Hledání tisícikorun v zásuvkách

Toto je spíš nabobtnalý diskusní příspěvek k předchozímu článku než plnohodnotný článek; do formátu diskuse by to ale bylo moc dlouhé a navíc v rámci článku je snažší psát přehledně vzorce. V debatě o pravděpodobnostech čtenář předložil zajímavý problém:

Máme [osoby] A a B a stůl s deseti zásuvkami. A schová tisícovku [do jedné zásuvky] a B označí [ne nutně stejnou] zásuvku, při shodě vyhraješ tisícovku. [Hra má] sto kol, v každém kole [se] můžeš účastnit, když zaplatíš částku x_i, ale výsledky jednotlivých kol se dozvíš až na úplném konci. Máš zaručeno, že A použije ve všech kolech stejné rozdělení, stejně tak B, ale A může mít jiné rozdělení než B (ale [...] o těchto rozděleních nic nevíš a A i B nejsou navzájem domluveni). Dále máš zaručeno, že všechny volby jsou navzájem i dohromady nezávislé (tedy jak volba A proti volbě B, tak volba A v jednom kole proti volbě A v jiném, stejně tak všechny další).

Otázky jsou:

1. Kolik je tvé x_i [nejvyšší, jež jsi ochoten zaplatit] v jednotlivých kolech? Je stejné pro různá i? Pokud ne, proč?
   
2. Pokud by namísto výplaty za každou shodu A i B byla jedna sázka (s někým uplně jiným, stejně neinformovaným/nedomluveným) taková, že vyhraješ tisícovku pouze v případě, když celkový počet shod v těch kolech bude 9,10 nebo 11, kolik by bylo tvé x pro účast v takové sázce? (FYI, pokud bych předpokládal rovnoměrné rozdělení u A i B, tak by tohle mělo být v cca 38 % případů.)
   

V původním komentáři je ještě třetí otázka, které ale zcela nerozumím a tak ji budu ignorovat. Druhá otázka skýtá závažný technický problém: postup, který zastávám, vede v tomto případě k výpočtu, který nejsem schopen přesně provést; najde-li se mezi čtenáři někdo s nápadem na řešení, budu mu povděčen. Aby čtenáři nebyli ochuzeni o plné řešení analogického problému, paralelně vyřeším „soft verzi“: počet zásuvek je tři namísto deseti, počet opakování je 9 namísto 100, alternativní sázka je na to, že v rámci devíti opakování dojde přesně ke třem shodám. Tato verze je analogická původní ve všech podstatných rysech a vede k výpočtům řešitelným v konečném čase.

Takže, jak na to? K řešení je třeba blíže se podívat na mechanismus hry. Máme dva „krupiéry“ A a B, kteří nezávisle na sobě volí z deseti / tří zásuvek. Bylo řečeno, že krupiéři vybírají zásuvky náhodně s nějakým rozdělením. Tato rozdělení určují relativní četnosti (frekventistické pravděpodobnosti) jednotlivých zásuvek. Rozdělení, jež užívá krupiér A, je charakterizováno deseti čísly a_i (podobně b_i pro krupiéra B). Dohromady budu pro stručnost zápisu mluvit o desetirozměrných vektorech a a b.

Jaké jsou tyto vektory? Úloha jasně říká, že o nich nic nevím, což lze přirozeně interpretovat tak, že žádný z vektorů nemám důvod preferovat. Bez této specifikace bych mohl spekulovat například o psychologii krupiérů, nicméně naprostá nevědomost pro mně znamená naprostou symetrii, což se projeví tím, že každé možnosti přiřadím stejnou pravděpodobnost. Ve skutečnosti samozřejmě o a a b přecijen něco vím: relativní četnosti a_i musejí být kladné a jejich součet musí být roven jedné:



(obdobně pro b_i). Rovnoměrné rozdělení tedy přiřadím jen těm vektorům, které splňují dané podmínky. Rozdělení bude vypadat takto:



(δ je Diracova δ-funkce, (n-1)! je normovací faktor; n je rovno 10, resp. 3). Pochopitelně stejné je to pro b.

Všimněte si, že nepředpokládám automaticky, že krupiéři užívají rovnoměrné rozdělení, nedosazuji tedy natvrdo (v původní verzi) a_i = 1/10. Rovnoměrné rozdělení (či obecně rozdělení s maximální Shannonovou entropií) přiřazuji svým subjektivním pravděpodobnostem, nejsou-li k dispozici informace preferující některé z možností před jinými. Čísla a_i a b_i jsou ovšem pro mne externí objektivně měřitelné parametry, které indexují navzájem se vylučující hypotézy o chování krupiérů. Každé z těchto hypotéz je přiřazena pravděpodobnost p(a,b); vzájemná nezávislost krupiérů implikuje



p(a) a p(b) jsou definované výše.

