Pravděpodobnost pravděpodobnosti

Pod článkem, ve kterém jsem se věnoval odhadování pravděpodobnosti toho, že jistí Američané odsouzení v Íránu za špionáž sedí v base právem, říká jeden z čtenářských komentářů:

Nějakou dobu jsem přemýšlel nad touto metodou určování pravděpodobnosti závěrů a myslím, že je skutečně funkčním způsobem, jak se dobrat k správnému odhadu pravděpodobnosti. Co mi na ní ale chybí je odhad spolehlivosti. Myslím, že by bylo lépe ji rozšířit od výpočet dolního a horního odhadu. Ty bych definoval přes subjektivní odhad, že s pravděpodobností p bude hodnota uvažované pravděpodobnosti vyšší/nižší než dané číslo a horní, resp. dolní odhady bych sčítal stejným způsobem, jako teď sčítáte střední hodnoty. Myslím, že zrovna u diskutované hypotézy by musel vyjít docela slušný rozptyl (odhaduji 1:20 až 20:1).

Úvaha, která na první pohled dává smysl. Ne všechny pravděpodobnosti jsou si rovny. Na jedné straně stojí takové, jako je pravděpodobnost padnutí dvojky na férové kostce: jistá, objektivní jedna šestina. Na druhé straně stojí pofidérní odhady typu pravděpodobnosti, že jakýsi neznámý člověk je špion. Jak můžeme s objektivní jistotou odhadnout něco takového?

A co říká druhý pohled?

Pojmy se nezavádějí a přesvědčení se nepřijímají pro ozdobu. Pravděpodobnosti nejsou výjimkou. K čemu je vlastně potřebujeme? Především, k rozhodování. Přikládám-li vítězství Bohemky nad Slavií pravděpodobnost 0,4, znamená to pro mě, že bych neměl vsadit na Bohemku tisícikorunu proti tisícikoruně, protože takový čin znamená očekávanou ztrátu 200 Kč. Očekávanou ztrátu dostanu tak, že přenásobím pravděpodobnost vítězství Bohemky ziskem z této události (v takovém případě vyhraji 1 000 Kč, po přenásobení zbydou čtyři stovky) a odečtu ztrátu z alternativní možnost, tj. nevýhry [*] Bohemky (zde 0,6 x 1 000 = 600). Sázet na Bohemku za těchto okolností je hloupé.

Abych mohl výpočet provést, musí pravděpodobnosti být konkrétní čísla. Věta „myslím, že Bohemka vyhraje s pravděpodobností 0,4, ale stejně dobře je možné, že vyhraje s pravděpodobností 0,8“ je možná gramaticky korektní, ale očekávaný zisk z nabízené sázky z ní neodvodím.

Pravděpodobnost vyjadřuje míru jistoty. Pravděpodobnosti rovná 1 a 0 jsou absolutní jistotou; na událost s pravděpodobností 1 jsem ochoten vsadit cokoli pod jakýmkoli kursem, protože nemám sebemenší stín obav, že by k ní nedošlo. Absence sebemenšího stínu obav z omylu je vlastností fanatiků a sebevrahů; k rozumnému rozhodování nepatří. Meze platnosti skepticismu vůči absolutní jistotě nelze ovšem natahovat přespříliš. Začneme-li pochybovat i o svých mentálních stavech, musíme přířadit pravděpodobnosti svým subjektivním pravděpodobnostem (horní a dolní odhad, který požaduje citovaný komentátor, jsou jen alternativním popisem téhož) — musíme tak zacházet s výrazy p(p(X)=a)=b, kde X je nějaký výrok a p(X) je jeho pravděpodobnost. Možná si lze představit napohled smysluplnou interpretaci výroku „pravděpodobnost, že pravděpodobnost existence mimozemšťanů je 30%, je 68%“. Věta je to nepěkná, ale při troše snahy ji rozklíčujeme. Pokud ovšem výroky o pravděpodobnostech jsou samy o sobě subjektem pravděpodobností, pokud tedy přiznáváme smysl větě p(p(X)=a)=b není žádný důvod stejný smysl nepřiznat výroku p(p(p(X)=a)=b)=c nebo p(p(p(p(X)=a)=b)=c)=d; vypisovat jejich slovní podobu by ovšem bylo hříchem proti stručnosti. Ač není problém takové výroky vyslovit, je problém přiřadit jim rozumný smysl. I když odhlédneme od absence dobrého a elegantního algoritmu rozhodování, který bere v úvahu i pravděpodobnosti pravděpodobností, samotná nutnost mít nekonečnou regresi pravděpodobnostních rozdělení pro charakterizování každého jednotlivého subjektivního přesvědčení je absurdně neelegantní a nepraktická. Je tedy potřeba řadu někde utnout, a nejpřirozenější je utnout ji hned na začátku: pravděpodobnosti jsou pevné a jisté, p(p(X)=a) nemá smysl.

