohla být záruka rozumné ceny. A skutečně, pokoj na noc za 700 rublů.

„Dobrý večer, máte volný pokoj?“
„Ano. Vaše pasy, prosím.“
(předáme pasy)
„Vy jste cizinci? Nemůžeme ubytovat cizince.“
„Proč?“
„Nemáme povolení registrovat cizince.“
„Máme registrační kartu ministerstva zahraničí, pomůže to? [*]“
„Ne.“

Zpět na bjuro informacii.

„V hotelu se jako cizinci nemůžeme ubytovat. Nemáte tu přece jenom obyčejnou komnatu otdycha?“
„Zavolám náčelníka stanice. Moment.“
(po pár minutách)
„Náčelník stanice říká, že vás v hotelu nemůžou ubytovat.“
„To víme. Jiná možnost není?“
„Ve městě jsou jenom čtyři hotely, kde můžou registrovat cizince. Věnec, Okťjabrskaja, (nesrozumitelné) ... “

Je jedna hodina v noci, jde se tedy do Věnce. Problém: jediná mapa města, která je k dispozici, je můj hrubý náčrtek pořízený podle různých internetových map. Pochopitelně, hotel Věnec na něm není zakreslen. Do centra je to navíc asi čtyři kilometry. Taxikáři chtějí nehoráznou cenu, jdeme pěšky. Věnec nalezen v půl třetí. Je to mohutná budova postavená v klasickém reálněsocialistickém panelákovém stylu. To by mohla být záruka rozumné ceny...

„Máte volné pokoje?“
„Ano.“
„Můžete ubytovat cizince?“
„Samozřejmě.“
„Výborně. Kolik stojí...“
„Máme tu pokoj pro dva za 4200 rublů.“

Docela dost vzhledem k času. Dát přes dva tisíce za pět hodin spánku, když celý třídenní výlet do Kazaně a Uljanovsku (bez ubytování v Uljanovsku, pochopitelně) přišel na nějaké tři tisíce? Moje představa byla, že mimo Moskvu je levně.

„Něco levnějšího by nebylo?“
„Ne, ale můžete zkusit jiné hotely.“
„Zkoušeli jsme na nádraží, ale nejsou schopni registrovat cizince.“
„Zkusím vám zjistit, kde by vás vzali.“

Recepční byla výjimečně ochotná a obvolala několik hotelů.

„Mohou vás ubytovat v hotelu Evropa. Cena je 1800 za jednoho.“
„To není o moc levnější.“
„Ještě chtějí 500 rublů jako poplatek za registraci.“
„Za oba?“
„Za každého.“
„V tom případě vezmeme radši ten pokoj u vás. Říkala jste 4200?“
„Ano. Plus 400 rublů za registraci.“
„Cože? U vás taky? Tak nám prosím zavolejte taxík.“

Hotel Evropa není postaven v panelákovém stylu. Je to překvapivě malý dům kontrastující s okolní panelákovou džunglí. A se zamčenými dveřmi, aspoň ve čtvrt na čtyři ráno. Když už se zdá, že v hotelu nikdo není, otevřou se dveře a vyjde hoteliér.

„Vy jdete z Věnce?“
„Ano, máte tedy volný pokoj?“
„Jistě.“
„Cena je 1800 za jednoho plus 500 za registraci?“
„Ano, samozřejmě, vaše pasy prosím.“
(po pár minutách recepční vrací pasy)
„Ne.“
„Nějaký problém?“
„Bohužel, nemůžeme vás ubytovat. Jste cizinci.“
„Ale recepční z Věnce vám přeci volala a ptala se na to.“
„Ano, ale bohužel nevím, jestli vás můžu ubytovat.“
„Nevíte?“
„Nevím, jak zařídit registraci.“
„Vy neumíte registrovat cizince?“
„Ne. Kdybyste přišli dřív, mohla bych zavolat na policii a zeptat se, ale ve čtvrt na čtyři tam nikdo není.“
„Bez registrace nás ubytovat nemůžete?“
„Ne, mohla by přijít kontrola.“

Poučení je, že v zapadlejších městech člověk nikdy neví, na jaká omezení narazí, a nechcete-li probdít noc, je dobré ubytování zařizovat předem. Druhé poučení: čím větší díra, tím vyšší registrační poplatek. Aspoň v Rusku.

Po poučení pokročím k obvyklé obrazové dokumentaci.




Leninův kult má v Uljanovsku dvě centra. Jedním z nich je Leninova ulice, kde stojí jeden z domů, v nichž žila rodina Uljanovových. Ulice je na ruské poměry velmi dobře udržovaná a ozdobená sochami. Podle všeho sochy nezobrazují žádné konkrétní osoby.



Vlevo kroketové hřiště ve dvoře Leninova domu, vpravo samotný dům.



Druhým centrem kultu je Muzeum-památník V.I.Lenina. Muzeum obklopuje dům, ve kterém se Lenin narodil (je to jeden z domů na pravém snímku). Uvnitř muzea je standardní mišmaš historických artefaktů, dokumentů, obrazů a soch.



Ruských tramvají jsem se nafotil již dost, takže z Uljanovska, kde většinu vozového parku tvoří vozy T3 z Tatry Smíchov, příliš mnoho snímků nemám. Ten vlevo je z blízkosti vozovny na Radiščevovově ulici, druhý z konečné u Parku Vítězství — té trojka se trochu ztrácí v pozadí tanku IS-2.



Kuriozitou je památník písmenu jo (ë).

Uljanovská reportáž organicky navazuje na poslední reportáž z Monina, jelikož i v Uljanovsku je letecké muzeum. Zdejší specializace je ovšem civilní letectví.



Největším lákadlem je nadzvukový Tu-144, jemuž je možno za úplatu s průvodcem nahlédnout do útrob. Pohled do kokpitu a na stanoviště palubního inženýra.



Oddíl první třídy uvnitř Tu-144 a pohled na letoun zpředu.



Iljušin Il-86 bez motorů, v barvách dnes již zkrachovalého dopravce Atlant-Sojuz, a Il-18 v barvách Aeroflotu.



Vlevo Tu-116, verze bombardéru Tu-95 upravená pro přepravu osob, především vládních činitelů. Vpravo pohled do kabiny Tu-124, druhého letounu, jehož vnitřek lze navštívit. Tentokráte bez průvodce. což se projevuje „opotřebením“ vnitřního vybavení.



Stanoviště navigátora v nose letounu a kabina cestujících.



Vlevo proti sobě čumáky Tu-114 a Tu-104, vpravo polský proudový práškovač PZL M-15, vyskytující se i na fotografiích z předchozí reportáže.

Nepřímá autoreference

Toto je osmý a poslední díl seriálu o logice, který volně sleduje myšlenky D.Hofstadtera sepsané v jeho knize Gödel, Escher, Bach. Navigace: úvodní článek - předchozí díl.