Samozřejmě, čísla a_i mají blízký vztah k subjektivním pravděpodobnostem: věřím-li, že platí hypotéza a, musím též věřit, že v každé iteraci hry je pravděpodobnost nalezení tisícovky v i-tém šupleti rovna a_i; tedy p(š_i|a) = a_i. Cokoli jiného by bylo nekonsistentní. K získání nepodmíněné pravděpodobnosti nalezení tisícovky v příslušném šupleti musím podmíněnou pravděpodobnost zintegrovat přes všechna a s vahou danou p(a). Tedy



Po dosazení vyjde p(š_i) = 1/n, tedy převrácená hodnota počtu zásuvek.

K řešení první otázky potřebujeme ale zjistit jinou pravděpodobnost: tu, že se oba krupiéři shodnou. Pravděpodobnost shody na i-té zásuvce je a_ib_i, musíme dále posčítat přes všechny zásuvky a zintegrovat přes všechna rozdělení. Tedy



Vyjde 1/n, tj. 1/10 pro původní verzi a 1/3 pro „soft“ verzi. Určit nejvyšší částku, za kterou není nevýhodné koupit právo na účast v popsané hře, je už snadné: 100, respektive 333 Kč.

Mohlo by se zdát, že jdu s kanónem na vrabce: až doposud dostávám totéž, jako kdybych přímo postuloval, že A a B sami používají rovnoměrné rozdělení. Mohl bych si ušetřit pracné integrování přes dvacetirozměrný prostor parametrů a_i, b_i. Při řešení druhé otázky ale postupy přestanou být ekvivalentní a postulováním a_i = b_i = 1/n bych nedostal hledaný výsledek. Zde potřebujeme znát, nakolik je pravděpodobné, že v sérii N her nastane shoda K krát. Pokud pravděpodobnost shody v rámci jednoho opakování hry je s, hledáme číslo



kde s = Σa_i b_i. Tuto věc musíme přeintegrovat znovu přese všechna rozdělení, takže dostaneme



Integruje se, stejně jako ve všech předchozích případech, pouze přes kladné hodnoty a_i a b_i. V původní verzi navíc musíme sečíst tři členy tohoto tvaru, s K = 9, 10, 11.

Bohužel, vyčíslit výše uvedený integrál není snadné ani s použitím počítače. V zásadě by se dalo postupovat otrocky, neboť se jedná o primitivní integrál z polynomu, ovšem jeho velikost rychle narůstá s rostoucími N a n. Proto původní verzi nejsem schopen dopočítat do konce. Má někdo z čtenářů nápad na elegantní řešení, případně rozumnou aproximaci?

V lehké verzi s N = 9, K = 3, n = 3 vyjde hledaná pravděpodobnost rovna zhruba 0,054; rozumná cena za sázku na přesně tři shody tedy nepřesáhne 54 Kč. Pro srovnání, pokud bychom měli jistotu, že oba krupiéři používají rovnoměrné rozdělení, byla by pravděpodobnost výhry rovna 0,273, více než pětkrát vyšší.

A teď slibuji, že si s pravděpodobnostmi dám na nějakou dobu pokoj.

Pravděpodobnost pravděpodobnosti

Pod článkem, ve kterém jsem se věnoval odhadování pravděpodobnosti toho, že jistí Američané odsouzení v Íránu za špionáž sedí v base právem, říká jeden z čtenářských komentářů:

Nějakou dobu jsem přemýšlel nad touto metodou určování pravděpodobnosti závěrů a myslím, že je skutečně funkčním způsobem, jak se dobrat k správnému odhadu pravděpodobnosti. Co mi na ní ale chybí je odhad spolehlivosti. Myslím, že by bylo lépe ji rozšířit od výpočet dolního a horního odhadu. Ty bych definoval přes subjektivní odhad, že s pravděpodobností p bude hodnota uvažované pravděpodobnosti vyšší/nižší než dané číslo a horní, resp. dolní odhady bych sčítal stejným způsobem, jako teď sčítáte střední hodnoty. Myslím, že zrovna u diskutované hypotézy by musel vyjít docela slušný rozptyl (odhaduji 1:20 až 20:1).

Úvaha, která na první pohled dává smysl. Ne všechny pravděpodobnosti jsou si rovny. Na jedné straně stojí takové, jako je pravděpodobnost padnutí dvojky na férové kostce: jistá, objektivní jedna šestina. Na druhé straně stojí pofidérní odhady typu pravděpodobnosti, že jakýsi neznámý člověk je špion. Jak můžeme s objektivní jistotou odhadnout něco takového?

A co říká druhý pohled?