(Je to pragmatismus, co vynucuje tento přístup. Snadno se zapomíná, že matematika — do které pravděpodobnostní počet spadá — není ani tak moc objektivně existující řád reality, jako spíš konstruovaná idealizace popisující určité procesy, v našem případě poznávání a rozhodování. Nic člověku v principu nebrání pravděpodobnostní počet konstruovat jinak, třeba i s nekonečnou regresí pravděpodobností, je-li tedy schopen si poradit s příslušnými technickými těžkostmi, které takový přístup přináší; síla ovšem zpravidla leží v jednoduchosti.)

Jistě, co člověk, to názor. Pravděpodobnosti tak nemohou být najednou jisté a objektivní. Chceme zachovat jistotu, musíme zahodit objektivitu. Což se občas vzpírá intuici. V tomto článku se píše o psychologickém experimentu týkajícím se pravděpodobností [*]:

Máte stůl s osmi zásuvkami. Je šance 80%, že stůl skrývá důležitý dopis. Předpokládejte, že prohledáte čtyři zásuvky a nenajdete nic. Jaká je potom šance, že stůl skrývá dopis? Jaká je šance, že ho najdete v páté zásuvce?
...
[M]noho lidí uvažovalo tak, jako kdyby „80% šance dopisu“ bylo základní vlastností nábytku, spolu s vlastnostmi jako váha, hmotnost a hustota. Mnozí mysleli, že šance, že stůl obsahuje dopis, zůstává 80% v průběhu bezúspěšného hledání. Tudíž, uvažovali, bude stále 80%, i když prohledají sedm zásuvek a nenajdou dopis žádný.

Pravděpodobnost, že stůl obsahuje dopis, ovšem není vlastností stolu; jeho vlastností je nanejvýš fakt, že dopis obsahuje (nebo nikoli). Pravděpodobnost je vlastností člověka, jenž má o stole pouze částečné informace. (Jaká je tedy pravděpodobnost, že po neúspěšném prohledání sedmi zásuvek najdete dopis v té osmé? Jestli jste neklikli na poslední odkaz, máte možnost si problém vyřešit sami.)

Jsou-li všechny pravděpodobnosti subjektivní a jisté, znamená to tedy, že není zásadního rozdílu mezi pravděpodobností, že padne na férové kostce dvojka, a pravděpodobností, že existují mimozemšťané?

V jistém smyslu ano a jistém smyslu ne. Abychom pokročili dále, je třeba rozlišit mezi dvěma druhy „pravděpodobností“.

První třída pravděpodobností jsou subjektivní pravděpodobnosti, o kterých jsem psal až doposud. Jsou to pravděpodobnosti, které určují míru víry v pravdivost daného výroku. Tyto pravděpodobnosti vstupují do výpočtu očekávaných zisků a ztrát (samozřejmě v jednotkách užitku spíše než v penězích) a určují tak rozhodnutí svých nositelů. Subjektivní pravděpodobnosti by měly být navzájem konsistentní (což vylučuje takové stavy, jako např. p(vyhraje Bohemka)=80% a p(vyhraje Slavie)=75% současně) a měly by se měnit pouze předepsaným způsobem při relevantních pozorováních. U lidí to tak pochopitelně moc dobře nefunguje, ale znovu: snažíme se najít idealizaci schopnou překonat evidentní nedokonalosti lidského uvažování, spíš než popis komplikovaných vrozených heuristik. Každopádně, jsou-li vůbec jednoznačná pravidla pro racionální určování pravděpodobností, tato pravidla berou v úvahu nikoli samotný jev, jehož se pravděpodobnosti týkají, ale pouze informace, jež o tomto jevu jsou k dispozici.