V předchozích dílech tohoto seriálu jsme si ukázali výraz ∃m:P(m,n), jež má interpretaci „existuje číslo m, které je Gödelovým číslem korektního odvození výrazu, jehož G.č. je n“, neboli výraz s G.č. n je teorém formální aritmetiky“. P(m,n) je v tomto případě zkratka za nepředstavitelně dlouhý řetězec znaků z abecedy formální aritmetiky, vyjadřující primitivně rekurzivní fakt, že sekvence výrazů reprezentovaná číslem m (přes Gödelovo číslování) je důkazem výrazu reprezentovaného číslem n. Toto je předposlední krok v naší snaze reprezentovat lhářův paradox formálně, či ještě spíše ukázat, že vždy, aspoň tedy v jakémkoli formálním systému který je schopen vyjádřit primitivně rekurzivní predikáty, je možné tento paradox formulovat. Stačilo by nějak zařídit, aby ve výraz ¬∃m:P(m,n) měl Gödelovo číslo zrovna n. Můžeme samozřejmě zkoušet různá n, a dokonce různá schémata Gödelova číslování, přesto ale nemáme zaručeno, že se kýženou podmínku podaří splnit. Můžeme ale vytáhnout ještě jeden mazaný trik, který Hofstadter nazval quinování, inspirovav se jménem filosofa a logika W.Quina, jenž s trikem jako první přišel [*], a pomocí něho zkonstruovat kýžený autoreferenční výrok, přičemž autoreference dosáhneme nepřímo.

Předmětem quinování jsou výroky, a quinování jako takové je vcelku jednoduchý proces: vezmeme výrok a vložíme do něj jeho citaci (tj. kopii v uvozovkách). Momentálně se mi hodí nadefinovat si quinování tak, že citaci budu vkládat mezi druhé a třetí slovo výroku [*]. Kupříkladu, kdyby se mi zachtělo quinovat výrok „prase je savec“, výsledek bude „prase je „prase je savec“ savec“. Zvolený příklad nedělá quinování příliš velkou čest: nejenže není jasné, k čemu by se dalo použít, ale výsledek ani není gramaticky korektní výrok. Věc se začne jevit o trochu zajímavější, když povolíme quinování fragmentů výroků. Abych dlouho nechodil kolem horké kaše, předhodím ctěnému čtenářstvu quinovací verzi lhářova paradoxu:

L: quinování výrazu „quinování výrazu je nepravdivé“ je nepravdivé

Této bizarní větě je třeba rozumět následujícím způsobem: podmětem věty je zjevně výraz „quinování výrazu „quinování výrazu je nepravdivé““. Ovšem quinování výrazu „quinování výrazu je nepravdivé“ je samotný výraz L! L tedy mluví sám o sobě (a popírá svou pravdivost), aniž by používal explicitního odkazu „tento výrok“. Jistě, cenou za to je pofidérní operace quinování, kterou je nutno nadefinovat, a přítomnost uvozovek uvnitř výrazu. Našim cílem ale není mít lhářův paradox sepsán tak, aby mu bylo snadno rozumět, nýbrž tak, aby jej bylo lze snadno formalizovat. A tomuto požadavku quinovací verze paradoxu vyhovuje.

Nejdřív si ale definujeme formální aritmetickou verzi quinování. Jejím objektem tentokráte nejsou normální výroky, ale výrazy formální aritmetiky. Aritmetické quinování bude fungovat trochu odlišně od výše popsané procedury: zaprvé, do výrazu budeme doplňovat ne jeho citaci, ale jeho Gödelovo číslo zapsané standardním způsobem (tedy jako SSSS...S0). Dále, abychom se vyhnuli nepříjemnému problému spojeného s tím, kam přesně do výrazu číslo zapsat, quinovatelné výrazy musí obsahovat alespoň jednu instanci volné (tj. nekvantifikované) proměnné. Quinování nahradí všechny volné proměnné Gödelovým číslem původní formule. Samozřejmě si neodpustím příklad. Nechť původní výraz A zní (x=0). Použijeme-li Gödelovo číslování ve verzi zavedené v minulém díle, doplněné pravidlem, že znaku x odpovídá číslice 9, je Gödelovo číslo výrazu A rovno 19 542. Quinování A je pak výraz B = (SSSS...S0=0), kde v řetězci za sebou stojí přesně 19 542 písmen S [*].

Výraz B má taktéž své Gödelovo číslo, jak také jinak. To nabízí v dalším kroku zadefinovat predikátovou funkci Q(g,h) takto: pokud h je Gödelovo číslo výrazu, který vznikne quinováním výrazu, jehož Gödelovo číslo je g, je Q(g,h) rovno pravdě, a v jiných případech je rovno nepravdě. Stále užívajíce náš výběr Gödelova číslování, můžeme snadno nahlédnout, že Q(19 542 , 13 333...334 542) nabývá hodnoty pravda, je-li v druhém argumentu přesně 19 542 trojek.

Čtenář asi již očekává, že důležitou roli bude hrát primitivní rekurzivita funkce Q (která je stejně evidentní, jako u posledně definované funkce P: i vyhodnocení Q je čistě mechanická záležitost, jejíž trvání je úměrné délce výroků odpovídajících jejím parametrům). Stejně jako funkci P(m,n), i funkci Q(g,h) bude možné zakódovat do nějakého obludně komplikovaného řetězce Q(g,h). Kdybychom se hodně snažili a měli opravdu mnoho času, mohli bychom přesnou podobu tohoto řetězce v principu objevit; nic takového ale dělat nepotřebujeme, stačí nám vědomí jeho existence.

Můžeme tedy začít překládat lhářův paradox, konkrétněji výraz L, do formální podoby. Nejtěžší je část v uvozovkách (označme ji třeba U), její detaily tak ponechme nakonec. Budeme ale potřebovat její Gödelovo číslo u. Chceme říct, že quinování výrazu s G.č. u není teorém. Označím-li toto quinování jako výrok K, znamená to, že neexistuje číslo d, které by bylo G.č. odvození výroku K. K má své vlastní G.č., pochopitelně, označme jej k. Teď celou věc dáme dokupy, a dostaneme výrok

G: ¬∃d:∃k:(P(d,k)∧Q(u,k))

Pro jistotu ještě jednou přečteme: není pravda, že existuje výrok, který je quinováním výroku U a který je zároveň teorém. Pokud U zvolíme tak, že bude obsahovat aspoň jednu volnou proměnnou, bude existovat jeho quinování, a tudíž G říká, že toto quinování není teorém. Zbývá zvolit U tak, aby jeho quinováním vznikl výrok G. Což takhle zkusit tohle:

U: ¬∃d:∃k:(P(d,k)∧Q(x,k))

U a G vypadají úplně stejně, kromě toho, že U obsahuje volnou proměnnou (konrétně x), zatímco G má na jejím místě konkrétní, byť prozatím nevyčíslenou, hodnotu u. Quinováním U nahradíme volnou proměnnou x Gödelovým číslem U, to jest u, čímž dostaneme výrok G. Výrok G tak skutečně popírá svou vlastní pravdivost!