Pojmy se nezavádějí a přesvědčení se nepřijímají pro ozdobu. Pravděpodobnosti nejsou výjimkou. K čemu je vlastně potřebujeme? Především, k rozhodování. Přikládám-li vítězství Bohemky nad Slavií pravděpodobnost 0,4, znamená to pro mě, že bych neměl vsadit na Bohemku tisícikorunu proti tisícikoruně, protože takový čin znamená očekávanou ztrátu 200 Kč. Očekávanou ztrátu dostanu tak, že přenásobím pravděpodobnost vítězství Bohemky ziskem z této události (v takovém případě vyhraji 1 000 Kč, po přenásobení zbydou čtyři stovky) a odečtu ztrátu z alternativní možnost, tj. nevýhry [*] Bohemky (zde 0,6 x 1 000 = 600). Sázet na Bohemku za těchto okolností je hloupé.

Abych mohl výpočet provést, musí pravděpodobnosti být konkrétní čísla. Věta „myslím, že Bohemka vyhraje s pravděpodobností 0,4, ale stejně dobře je možné, že vyhraje s pravděpodobností 0,8“ je možná gramaticky korektní, ale očekávaný zisk z nabízené sázky z ní neodvodím.

Pravděpodobnost vyjadřuje míru jistoty. Pravděpodobnosti rovná 1 a 0 jsou absolutní jistotou; na událost s pravděpodobností 1 jsem ochoten vsadit cokoli pod jakýmkoli kursem, protože nemám sebemenší stín obav, že by k ní nedošlo. Absence sebemenšího stínu obav z omylu je vlastností fanatiků a sebevrahů; k rozumnému rozhodování nepatří. Meze platnosti skepticismu vůči absolutní jistotě nelze ovšem natahovat přespříliš. Začneme-li pochybovat i o svých mentálních stavech, musíme přířadit pravděpodobnosti svým subjektivním pravděpodobnostem (horní a dolní odhad, který požaduje citovaný komentátor, jsou jen alternativním popisem téhož) — musíme tak zacházet s výrazy p(p(X)=a)=b, kde X je nějaký výrok a p(X) je jeho pravděpodobnost. Možná si lze představit napohled smysluplnou interpretaci výroku „pravděpodobnost, že pravděpodobnost existence mimozemšťanů je 30%, je 68%“. Věta je to nepěkná, ale při troše snahy ji rozklíčujeme. Pokud ovšem výroky o pravděpodobnostech jsou samy o sobě subjektem pravděpodobností, pokud tedy přiznáváme smysl větě p(p(X)=a)=b není žádný důvod stejný smysl nepřiznat výroku p(p(p(X)=a)=b)=c nebo p(p(p(p(X)=a)=b)=c)=d; vypisovat jejich slovní podobu by ovšem bylo hříchem proti stručnosti. Ač není problém takové výroky vyslovit, je problém přiřadit jim rozumný smysl. I když odhlédneme od absence dobrého a elegantního algoritmu rozhodování, který bere v úvahu i pravděpodobnosti pravděpodobností, samotná nutnost mít nekonečnou regresi pravděpodobnostních rozdělení pro charakterizování každého jednotlivého subjektivního přesvědčení je absurdně neelegantní a nepraktická. Je tedy potřeba řadu někde utnout, a nejpřirozenější je utnout ji hned na začátku: pravděpodobnosti jsou pevné a jisté, p(p(X)=a) nemá smysl.

(Je to pragmatismus, co vynucuje tento přístup. Snadno se zapomíná, že matematika — do které pravděpodobnostní počet spadá — není ani tak moc objektivně existující řád reality, jako spíš konstruovaná idealizace popisující určité procesy, v našem případě poznávání a rozhodování. Nic člověku v principu nebrání pravděpodobnostní počet konstruovat jinak, třeba i s nekonečnou regresí pravděpodobností, je-li tedy schopen si poradit s příslušnými technickými těžkostmi, které takový přístup přináší; síla ovšem zpravidla leží v jednoduchosti.)

Jistě, co člověk, to názor. Pravděpodobnosti tak nemohou být najednou jisté a objektivní. Chceme zachovat jistotu, musíme zahodit objektivitu. Což se občas vzpírá intuici. V tomto článku se píše o psychologickém experimentu týkajícím se pravděpodobností [*]:

Máte stůl s osmi zásuvkami. Je šance 80%, že stůl skrývá důležitý dopis. Předpokládejte, že prohledáte čtyři zásuvky a nenajdete nic. Jaká je potom šance, že stůl skrývá dopis? Jaká je šance, že ho najdete v páté zásuvce?
...
[M]noho lidí uvažovalo tak, jako kdyby „80% šance dopisu“ bylo základní vlastností nábytku, spolu s vlastnostmi jako váha, hmotnost a hustota. Mnozí mysleli, že šance, že stůl obsahuje dopis, zůstává 80% v průběhu bezúspěšného hledání. Tudíž, uvažovali, bude stále 80%, i když prohledají sedm zásuvek a nenajdou dopis žádný.

Pravděpodobnost, že stůl obsahuje dopis, ovšem není vlastností stolu; jeho vlastností je nanejvýš fakt, že dopis obsahuje (nebo nikoli). Pravděpodobnost je vlastností člověka, jenž má o stole pouze částečné informace. (Jaká je tedy pravděpodobnost, že po neúspěšném prohledání sedmi zásuvek najdete dopis v té osmé? Jestli jste neklikli na poslední odkaz, máte možnost si problém vyřešit sami.)

Jsou-li všechny pravděpodobnosti subjektivní a jisté, znamená to tedy, že není zásadního rozdílu mezi pravděpodobností, že padne na férové kostce dvojka, a pravděpodobností, že existují mimozemšťané?

V jistém smyslu ano a jistém smyslu ne. Abychom pokročili dále, je třeba rozlišit mezi dvěma druhy „pravděpodobností“.

První třída pravděpodobností jsou subjektivní pravděpodobnosti, o kterých jsem psal až doposud. Jsou to pravděpodobnosti, které určují míru víry v pravdivost daného výroku. Tyto pravděpodobnosti vstupují do výpočtu očekávaných zisků a ztrát (samozřejmě v jednotkách užitku spíše než v penězích) a určují tak rozhodnutí svých nositelů. Subjektivní pravděpodobnosti by měly být navzájem konsistentní (což vylučuje takové stavy, jako např. p(vyhraje Bohemka)=80% a p(vyhraje Slavie)=75% současně) a měly by se měnit pouze předepsaným způsobem při relevantních pozorováních. U lidí to tak pochopitelně moc dobře nefunguje, ale znovu: snažíme se najít idealizaci schopnou překonat evidentní nedokonalosti lidského uvažování, spíš než popis komplikovaných vrozených heuristik. Každopádně, jsou-li vůbec jednoznačná pravidla pro racionální určování pravděpodobností, tato pravidla berou v úvahu nikoli samotný jev, jehož se pravděpodobnosti týkají, ale pouze informace, jež o tomto jevu jsou k dispozici.

Druhá třída „pravděpodobností“ jsou relativní četnosti v rámci dlouhých (limitně nekonečných) sérií opakovaných událostí. Například procento dvojek při házení kostkou, podíl rozpadlých jader uranu za sekundu, počet lidí, kteří zemřou při autonehodě v poměru k celkové populaci... Tyto četnosti jsou objektivními vlastnostmi zkoumaných jevů (házení kostkou, rozpadu jader uranu, silničního provozu) naprosto nezávisle od dostupných informací: ať už o tom vím nebo ne, určité množství kostek se zastaví s dvojkou navrchu, určité procento jader se rozpadne, určité množství lidí nepřežije cestu vozem.

Proč vůbec dochází ke zmatení pojmů mezi oběma typy pravděpodobností? Hlavním důvodem je zřejmě fakt, že četnosti a subjektivní pravděpodobnosti jsou těsně svázané. Vezměme onu zprofanovanou kostku: relativní četnost hodů, při kterých padne dvojka, je nějaké číslo f(2); u ideální kostky házené ideálním hráčem je f(2)=1/6 a ani v reálných situacích se od této hodnoty příliš neodchyluje. Hodnota f(2) je objektivní, empiricky zjistitelné číslo, a racionální agent jistě dojde k přesvědčení, že s vysokou jistotou je rovna přibližně 1/6 — formálněji, jeho pravděpodobnostní rozdělení p(f(2)=x) bude funkce nezanedbatelně vysoká pouze v nejbližším okolí bodu x=1/6. V okamžiku, kdy takový agent dostane za úkol stanovit pravděpodobnost, že v následujícím tahu padne dvojka, bude uvažovat třeba tak:

1. Hod nezávisí poznatelným způsobem na minulých hodech ani na dalších okolnostech.
   
2. Nejlepší model kostky je tak náhodný generátor, který vrátí číslo n (od jedné do šesti) s pravděpodobností p(n,k) v k-tém hodu. Máme-li naprostou jistotu, že toto je správný model, pak p(n,k) je jedinou složkou subjektivní pravděpodobnosti toho, že v k-tém hodu padne n, a je této pravděpodobnosti přímo rovno.
   
3. Nemáme důvod předpokládat, že p(n,k) závisí na k, píšeme tedy pouze p(n).
   
4. Aby takový model reprodukoval dlouhodobé chování kostky, musí být p(n)=f(n).
   
5. Tudíž, pravděpodobnost, že padne dvojka, je rovna dlouhodobé frekvenci padání dvojky.
   

Platnost závěru pochopitelně závisí na všech premisách. Kdyby například náš racionální agent získal přístup k počítačovému systému, který je schopen vyhodnotit jemné nuance pohybů kostky i toho, kdo ji hází, a dostatečně přesně spočítat, že opravdu tentokráte padne dvojka, pak by agent byl hlupák, kdyby stále počítal s p(2)=1/6. Chce-li si agent zachovat v takové situaci přízvisko „racionální“, musí svou původní šestinu nahradit pravděpodobností, že jeho počítačový systém se v tomto případě mýlí.