(Doporučuji čtenáři před dalším čtením věnovat pět minut promyšlení celé věci a kontrole, zda jsem se nedopustil závažného podvodu. Konkrétně by si měl být jist, že U je dobře formulovaný výrok, že není žádný problém v definici jeho Gödelova čísla u, že G je dobře definovaný výrok a že jeho interpretace je taková, jakou jsem napsal. Výroky U a G nejsou z nejprůhlednějších, a jelikož je G vlastně vyvrcholením série osmi článků, stojí za tu trochu pozornosti.)

Co jsme si vlastně ukázali, a co nikoliv
Člověk se občas setká s fatalistickými interpretacemi Gödelovy věty: Pravda neexistuje. Poznání je nemožné. Logika je nespolehlivá. Silná slova na jedné straně přispívají k nárůstu zájmu o Gödelovské problémy a logiku obecně, na druhé straně ale vytvářejí značně nadsazené představy o důležitosti podobných paradoxů. Pečlivější pohled nabádá zůstat při zemi, neb situace není tak dramatická, jak by se mohla jevit.

Především, ukázali jsme si (poněkud nepořádně — rigorózní matematik by nebyl spokojen, ale tento blog nepíšu pro přísné matematiky) formální verzi paradoxu lháře. Pokud vás nijak neznepokojuje tradiční lhářův paradox, není důvod, abyste byli znepokojeni jeho formalizovanou verzí. Jestliže gramaticky správná věta „tento výrok není pravdivý“ nezasadí smrtelnou ránu vašemu přesvědčení o možnosti poznání či platnosti logiky, proč by toto přesvědčení mělo kapitulovat před reformulovanou verzí téhož, nota bene slabší: Výrok G o sobě netvrdí, že je nepravdivý, pouze že je nedokazatelný. Pouze pokud je (byla) vaše důvěra v logiku založena na víře, že existuje formální systém, v rámci kterého lze dokázat každý pravdivý výrok o přirozených číslech a žádný nepravdivý výrok o přirozených číslech, je pro vás Gödelův objev důvodem ke znepokojení. Mám ovšem pocit, že postmoderní filosofové hledící na Gödela jako na jednoho z proroků neexistence objektivní pravdy, se pramálo zajímají o přirozená čísla.

Existují různé cesty, jak se vyrovnat s Gödelovou větou. Nejortodoxnější je připustit, že G je pravdivý výrok. Jelikož jeho pravdivost implikuje jeho nedokazatelnost, musíme pak uznat, že náš formální systém má díry a nedokáže odvodit všechny pravdy — a v širším důsledku pak i to, že žádný formální systém není schopen dokázat všechny pravdy o přirozených číslech. Existují tedy výroky, které jsou pravdivé, ale přesto formálně nedokazatelné. Jsou to zpravidla výroky tvrdící, že všechna přirozená čísla mají určitou vlastnost (kterou jsme schopni ověřit pro každé přirozené číslo zvlášť), nebo že existuje číslo mající určitou vlastnost. Je nedokazatelnost některých takových výroků znepokojující? Asi do jisté míry ano, vzhledem k tomu, že prakticky všichni matematikové a logikové přelomu devatenáctého a dvacátého století věřili v opak, ale určitě to není natolik znepokojující, aby bylo nutno váhat nad samotnou možností poznání či existencí pravdy (ať už obě fráze přesně znamenají cokoli).

Nebo můžeme uvěřit tomu, že G je ve skutečnosti nepravdivý (a tudíž je dokazatelný). K takové věci bychom byli dokonce nuceni, kdyby se podařilo opravdu G dokázat. Tato možnost už znepokojuje poněkud více, neboť ohrožuje naši důvěru v matematicky dokázané pravdy. Pokud formálně dokázaná věta není pravdivá, jak pak vůbec můžeme věřit matematice? Kdyby se v rámci Peanovy aritmetiky objevil důkaz G, měli by matematikové zřejmě tendenci axiomy Peanovy aritmetiky zavrhnout nebo aspoň revidovat. Nicméně pořád by to nic neměnilo na tom, že Peanova aritmetika je užitečným formálním systémem pro odvození obrovské spousty výroků, pomocí kterých se dá popisovat celá řada jevů existujících v přírodě i lidské společnosti. Byla by existence dokazatelných nepravdivých výroků typu „tento výrok je nepravdivý“ tak velkým problémem?

Nebo můžeme zaujmout vágnější pragmatické stanovisko a příliš se nestarat o ideály pravdivosti u výroků, jejichž předmětem jsou abstraktní objekty, případně výroky samotné. Většina lidí koneckonců nemá problém akceptovat, že tradiční lhářův paradox nemá pravdivostní hodnotu. Když ho zabalíme do hávu, ve kterém vypadá jako výrok o přirozených číslech, zdá se, že najednou jsou jeho předmětem reálné věci. Absence pravdivostní hodnoty výroku o přirozených číslech se zdá stejně absurdní, jako absence pravdivostní hodnoty výroku „včera v Klatovech pršelo“. Ale není to pouze iluze? Přirozená čísla jsou abstrakce stejného řádu jako výroky; nevadí-li, že výrok mluvící sám o sobě postrádá pravdivostní hodnotu, proč by to mělo vadit u výroku o přirozených číslech?

Pokud autoreferenční paradoxy něčím skutečně otřásají, pak jsou to představy o absolutnosti apriorních pravd odvoditelných na základě přísné logiky a nemajících jakýkoli empirický obsah. Pro mnoho filosofů byly tyto apriorní pravdy tím nejdůležitějším, čeho lidské poznání může dosáhnout. Když se ukazuje, že některé tyto pravdy se vzpírají poznatelnosti, neznamená to ovšem, že jejich pravdivost není odrazem existujícího řádu v reálném světě, ale spíš problémů ve struktuře lidského jazyka a myšlení? V reálném světě nejsou paradoxy — v Klatovech nemůže pršet a nepršet naráz.

Monino

Monino je malé město severovýchodně od Moskvy. Samotné město je nezajímavé panélákové sídliště, na jeho okraji ale leží unikátní muzeum vojenského letectví. Sovětská konstruktérská škola se v žádném případě nedržela ve vyjetých kolejích, a v Moninu lze snadno najít důkazy v podobě skutečně bizarních létajících strojů. Bohužel, ačkoli sovětský vojenský letecký průmysl nedostatkem zdrojů netrpěl a bylo ho možné počítat ke světové špičce, o sovětském a ruském muzejnictví se totéž říct nedá. Nedostatek peněz na údržbu exponátů a vybavení muzea je místy patrný.

Pokud do Monina chcete dojet, podívejte se předem důkladně na mapu, protože od nádraží není cesta k muzeu příliš dobře značena, a můžete omylem zabloudit do areálu vojenské základy. Pokladna se nachází v zadním traktu polorozpadlé budovy. Doporučuji při koupi vstupenky pouze říct nějakou krátkou frázi, například один билет, tak, aby pokladní nepoznala, že nejste Rusové. Důvod je ten, že zatímco domácí platí nějakých 70 nebo 100 rublů, pro cizince je cena 350.