V reálném světě nemáme při házení kostkou k dispozici přesné detektory ani počítačové modely. V reálném světě taktéž explicitně nedělíme své úvahy do několika triviálních bodů; všech pět podúvah se mnohem spíš shrne do jediného „rozum dá, že p(n)=f(n)“. Tato úvaha je jádrem takzvaného frekventismu. Frekventismus je ovšem silnější přesvědčení, než pouhé „často je racionální pravděpodobnosti stavět rovné četnostem (tj. frekvencím)“. Frekventisté přímo pravděpodobnosti definují pomocí četností; cokoli, co není definovatelné pomocí četnosti, není pravděpodobnost. „Výhodou“ frekventismu je, že pravděpodobnost je objektivní; někteří lidé zřejmě pociťují odpor k myšlence, že by matematika mohla zkoumat něco subjektivního, a frekventismus je toho ušetří i v teorii pravděpodobnosti. Samozřejmě, i frekventisté musejí mít nástroje k měření subjektivní nejistoty, ty se zpravidla vkrádají do hry bokem pod rouškou intervalů spolehlivosti a p-hodnot. Ale o tom jsem již psal.

Každopádně, frekventismus je to, co se dnes ve školách učí (aspoň to tak bylo, když jsem do školy chodil já, a pochybuji, že by se změnilo zrovna tohle). Nese to s sebou politováníhodné zmatení: objektivní frekventistická definice pravděpodobnosti je v konfliktu s běžným užitím tohoto slova. „Jaká je pravděpodobnost, že Bohemka vyhraje“ je pro frekventistu věta postrádající smysl, nicméně pro bookmakera v Tipsportu velmi praktická a smysluplná otázka.

Intuitivní cítění, že některé pravděpodobnosti (třeba ty u hodu kostkou) jsou jistější než jiné (třeba ty v případu domnělých špionů), je svázáno s dichotomií mezi dvěma typy pravděpodobností. Když řeknu, že pravděpodobnost pádu dvojky je 1/6, může to znamenat, že jsem na dvojku ochoten vsadit v kursu 5:1, ale může to znamenat i to, že věřím, že relativní četnost dvojek v sérii tisíce hodů bude hodně blízká 1/6 (a na to budu ochoten vsadit v mnohem nevýhodnějším kursu, v závislosti na tom, jaká blízkost 1/6 zaručí výhru). Když ale řeknu, že pravděpodobnost, že zadržení Američané jsou špioni, je 1/6, přirozeně připadá v úvahu pouze první interpretace. A i kdybych měl na mysli nějaké smysluplné četnostní čtení onoho výroku, například „1/6 všech Američanů odsouzených v Íránu za špionáž jsou skutečně špioni“, bylo by hloupé v tomto případě přikládat vysokou pravděpodobnost zrovna na 1/6, nebo jakékoli jiné konkrétní číslo, aspoň tedy v absenci jednoznačných statistických dat.

Pondělní šifra XXXIV.

Následující obrázek v sobě skrývá zašifrovanou tajenku, kterou může být slovo, výraz nebo věta dávající v češtině dobrý význam (může to být i vlastní jméno nebo cizí slovo, pokud je v češtině dostatečně často používáno). Způsob šifrování není předem specifikován, ale měl by být odhalitelný na základě relativně jednoduchých pozorování. V některých případech může být k rozluštění potřeba znalost Morseovy abecedy nebo Braillova písma.




Počínaje touto šifrou zveřejňuji zároveň i řešení.

Zobraz řešení

Řešení:
Do čtverců s dvojicemi malých písmen doplníme jedno písmeno tak, aby vzniklo smysluplné slovo (vždy vyjde název živočicha). Malá písmena pak udávají, jak máme slova uspořádat v rovině: malé písmeno se musí shodovat s velkým písmenem ve čtverci nad ním. Po uspořádání vznikne síť krychle (viz obrázek). Místa, kde písmena chybí, jsou otvory, kterými se díváme do krychle a čteme protější písmena.

Tajenka: RYPOUŠ SLONÍ

Pascalova sázka

Jméno Blaise Pascala je dnes veřejnosti známé především jako označení jednotky tlaku, části veřejnosti pak i jako název programovacího jazyka. Je ovšem otázkou, zda by s tímto druhem slávy byl Pascal sám spokojen. Stejně jako jeho slavnější kolega Isaac Newton, i Pascal byl zaníceným křesťanem, a v posledních letech svého života, poté, co prožil náboženskou vizi, považoval teologické otázky za důležitější než světské problémy matematiky a fyziky. Mluvíme-li u Pascala o posledních letech života, netřeba si představovat senilního starce: když v roce 1669 umíral, bylo mu pouhých třicet devět let.