A teď už k letadlům:




Tupolev Tu-4, strategický bombardér prakticky okopírovaný podle vzoru amerického B-29.



Mil V-12, největší v historii vyrobený vrtulník. Existovaly pouze dva prototypy, od sériové výroby bylo upuštěno. Video zachycující stroj v letu.



Tu-22, první sovětský nadzvukový bombardér, vyráběný od roku 1959.



Mjasiščev M-50, jiný strategický bombardér z konce padesátých let. Na rozdíl od předchozího typu se M-50 nikdy nedostal do sériové výroby.



Suchoj T-4, prototyp strategického bombardéru schopného dosáhnout rychlosti 3200 km/h. Trup je z velké části vyroben z titanu. Projekt byl opuštěn pro vysokou cenu.



Diskoplan-1, experimentální konstrukce M.V.Suchanova z roku 1950 s kruhovým křídlem.



Ilja Muromec, nejstarší těžký bombardér na světě z roku 1913, konstrukce I.Sikorského. Maximální rychlost jen o málo přesahovala 100 km/h.



Tupolev SB (скоростной бомбардировщик - rychlý bombardér) z poloviny třicátých let. Dosahoval rychlosti 450 km/h.



Ne všechny technologické podivnosti pocházejí z rýsovacích prken sovětských konstruktérů. PZL M-15 polské výroby byl jediným práškovacím letounem s proudovým motorem a jediným proudovým dvojplošníkem, nepočítáme-li experimentální stroj Henriho Coandy z roku 1910 (u kterého je sporné, zda jeho motor lze považovat za proudový, a u kterého se navíc neví, zda vůbec létal).



Vrtulník s tandemovými rotory Jakovlev Jak-24 z počátku padesátých let.



Uprostřed těžký transportní vrtulník Mil Mi-6, vpravo pak americký vrtulník s tandemovými rotory Piasecki H-21. Vrtulník vlevo neidentifikován je Kamov Ka-26.



Jakovlev Jak-36 z první poloviny šedesátých let byl první sovětský letoun s vertikálním vzletem a přistáním. Falický útvar vpředu neslouží k taranování jiných letadel, nýbrž v sobě má trysku užívanou k udržování stability právě při kolmém vzletu.



Letouny z konstrukční kanceláře Mikojana a Gureviče. Odpředu MiG-9, MiG-15, MiG-17, MiG-21, MiG-25.



Antonov An-12.



Produkce Berievovy konstrukční kanceláře patří k tomu bizarnějšímu. Zde hydroplán Be-12...



... a zde bohužel silně poškozený prototyp hydroplánu Beriev-Bartini VVA-14. Video zachycující stroj v původní podobě, včetně letových záběrů.



Antonov An-24 a za ním těžký transportní An-22 Antej.



Tupolev Tu-144, jeden z mála civilních letounů v muzeu.



„Létající bota“ MiG-105, experimentální letoun, který byl vyvinut v rámci sovětského kosmického programu Spiral, jehož konečným cílem měl být orbitální letoun / raketoplán.



Podzvukový strategický bombardér Mjasiščev M-4.



Strategický bombardér Tu-95. Tento typ (v novějších modifikacích) je stále ve výzbroji ruského letectva.



Celkový pohled na střední část venkovní expozice s vystavenými bombardéry.

Tachyony a kauzalita

Naměření nadsvětelných rychlostí neutrin v experimentu OPERA je s pravděpodobně způsobeno nějakou systematickou chybou [1]. Jeden komplikovaný experiment, jakkoli pečlivě provedený, nemůže svrhnout mnohokrát úspěšně testované teoretické představy o povaze světa. K tomu by bylo potřeba nezávisle výsledek replikovat na jiném experimentálním zařízení a jinou metodou; pak teprve by pravděpodobnosti toho, že se jedná o experimentální chybu, poklesly natolik, aby bylo možné rozumně uvažovat o objevu nového fyzikálního jevu. (Nebudu se protentokráte zaobírat tím, jaké tyto pravděpodobnosti jsou.) Přestože nevěřím, že k tomu dojde, musím se přiznat, že bych za to byl rád. Částicové experimenty posledních desetiletí zpravidla potvrzovaly teoretické modely a vedly ke stanovení hodnot fundamentálních konstant. Ačkoli tyto výsledky hrají ve fyzice nezastupitelnou roli, pro rozvoj jakékoli vědy jsou vždy nejpřínosnější výsledky překvapivé, které otevírají nové cesty k budoucímu zkoumání. A co se týká překvapivosti, potvrdí-li se správnost diskutovaných dat, těžko k nim najít na poli částicové fyziky srovnatelné zjištění.

Ať už vězí příčina publikovaných výsledků v čemkoli, neuškodí se podívat na to, co by vlastně existence částic rychlejších než světlo (tedy tachyonů) znamenala, a jaké problémy taková věc přináší. Především, co vlastně říká speciální teorie relativity o nadsvětelných rychlostech? Pro čtenářovo pohodlí nejprve rychle zopakuji některé části formalismu speciální relativity. Čtenář obeznámený s problematikou může tuto sekci přeskočit a pokračovat od druhé části.

Formalismus
Velmi se hodí pojem čtyřvektoru [*]. Čtyřvektor má jednu „časovou“ a tři „prostorové“ složky. Příkladem čtyřvektoru je polohový vektor události (událost je jen jiné slovo pro bod v prostoročase, toto slovo se používá, i když se v daném bodě nic neudálo). Jeho složky můžeme označit písmeny (t,x,y,z), celý vektor pak X. Dalším používaným čtyřvektorem je čtyřhybnost P, se složkami (E,p_x,p_y,p_z). Výhoda užití čtyřvektorů je jejich snadná manipulace při přechodu mezi souřadnými soustavami spojenými s různými pozorovateli: tyto transformace uskutečňujeme pomocí násobení čtyřvektoru maticí, která je vždy stejná pro všechny čtyřvektory. Například, jsou-li pozorovatelé A a B navzájem pootočeni o úhel α kolem osy z, pro libovolný čtyřvektor U platí U_A = Λ.U_B, kde U_A a U_B jsou vyjádření vektoru U v souřadnicích pozorovatelů A a B a



Podobně, pohybuje-li se B vůči A rychlostí v proti směru osy x, platí totéž s jinou Λ, konkrétně



kde β = v/c.

Jak je vidět, třetí a čtvrtá složka se nemění (pohybují-li se pozorovatelé vzájemně ve směru první osy). Poněvadž pro ilustraci tachyonových paradoxů nepotřebujeme ani pohyby ve směru zbývajících os, ani prostorové rotace, je neustálé vypisování třetí a čtvrté složky čtyřvektorů zvytečnou námahou. Vystačíme si s prvními dvěma složkami čtyřvektorů a budu psát zkráceně X = (t,x) a P = (E,p). Taktéž je nepohodlné stále myslet na rychlost světla c: můžeme měřit vzdálenosti ve světelných sekundách, což znamená c = 1. Transformační matice mezi pozorovateli pohybujícími se vzájemně rychlostí v bude [2]



Jakákoli transformace zachovává normu čtyřvektoru definovanou jako rozdíl kvadrátů jeho časové a prostorové složky [*]. Normu čtyřvektoru U značíme U². Její zachování v transformacích znamená, že ať ji vyčíslíme v jakékoli souřadné soustavě, vyjde stejně. Pro některé čtyřvektory má tato norma své speciální jméno. Například je-li ΔX rozdíl polohových vektorů dvou událostí, jeho norma je Δs² = Δt² - Δx² a odmocnina z ní, Δs, se nazývá prostoročasový interval mezi těmito dvěma událostmi.

Transformační matice obsahuje odmocninu z 1 - v². Pro v > 1 by tato odmocnina byla imaginární číslo a transformované vektory by měly imaginární složky. Naštěstí tento problém nemusíme řešit: Vzájemná rychlost pozorovatelů v musí vždy být nižší než 1 (což je, v našich jednotkách, rychlost světla). To platí, i pokud tachyony existují — pozorovatelé se neskládají z tachyonů. Aby bylo jasné, že pozorovatelé nemohou nikdy dosáhnout rychlosti světla, musíme se podívat blíže na kinematiku částic.

Zásadní roli hraje čtyřhybnost P. Její složky E a p mají interpretaci energie a hybnosti částice popisované vektorem P. Rychlost takové částice je rovna p/E. (Tyto skutečnosti je možno „odvodit“, věnuje-li se tomu dostatek času. Zde je uvádím jako fakta.) Je-li P konstantní, platí pro částici x = pt/E + x₀, což definuje přímku v prostoročase (přímkám a jiným křivkám vytnutým pohybujícími se částicemi v prostoročase se říká světočáry).

Částice stojící v klidu má čtyřhybnost P = (m,0). Kladná konstanta m je její tzv. klidová hmotnost. Kvadrát klidové hmotnosti je vždy roven P², což fixuje vztah mezi hybností a energií (nazývaný často disperzní relací): E² = p² + m². Zkusme uvážit, co by se stalo, kdybychom částici chtěli urychlit na rychlost světla a případně vyšší. Především, kvadrát rychlosti částice by byl roven p²/E² = p² / (p² + m²) = 1 a tato rovnice nemá řešení pro konečné hodnoty p. Zrychlení na rychlost světla tak znamená dodat částici nekonečně velký impuls a nekonečně velkou energii. Jiný způsob, jak nahlédnout nemožnost dosažení rychlosti světla je uvědomit si, že z hlediska částice samotné se světlo pohybuje vždy stejně rychle; jakkoli částici zrychlujeme, z jejího pohledu je rychlost světla pořád stejně daleko. Pokud je lokální zrychlení částice z pohledu inerciální soustavy, vůči níž je tato částice v klidu [*], omezené, zrychlení měřené statickým pozorovatelem se bude asymtoticky blížit k nule, jak se rychlost bude blížit k světelné hranici. Naopak, jakákoli trajektorie, která z pohledu statického pozorovatele překročí rychlost světla, implikuje nekonečné lokální zrychlení.

Čtyřhybnost má svůj význam i pro dynamiku, vtělený do zákona zachování čtyřhybnosti, sjednocujícího zachování energie a hybnosti. Srazí-li se například dvě částice, součet jejich čtyřhybností před srážkou musí být roven součtu čtyřhybností po srážce. Taktéž pokud se částice rozpadá, musí součet čtyřhybností rozpadových produktů být roven původní čtyřhybnosti. Těchto faktů využijeme při analýze tachyonových paradoxů.

Druhy částic
Lze-li částici dostat do klidového stavu, tedy P = (m,0) s nějakou hodnotou m, disperzní relace zajišťuje, že z pohledu jakéhokoli pozorovatele je energie větší než absolutní hodnota hybnosti. Mohou ale existovat částice popsané čtyřhybností, které do podobného stavu dostat nelze? Základní principy teorie relativity existenci takových částic nevylučují; pouze implikují, že tyto částice nelze dostat do klidového stavu. Z pohledu relativistické kinematiky lze možné částice rozdělit do šesti navzájem disjunktních kategorií podle vztahu mezi hybností a energií.

1. |p|<|E|, E>0. Toto jsou částice, pro které vždy existuje souřadná soustava, vůči níž jsou v klidu, a v níž má čtyřhybnost tvar P = (m,0). Spadá sem většina známých částic. V kontextu debat o tachyonech se jim říká bradyony (řec. βραδύς = „pomalý“ vs. ταχύς „rychlý“).
   
2. |p|<|E|, E<0. I zde existuje soustava, vůči které je daná částice v klidu, ale její energie je záporná (a zůstává záporná v každé souřadné soustavě). Částice tohoto typu v přírodě nejsou pozorovány. [3]
   
3. |p|=|E|, E>0. Částice se stejnou velikostí hybnosti a energie se pohybují rychlostí světla a jejich klidová hmotnost, odmocnina z P², je nulová; proto se těmto částicím říká nehmotné. Jedinou známou nehmotnou částicí je foton [*]. Nehmotné částice nelze uvést do klidu, pohybují se rychlostí světla vůči jakémukoli pozorovateli.
   
4. |p|=|E|, E<0. Vztah této kategorie k předchozí je stejný jako u kategorií 1 a 2. Nepozorováno.
   
5. |p|>|E|. Tachyony, popis podrobněji níže.
   
6. P=(0,0). Pro úplnost uvádím i nulovou čtyřhybnost, která je kategorií sama pro sebe. „Částice“ s nulovou čtyřhybností by měla tuto čtyřhybnost vzhledem k jakémukoli pozorovateli, při srážkách s jinými objekty by jim pak předala nulový impuls, což by se na jejich drahách nijak neprojevilo. Díky tomu je taková „částice“ naprosto nedetekovatelná. Zpravidla se P=(0,0) přiřazuje absenci jakýchkoli částic, tedy vakuu.
   

Vlastnosti tachyonů
Tachyony mají řadu vlastností, které se vzpírají intuici. Mnohdy se tyto vlastnosti uvádějí jako argumenty proti existenci tachyonů, ale jak se mnohokrát v historii fyziky ukázalo, konflikt s intuicí není příliš silný argument proti existenci přírodního jevu. Navzdory svým podivným vlastnostem existence tachyonů není v logickém sporu se speciální relativitou. Podívejme se na některé podivné vlastnosti tachyonů blíže.