Dá-li se génius Pascalova střihu na teologii, nedá se čekat, že bude plně ortodoxním pokračovatelem tradic. A skutečně, Pascal sympatizoval se sektou jansenistů, kteří se sice považovali za dobré katolíky, ale přesto se nevyhnuli oficiálnímu papežskému zatracení. Pascalovy výlety do říše teologie ale nejsou pouze odrazem sporů mezi jansenisty a Vatikánem (kterýžto spor se týkal zejména schopnosti člověka ovlivnit svoji spásu) — Pascal má na svém štítě přinejmenším i jeden netradiční fundamentální argument; fundamentální proto, že se týká samotného opodstatnění víry. Jsa nespokojen s neprůhlednými scholastickými sofismaty dokazujícími existenci boha pomocí principů kauzality nebo hierarchie hodnot, sestavil Pascal prostou úvahu:

„Můžete ztratit dvě věci: pravdu a dobro, a dvě věci musíte vsadit: svůj rozum a vůli, své znalosti a své štěstí; a vaše přirozenost se straní dvou věcí: chyby a bídy. Váš rozum není více raněn volbou jednoho než volbou druhého, poněvadž je třeba volit. Toť prázdný úhel pohledu. Ale co vaše štěstí? Važme zisky a ztráty, v sázce na to, že Bůh je. Uvažme obě možnosti: pokud vyhrajete, získáte všechno, pokud prohrajete, neztratíte nic. Vsaďte tedy na to, že je, bez váhání.“ (citace z Pascalových Myšlenek (Pensées), převzato z Wikipedie, vlastní překlad)

Ziskem všeho Pascal myslí fakt, že pokud bůh existuje a člověk v něho věří, přijde do nebe. Pokud ovšem bůh neexistuje, víra nemá žádné negativní následky (Pascal zastával názor, že má následky pozitivní, protože se člověk chová morálněji, ale na účinnost argumentu nemá platnost tohoto názoru zásadnější vliv). Naopak, pokud člověk vsadí na neexistenci a zmýlí se, bude se na věčnost smažit v pekle, což není zrovna příjemná vyhlídka.

Moderní strukturovaná forma argumentu může vypadat třeba takto

1. Člověk musí rozhodnou, zda bude v boha věřit nebo nikoli. (předpoklad, agnosticismus je z hlediska argumentu považován za nevíru)
   
2. Víra v boha znamená místo v nebi na dobu neurčitou jestliže bůh existuje, plus nějaké dále nespecifikované výhody nebo nevýhody víry v pozemském životě (označme X) bez ohledu na to, zda bůh existuje. (předpoklad, zjevné)
   
3. Nevíra znamená místo v pekle na dobu neurčitou jestliže bůh existuje, plus další výhody nebo nevýhody nevíry ve světském životě (Y) bez ohledu na existenci boha. (předpoklad, zjevné)
   
4. Nechť pravděpodobnost existence boha je p a užitek z různých variant označme písmenem u. Očekávaný užitek z víry je u(X) + p.u(nebe), užitek z nevíry je u(Y) + p.u(peklo). (definice symbolů)
   
5. Užitek z pobytu v určitém místě je přímo úměrný době strávené v onom místě. Jelikož je pobyt v nebi či pekle dle předpokladů 2 a 3 na věčnost a protože jakkýkoli konečně dlouhý pobyt v nebi je příjemný (kladný užitek) zatímco pobyt v pekle je nepříjemný (záporný užitek), je u(nebe) = ∞ a u(peklo) = -∞. (předpoklad, zní docela rozumně)
   
6. Užitek z X a Y je konečný. (předpoklad, také zní věrohodně)
   
7. Tudíž, užitek z víry je roven +∞ a užitek z nevíry roven -∞. (plyne z 5 a 6)
   
8. Měli bychom proto věřit. (plyne z 7 a běžně uznávaných zásad rozhodování)
   

Když jsem Pascalův argument slyšel poprvé, nevěda o autorově silném náboženském přesvědčení, domníval jsem se, že je to parodie argumentu, beroucí si na paškál praktické fungování náboženství ve své době. Argument, že bychom něčemu měli věřit, ne protože je to pravda, ale protože se to vyplatí, by člověk dnes z úst věřícího nečekal. Sázet si na existenci boha, to zní jako kupčení se svátostí, morálně stojící někde na úrovni prodeje odpustků. Náboženství, které striktně odsuzuje hazard, že by zakládalo svou důvěryhodnost na úvaze hodné gamblera? Jistě, prakticky to možné je (stejně jako byly prakticky možné odpustky), bývalo ale zvykem aspoň předstírat vyšší míru idealismu.

Na druhou stranu, když se přeneseme přes „morální šok“ plynoucí z asociace boha a sázek, přízemnost Pascalova argumentu z něj činí jeden z nejracionálnějších „důkazů“ boží existence, co byly kdy vynalezeny (znamená-li „důkaz“ jakoukoli myšlenkovou konstrukci, která člověka přiměje věřit v danou věc). Vzhledem k pokleslé úrovni celého žánru apologetiky to není příliš silný kompliment — a určitě tím nechci říct, že je Pascalův argument správně. Je ovšem alespoň natolik zajímavý, že šťourání se v důvodech jeho nesprávnosti může být inspirativní. Ačkoli totiž zdravý rozum jasně říká, že sázet na existenci boha kvůli Pascalovu zdůvodnění je hloupost, není tak snadné říct, proč je to hloupost. Protiargumentů je řada, každý útočí na jinou slabinu Pascalovy sázky přinášeje s sebou své vlastní slabiny. Podívejme se na některé z nich.

Prvním protiargument může znít: Víra není vědomé rozhodnutí. Když mi šílený sponzor nabídne sto tisíc korun za to, že uvěřím v červenou barvu Neptuna, jistě by se mi vyplatilo uvěřit. Je velmi nepravděpodobné, že kdy ztratím větší částku kvůli nesprávnému přesvědčení o barvě Neptuna, a škoda na osobní pověsti plynoucí z věřejně proneseného výroku „Neptun má sytě rudou barvu čínské vlajky“ není nijak nenapravitelná. Přesto, i když by to bylo v mém zájmu, nemohu uvěřit, že Neptun je červený. O takové věci mě může přesvědčit červená fotografie Neptuna spolu se sakra dobrým vysvětlením toho, proč všechny dříve viděné obrázky planety měly barvu modrou, ale nemůže mě o téže věci přesvědčit sto tisíc korun. Samozřejmě, mohu předstírat, že Neptun je červený, stejně dobře jako mohu předstírat, že věřím v boha; zatímco ale šílený sponzor je o mé víře informován pouze skrze má slova, vždy jsem měl za to, že bůh dle předpokladu vidí do duší svých oveček a cení si upřímnosti. Ale možná se mýlím a jansenistický bůh přetvářku neprohlédne, nebo je zarytým behavioristou a při rozhodování mezi nebem a peklem ho zajímá jenom projevené chování, a už ne vnitřní duševní stavy.

Kupodivu, na uvedený argument se moc často nenarazí. Zřejmě to souvisí s tradicí existující v rámci většiny odnoží velkých monoteismů, že víra je aktem vědomého rozhodnutí. Vždy mě udivuje, když lidé mluví o „rozhodnutí“ nebo „snaze uvěřit“ — jsou to zřejmě akty vyžadující autosugesci na úrovni, které nejsem schopen. Pascalovu sázku lze odmítnout jako běžné argumentum ad consequentiam; tím bychom ovšem ponechali specifika Pascalova argumentu stranou, a to by byla škoda.

Abych se s klidným svědomím přenesl přes právě sepsaný protiargument aniž bych musel článek v tomto bodě ukončit, budu nadále předpokládat, že bůh je skutečně behaviorista a stačí mu, když jednou týdně zajdeme na mši a nebereme jeho jméno nadarmo, a nezajímá ho, jak na to nahlížíme v soukromí svých myšlenek. Otázka tedy zní: měli bychom předstírat víru? Chceme-li zápornou odpověď, je třeba sáhnout po nějakém dalším argumentu. Dost populární je následující: Pascalův argument nespecifikuje náboženství, kterému máme věřit. Existují navzájem nekompatibilní náboženství, která si navzájem posílají věřící do pekla: když uvěříme v Hospodina a správné náboženství je přitom islám, budeme se smažit, protože jsme trávili čas ve zpovědnici a ne na modlitebním koberečku. (Tento protiargument je oslaben moderními ekumenickými tendencemi, ale moderní pojetí víry vůbec kazí radost z rozboru teologických argumentů dob minulých.)

Problém tohoto protiargumentu není, že by nefungoval. Jeho problém je, že závisí na historické náhodě, přesněji na existenci jiných náboženství slibujících věčné zatracení pro nevěřící, respektive pro věřící chybného náboženství. Považovat existenci islámu za hlavní argument proti Pascalově gambitu znamená, že kdyby islám (spolu s ostatními náboženstvími odsuzujícími nevěřící do pekla) neexistoval, museli bychom skutečně na Pascalovu radu dát. A dále, i když ostatní náboženství existují, závěr z užití popsané protiargumentace není stát se ateistou. Závěr je: přijmout to náboženství, které nabízí největší rozdíl komfortu mezi svými verzemi nebe a pekla. Islám by jistě měl šanci.