Často se uvádí, že tachyony mají imaginární klidovou hmotnost. Definujeme-li klidovou hmotnost jako odmocninu z P², pak je tomu tak, poněvadž pro tachyon je P² záporné. Ačkoli to vypadá divně (je problematické si vůbec představit, co znamená, že částice má imaginární hmotnost), není na tomto faktu vůbec nic paradoxního. Podstatné samozřejmě je, že tachyony nikdy nejsou v klidu; „klidová hmotnost tachyonu“ je pouze poněkud nevhodné rozšíření pojmu původně smysluplně definovaného pro hmotné částice (tj. ze skupin 1 a 2 výše uvedené klasifikace). P² má samozřejmě i u tachyonů stejnou hodnotu pro všechny pozorovatele, díky čemuž tuto veličinu lze užít pro klasifikaci tachyonů (je-li jich více druhů). Pokud nám to vyhovuje, můžeme získané záporné číslo odmocnit, říkat mu „klidová hmotnost“ a připisovat k jeho tabulkové hodnotě imaginární jednotu. To však nemění nic na tom, že žádná měřitelná veličina související s tachyony není imaginární.

Stejně tak jako normální částice nemohou být urychleny přes rychlost světla, jenžto by to vyžadovalo nekonečné zrychlení, z podobných důvodů nemohou ani tachyony být zpomaleny pod rychlost světla. Velmi podivná je věc z pohledu energie: absolutní hodnota energie roste s tím, jak se rychlost tachyonu přibližuje světelné hranici. Tato energie ale může být kladná i záporná. To na první pohled představuje problém pro stabilitu systémů obsahujících tachyony. U hmotných částic ta nejlehčí musí nutně být stabilní z kinematických důvodů; součet klidových hmotností rozpadových produktů musí být menší než klidová hmotnost rozpadlé částice, aby bylo možno vůbec splnit zachování čtyřhybnosti. Toto omezení ale funguje pouze díky tomu, že jsme omezeni na kladné energie; jelikož to u tachyonů není pravda, částice by se mohly rozpadat částečně na tachyony se zápornou energií a tak se „zadarmo“ bez ustání urychlovat. Jako ilustraci uvažme situaci, kdy máme bradyon X s hmotností 1 a tachyon Y s P² = -2. Co se kinematiky týče, X se může beztrestně rozpadnout na X a Y (rozpadovým produktem je tedy stejný druh částice, jako je ta, co se rozpadá!), třeba takto: počáteční P_X = (1,0), koncové P_X = (2,√3) a P_T = (-1,-√3). Koncové X se ale může znovu rozpadnout na X a T, tentokrát s P_X = (7,4√3) a P_T = (-5,-3√3). Samozřejmě i poté může výsledné X nadále emitovat tachyon a dále si zyšovat svou energii. To sice není nic proti zákonům logiky, ale až příliš to připomíná perpetuum mobile. Energie je sice zachovávána, ale za cenu vytváření dalších a dalších záporně energentických tachyonů.

Abychom pochopili blíže oč se jedná, musíme si uvědomit další podivnost interakce tachyonů s bradyony: vyzáření a pohlcení tachyonu jsou fundamentálně nerozlišitelné jevy. Jako modelový případ uvažujme pro změnu existenci tří typů částic: bradyonů R a S a tachyonu T. R a S mají klidové hmotnosti 1 a 0,45, T má P² = -0,2975. Nechť se R v klidu (tj. ze stavu P_R = (1,0)) rozpadne na T a S. Dostaneme

• P_S = (0,75 , -0,6), pohybuje se rychlostí v_S = -0,8
  
• P_T = (0,25 , 0,6), v_T = 2,4
  

Vidíme tedy částici R, která se náhle rozpadne na dvě částice, vlevo odletí lehce podsvětelnou rychlostí S, doprava pak vyletí nadsvětelnou rychlostí T.



(Na diagramu je tlustě vykreslena světočára částice R, plně S a přerušovaně tachyon T.)

Přejděme ovšem do soustavy jiného pozorovatele, který se pohybuje ve směru letu tachyonu rychlostí 0,8. Transformační matice je



a výsledné čtyřhybnosti vyjdou

• P_R = (1,666 , -1,333), v_T = -0,8
  
• P_S = (2,05 , -2), v_T = -0,976
  
• P_T = (-0,38333 , 0,666), v_T = -1,739
  

Znaménko hybnosti tachyonu je v tuto chvíli opačné oproti znaménku rychlosti. To je sice divné, ale v principu to ničemu nevadí [4]. Ovšem pokud si vykreslíme prostoročasový diagram procesu, vidíme oproti prvnímu pozorovateli odlišný proces:



Namísto rozpadu vidíme zprava přilétající dvojici částic R a T. V určitém momentu tachyon dožene pomalejší R a pohltí se v něm, a dále pokračuje S.

Obě dvě situace — rozpad s vylétajícím tachyonem na jedné straně a pohlcení tachyonu na druhé — musí přitom být pouze různé pohledy na jeden a tentýž proces. Jestliže se nějaká částice může rozpadat se vznikem tachyonu, musí též být schopna stejný druh tachyonu pohltit, neboť rozlišení mezi rozpadem a pohlcením není absolutní. To vrhá nové světlo na první diskutovaný modelový příklad, kdy se částice neomezeně zrychlovala vyzařováním tachyonů: je zřejmé, že z polohy jiného pozorovatele toto zrychlování probíhalo pohlcováním přilétávajících tachyonů spíše než jejich vyzařováním. Naše představy o vyzařování a pohlcování částic se ovšem zásadně liší. Pokud se částice může rozpadat, rozpadá se s určitou rychlostí (charakterizovanou třeba poločasem rozpadu) nezávisle na stavu okolního světa [*]. Naopak, aby mohla nějaká částice být pohlcena, musí předem existovat někde v okolí a obě částice do sebe musí „narazit“. Pravděpodobnost pohlcení částice tak závisí velmi silně na vlastnostech okolního prostředí, zejména na množství přilétávajících pohltitelných částic. U procesů s tachyony jsou ale pohlcování a vyzařování totéž, což zavání paradoxem. Dostáváme se tak k principu kauzality.

Princip kauzality
Princip kauzality říká, že události mají příčinu ve své minulosti. Když přijde na upřesnění, mohou se tím myslet vcelku různé věci. Proto, spíš než abych se snažil zformulovat jednoznačný a přesně definovaný princip, uvedu několik kritérií, které intuitivně pojatá kauzalita splňuje (bez nároku na úplnost).

1. Pokud jsou jevy systematicky korelovány, znamená to, že první je příčinou druhého, druhý prvního, nebo oba jsou důsledkem společné příčiny.
   
2. Příčina jevu vždy leží v jeho minulosti.
   
3. Je-li jev A příčina jevu B, pak pro pravděpodobnosti platí p(B|A) > p(B|¬A)
   
4. Pokud A a B jsou opakovatelné jevy, předchází-li A v čase B, a platí-li, že p(B|A) > p(B|¬A) za jakýchkoli okolností, pak A je příčina B.
   
5. Je-li A příčina C, při dostatečně přesném pohledu lze vždy najít jev B takový, že A je příčinou B a B je příčinou C.
   
6. Nastane-li jev C v čase t_C, pak pro jakýkoli čas t_B < t_C lze najít množinu jevů B_i nastavších v čase t_B takovou, že tvoří úplný soubor příčin jevu C; to znamená, že pro jakýkoli jev A nastavší c čase t_A < t_B platí p(C|B_i) = p(C|B_i∧A).
   
7. Kauzalita je absolutní, nezávisí na tom, z jakého pohledu se na ni díváme.
   

[5].

Před objevem teorie relativity nebyl vážný důvod zpochybňovat jakoukoli z těchto vlastností kauzality. Po jejím objevu vznikl problém: pokud je prostorová vzdálenost událostí větší, než jejich časová vzdálenost (říkáme, že interval mezi událostmi je prostorupodobný), pak jejich časové pořadí není absolutní, ale liší se z pohledu různých pozorovatelů. Pokud by dvě takové události byly korelovány za všech okolností, nemáme možnost zároveň splnit body (1), (2), (4) a (7). Podle bodů (1) a (4) je jasné, že první událost je příčinou té druhé nebo naopak, podle (2) je ta dřívější příčinou, ale protože se různí pozorovatelé neshodnou na časovém pořadí událostí, neshodnou se ani tom, co je příčina a co je důsledek, a to je ve sporu s bodem (7). Proto se standardně teorie relativity dovybavuje postulátem, že nemohou existovat fyzikální procesy, které by systematicky korelovaly prostorupodobné události. Jelikož tachyony jsou takové procesy (jednotlivé body na trajektorii jejich letu jsou navzájem prostorupodobně vzdálené), nemohou tachyony existovat.

Všechny požadavky na kauzalitu zní sice intuitivně správně, ale prokáže-li se, že tachyony přesto existují, bude nutné buď zahodit teorii relativity, nebo zahodit některý z požadavků. Teorie relativity je velmi dobře experimentálně testovaná. Výše uvedené požadavky se naopak jeví jen jako soubor omezení pro definici významu slov „kauzalita“, „příčina“ a „důsledek“. Pokud existují tachyony, nelze tato slova konsistentně definovat tak, aby všechny požadavky byly splněny. Chce se říct: No a co? Co se stane, když upustíme od požadavku (7) a budeme mít na paměti, že v některých případech může být rozlišení příčiny a následku relativní, nebo od požadavku (2) a budeme mluvit o příčinách ležících v budoucnosti svých následků, nebo (1) a připustíme systematické korelace mezi jevy, mezi nimiž nebude žádná kauzální souvislost? Slova si můžeme definovat jak chceme a naše neschopnost konsistentně sladit intuitivní požadavky na definici určitého pojmu s pozorovanými zákonitostmi přírody neznamená, že ve vesmíru dochází k paradoxům. Abychom mohli argumentovat, že princip kauzality je ve sporu s existencí tachyonů, musí princip kauzality být něčím víc, než pouze definicí několika slov. Musí být představou o tom, jak skutečně funguje příroda, formulovatelnou s užitím pojmů zavedených bez odkazu na tento princip. Existuje taková představa? Mám za to, že ano: jedná se o několik předpokladů, které jsou implicitně obsaženy v idealizovaném pojetí fyzikálních pokusů (a samozřejmě i v širším pojetí fungování světa; zformuluji tyto předpoklady fyzikálním jazykem, protože je to tak jednodušší, a protože se to hodí do kontextu debaty o tachyonech, nikoli protože by to nešlo obecněji):

1. Každý fundamentální fyzikální zákon lze zkoumat na izolovaném systému. Izolovanost znamená, že systém po dobu pokusu nepřijímá informace z okolí, tj. výsledky měření nezávisí na stavu objektů ležících mimo systém.
   
2. Izolovaný systém lze připravit do libovolného logicky přípustného stavu.
   
3. Experiment spočívá v přípravě fyzikálního systému do určitého počátečního stavu a následného měření.
   
4. Počáteční stav je úplným souborem příčin všech pozdějších výsledků měření (až do dalšího zásahu experimentátora).
   
5. Zásahy experimentátora ovlivňují budoucnost, nikoli ale minulost.
   
6. Cílem experimentu je zjistit, jak výsledky měření závisí na počátečním stavu.
   

Vyslovivše tyto předpoklady, nemáme příliš velkou obtíž nahlédnout, jak konkrétně jsou v rozporu s existencí tachyonů: popsaný ideální experiment je co do svého pojetí velmi nesymetrický vzhledem ke směru běhu času. Kritické jsou zejména body (II) a (V). Předpoklad (II) neznamená nutně, že experimentátor-pozorovatel má plnou kontrolu nad systémem (při popisu kvantových jevů má příprava experimentu povahu měření, jehož výsledek experimentátor nemůže plně zaručit). Znamená ale pořád existenci určitého druhu kontroly — i u kvantového experimentu se pozorovatel může rozhodnout, zda bude měřit nebo nikoli. Toto rozhodnutí, dle předpokladu (V), ovlivňuje události v budoucnu, ale nemůže retroaktivně ovlivnit minulost. Připravíme-li počáteční stav obsahující tachyony — nebo částice, které se mohou tachyony vyzařovat či se na ně rozpadat — ovlivníme tím pravděpodobnost jistých událostí v minulosti.

Aby bylo zřejmé, že paradoxnost nelze vyřešit pouhým vypuštěním bodu (V), uvažme klasický myšlenkový experiment, tachyonový antitelefon. V tomto experimentu si dva pozorovatelé, A a B, navzájem posílají signály pomocí tachyonů. Na počátku se oba dohodnou, že A se v náhodný moment rozhodne, že vyšle tachyon směrem k B. Jakmile B detekuje tachyonový signál, vyšle na oplátku tachyon směrem k A. Z diskuse provedené výše vyplynulo, že je-li možné vyslat tachyon, musí být možné ho vyslat do minulosti. Pokud A vyšle tachyon do minulosti a stejně učiní B po obdržení signálu, přijde odpověď k A dříve, než vyslal otázku. Aby byl paradox evidentnější, představme si, že na začátku experimentu se A rozhodne vyslat signál směrem k B v určený čas právě tehdy když předtím sám žádný signál neobdrží, a B slíbí odpovědět jakmile k němu signál dojde. To ale znamená, že pokud A žádný signál nevyšle, B žádný neobdrží a nepřepošle zpět, tudíž A signál vyšle. Naopak, pokud A signál ve sjednaný čas vyšle, B jej přepošle, což znamená, že A před sjednaným časem signál obdržel a žádný nevyšle.

Pokud si myslíte, že situaci lze vyřešit zákazem vysílat tachyony cestující zpět v čase, uvažte situaci, kdy se A a B od sebe vzdalují dostatečnou rychlostí, například v = 0,8 od počátku souřadnic [*], každý opačným směrem. Každý nechť má u sebe zářič emitující tachyony o rychlosti 2,4 směrem do budoucnosti. Tato rychlost je samozřejmě měřena vždy v soustavě pozorovatele držícího zářič emitující tachyony. Z pohledu počátku souřadnic se v takovém případě budou oba tachyony pohybovat do minulosti (výpočet pro tyto rychlosti již máme připravený výše) a A proto dostane odpověď dříve, než odešle otázku.