Věc můžeme trochu spravit. Pokud Pascalův argument aspiruje na obecnost, neměl by být ovlivněn tím, jaká náboženství ve světě existují a jsou vyznávána; pokud člověk skutečně věří, že rozumově nelze o existenci boha rozhodnout (což zřejmě bylo Pascalovo přesvědčení) a důvod k víře v boha spočívá ve výši očekávaného zisku, pak není důvod předpokládat, že lidé historicky dospěli ke správným faktům o povaze boha. Bylo by tak správné brát nejen existující náboženské tradice, ale i všechny další představitelné nauky o povaze boha nebo bohů. A jistě si lze představit škodolibého boha, který posílá do pekla právě a jen ty, kdo v něho věří. Agresivněji orientovaní ateističtí aktivisté by pak mohli argumentovat ve smyslu toho, že takový bůh by byl ve skutečnosti spravedlivější, než jeho tradiční protějšek.

Ačkoli je výše parafrázovaný argument standardní součástí protipascalovských filipik ateistů, stále trpí zásadními nedostatky. Podobně jako v předchozím odstavci: závěr není stát se ateistou nebo agnostikem, ale vybrat náboženství s největším rozdílem mezi „životní úrovní“ v pekle a ráji; pouze tentokrát nevybíráme pouze z náboženství už vymyšlených, nýbrž máme možnost vymýšlet si svá vlastní. Je vcelku jasné, kam takový způsob uvažování vede.

Nemyslím, že je na světě mnoho ateistů, kteří odmítají Pascalův argument kvůli obavám z výběru špatného boha. Pokud kalkulace užitků a ztrát plynoucích ze zastávání různých světonázorů hrají v odmítání víry nějakou roli, pak tu, že pokud bůh neexistuje, víra v jeho existenci má negativní důsledky. Negativní důsledky jsou sice zanedbatelně nepříjemné v porovnání s peklem, ale pravděpodobnost existence boha je tak malá, že tento rozdíl překoná. Takové uvažování může fungovat pouze tehdy, je-li rozdíl užitku mezi nebem a peklem konečný. To je v rozporu s 5. bodem Pascalova argumentu, ale možná tento bod neplatí. Třeba si člověk po nějakém čase stráveném v pekle zvykne a nebude mu to připadat tak mizerné jako na začátku...

V jednom ze starších článků jsem popsal zásadu, jak přiřazovat hypotézám apriorní pravděpodobnosti: vezmeme složitost hypotézy s(H) definovanou jako délka nejkratšího programu, který je schopný hypotézu vypsat, a hypotéze přiřadím pravděpodobnost řádu exp(-αs(H)) (konstantu α volíme tak, aby všechny navzájem se vylučující hypotézy dohromady měly pravděpodobnost 1; podstatné je, že α je stejná pro všechna H). Pascalův trik ovšem staví tuto zásadu v ohrožení, a to následujícím způsobem:

Vezměme hypotézu H(u): „pokud dnes nespláchnu stovku do záchoda, záchodové božstvo mi připraví po smrti utrpení, jehož hodnota vyjádřena pomocí užitkové funkce má hodnotu -u“ (bereme u kladné). Mám spláchnout stovku do záchoda? Racionální postup rozhodování je vzít rozdělení pravděpodobností p(H(u)) a porovnat očekávanou hodnotu škod takto vzniklých, tedy -∫ u p(H(u)) du, se škodou vzniklou vhozením stovky do záchoda. Volím pak menší zlo.

Pravděpodobnost, že H(u) je pravdivá pro jakékoli u je pochopitelně mizivá, přinejmenším tak mizivá, jak mizivá je pravděpodobnost existence záchodového božstva. Hypotéza dostává další úder pro většinu vysokých hodnot u: čím vyšší číslo, tím vyšší je jeho složitost, a tím nižší (exponenciálně) je pravděpodobnost přidružené hypotézy. Jenže — a to je hlavní problém — ne všechna obludně velká čísla jsou algoritmicky složitá. Třeba takové Grahamovo číslo G, v porovnání s kterým jsou standardní „astronomická“ čísla (jako 10¹⁰⁰) téměř přesné nuly. Program v principu schopný vypsat Grahamovo číslo přitom zabírá pár řádek.

Pravděpodobnost existence záchodového božstva, jakkoli malá by měla být, je určitě vyšší než 1/G. (A když ne, máme k dispozici čísla, která jsou ještě mnohem vyšší než G, a přitom se srovnatelně jednoduchou definicí.) Máme tedy problém: pokud budeme hypotézám, pro které není žádných důkazů, přiřazovat apriorní pravděpodobnost závislou pouze a jen na složitosti hypotézy, staneme se obětí vyděračských hypotéz analogických H(G). Hypotéz, jejichž titěrná pravděpodobnost je vyvážena nepředstavitelně velkým (ať už kladným nebo záporným) užitkem z chování implicitně v hypotéze předepsaným. Je ovšem absurdní házet stovku do záchoda kvůli hypotetické existenci záchodového božstva, stejně jako je iracionální chodit každou neděli na mši pouze kvůli strachu z hypotetického pekla. Jak to ovšem zakomponovat do formálního rozhodování, aniž bychom zbourali základy mikroekonomie či subjektivistické teorie pravděpodobnosti, o tom příště.