Jediné řešení tohoto paradoxu, které je v souladu s teorií relativity, je zavrhnout schopnost experimentátorů v libovolný moment, dle svého rozhodnutí, vyslat tachyonový signál. Máme docela dobře otestované, že experimentátoři mají vcelku dobrou schopnost dle svého rozhodnutí manipulovat s bradyonovou hmotou. Uvažujeme-li však detailněji o technickém provedení antitelefonu, ukazuje se, že schopnost operovat s bradyony k jeho konstrukci nemusí postačovat:

Nejjednodušší nápad, jak prakticky realizovat antitelefon, je vzít zářič sestávající z částic rozpadajících se na tachyony, a zavřít ho do obalu, který tachyonové záření pohlcuje. V okamžiku, kdybychom chtěli vyslat signál, otevřeme dvířka a uvolníme cestu záření. Komplikace je v tom, že hmota, která pohlcuje tachyony, zároveň musí tachyony i vyzařovat. Obal zachycující tachyony bude tedy sám vyzařovat tachyony, což činí jejich kontrolované vysílání problematickým. Podobné obtíže nás čekají při konstrukci detektoru: má-li být detektor schopen tachyony pohlcovat, bude je nutně i vyzařovat [6].

Nebudeme-li trvat na schopnosti experimentátorů s tachyony libovolně manipulovat, jejich existence (tachyonů, nikoli pozorovatelů) nakonec nemusí být vůbec paradoxní.

Závěr
Uvedené argumenty samozřejmě nepokrývají všechny problémy s tachyony. Ignoroval jsem jak otázku termodynamiky a energetické stability systémů obsahujících čstice se zápornou energií, tak i fakt, že pokud platí velmi základní předpoklady o povaze kvantové teorie elementárních částic, musí tachyon být částice skalární, to jest s nulovým spinem (což by nevadilo samo o sobě, ale vylučuje to jednoduché prohlášení neutrin za tachyony, poněvadž neutrina mají spin roven 1/2). Všechny popsané scénáře byly založeny na předpokladu, že tachyony existují a zároveň platí speciální relativita. I když bych osobně vsadil víc na relativitu než na princip kauzality, nelze vyloučit, že Lorentzova symetrie prostoročasu je narušena a tachyonové paradoxy tak lze vyřešit bez rozporování představ o kauzalitě. Zcela jsem potom ignoroval fakta svědčící o podsvětelné rychlosti neutrin, specielně detekce kosmických neutrin pocházejících z explozí supernov. Ale, jak již bylo řečeno na začátku, hovořit o existenci tachyonů lze dnes pouze na úrovni spekulací. Až kdyby další měření potvrdila nadsvětelnou anomálii, mělo by cenu se tachyony zabývat hlouběji.

Poznámky:
1. Je třeba každopádně podpořit rozhodnutí výsledek publikovat navzdory podezření, že je pouze odrazem experimentální chyby. Selektivní publikování pouze snadno obhajitelných výsledků, vede k tzv. publikačnímu biasu. Většinou se projevuje tím, že nejsou publikována negativní zjištění, protože nejsou zajímavá; zde spíše hrozilo, že k publikování nedojde, protože je zjištění příliš neuvěřitelné. V obou případech jde ale o užití rozdílných kritérií pro posuzování různých publikací, což zkresluje jejich výpovědní hodnotu.
2. Transformace mezi pozorovateli vzájemně se pohybujícími nenulovou rychlostí se nazývají vlastní Lorentzovy transformace nebo také (z angličtiny) boosty. Chceme-li zdůraznit analogii mezi boosty a prostorovými rotacemi, pomůže zavedení parametru u = arctanh v zvaného rapidita. S užitím rapidity vypadá matice boostu takto



Podobnost maticí rotace v rovině



je zjevná.
3. Specielně v kontextu teorie pole se někdy o antičásticích mluví jako o částicích se zápornou energií pohybujících se proti směru času. Tato interpretace vzniká z toho, že polní rovnice pohybu je de facto přepsaná disperzní relace E² = p² + m², která má řešení jak pro kladné, tak pro záporné hodnoty E. Poté se zpravidla provádí reinterpretace, ve které se nikoli E, ale -E bere za energii. Díváme-li se na jakýkoli druh částic izolovaně, je volba znaménka nulté složky jejich čtyřhybnosti čistě věcí konvence; uvažujeme-li interakci různého druhu části, experimentální data vynucují stejné znaménko u všech druhů částic, chceme-li, aby se čtyřhybnost zachovávala. (Zapojíme-li termodynamické úvahy, objeví se i požadavek na existenci nejnižší dosažitelné energie z důvodu stability systému, z hlediska mechaniky je to irelevantní.)
4. Tachyon se z hlediska jednoho z dvou vyšetřovaných pozorovatelů „pohybuje proti směru času“, a to v následujícím smyslu: Pokud není tachyon elementární částice a probíhají v něm nějaké fyzikální procesy, pomocí kterých lze měřit čas (tachyon má vnitřní hodiny), pak první a druhý pozorovatel uvidí tyto vnitřní procesy v navzájem opačném smyslu; jeden z nich uvidí tachyonické hodiny jít pozpátku. Který z pozorovatelů to bude je čistě záležitost toho, jak si nadefinujeme kladný směr tachyonových hodin.
5. Stručný komentář ke kritériím: (1) říká, že každá systematická korelace opakovaných jevů implikuje kauzální souvislost mezi těmito jevy. Kdybychom upustili od tohoto požadavku, nebyli bychom schopni kauzalitu vůbec rozpoznat, respektive odlišit od nekauzálních korelací. (2) a (3) jsou intuitivně jasné pořadavky. (4) říká, jak odlišit přímou kauzální souvislost od korelace způsobené společnou příčinou: je-li korelace mezi A a B výhradně důsledkem společné příčiny C, pak existují okolnosti (tehdy, kdy C nenastává), ve kterých korelace vymizí. (5) konstatuje časovou lokalitu kauzálních souvislostí: časově vzdálené příčiny nepůsobí přímo, nýbrž prostřednictvím mezidůsledků. (6) je přesnější a silnější (a případně filosoficky spornější, ačkoli ve fyzice automaticky přijímané) vyjádření téhož: jelikož jevy v čase t_A zapřičiňují C pouze prostřednictvím svých pozdějších důsledků, dostatečně podrobná znalost světa v čase t_B je schopna plně nahradit informaci o tom, že nastal jev A. Za povšimnutí stojí, že ani jedno z kritérií nevyžaduje determinismus.
6. Argument proti možnosti vyrobit navržený antitelefon není domyšlen do detailů. Není mi v tuto chvíli zcela zřejmé například to, zda energetické a směrové rozdělení tachyonů vyzařovaných obalem zářiče bude nutně stejné, jako rozdělení tachyonů pocházejících od zářiče.