Druhá třída „pravděpodobností“ jsou relativní četnosti v rámci dlouhých (limitně nekonečných) sérií opakovaných událostí. Například procento dvojek při házení kostkou, podíl rozpadlých jader uranu za sekundu, počet lidí, kteří zemřou při autonehodě v poměru k celkové populaci... Tyto četnosti jsou objektivními vlastnostmi zkoumaných jevů (házení kostkou, rozpadu jader uranu, silničního provozu) naprosto nezávisle od dostupných informací: ať už o tom vím nebo ne, určité množství kostek se zastaví s dvojkou navrchu, určité procento jader se rozpadne, určité množství lidí nepřežije cestu vozem.

Proč vůbec dochází ke zmatení pojmů mezi oběma typy pravděpodobností? Hlavním důvodem je zřejmě fakt, že četnosti a subjektivní pravděpodobnosti jsou těsně svázané. Vezměme onu zprofanovanou kostku: relativní četnost hodů, při kterých padne dvojka, je nějaké číslo f(2); u ideální kostky házené ideálním hráčem je f(2)=1/6 a ani v reálných situacích se od této hodnoty příliš neodchyluje. Hodnota f(2) je objektivní, empiricky zjistitelné číslo, a racionální agent jistě dojde k přesvědčení, že s vysokou jistotou je rovna přibližně 1/6 — formálněji, jeho pravděpodobnostní rozdělení p(f(2)=x) bude funkce nezanedbatelně vysoká pouze v nejbližším okolí bodu x=1/6. V okamžiku, kdy takový agent dostane za úkol stanovit pravděpodobnost, že v následujícím tahu padne dvojka, bude uvažovat třeba tak:

1. Hod nezávisí poznatelným způsobem na minulých hodech ani na dalších okolnostech.
   
2. Nejlepší model kostky je tak náhodný generátor, který vrátí číslo n (od jedné do šesti) s pravděpodobností p(n,k) v k-tém hodu. Máme-li naprostou jistotu, že toto je správný model, pak p(n,k) je jedinou složkou subjektivní pravděpodobnosti toho, že v k-tém hodu padne n, a je této pravděpodobnosti přímo rovno.
   
3. Nemáme důvod předpokládat, že p(n,k) závisí na k, píšeme tedy pouze p(n).
   
4. Aby takový model reprodukoval dlouhodobé chování kostky, musí být p(n)=f(n).
   
5. Tudíž, pravděpodobnost, že padne dvojka, je rovna dlouhodobé frekvenci padání dvojky.
   

Platnost závěru pochopitelně závisí na všech premisách. Kdyby například náš racionální agent získal přístup k počítačovému systému, který je schopen vyhodnotit jemné nuance pohybů kostky i toho, kdo ji hází, a dostatečně přesně spočítat, že opravdu tentokráte padne dvojka, pak by agent byl hlupák, kdyby stále počítal s p(2)=1/6. Chce-li si agent zachovat v takové situaci přízvisko „racionální“, musí svou původní šestinu nahradit pravděpodobností, že jeho počítačový systém se v tomto případě mýlí.

V reálném světě nemáme při házení kostkou k dispozici přesné detektory ani počítačové modely. V reálném světě taktéž explicitně nedělíme své úvahy do několika triviálních bodů; všech pět podúvah se mnohem spíš shrne do jediného „rozum dá, že p(n)=f(n)“. Tato úvaha je jádrem takzvaného frekventismu. Frekventismus je ovšem silnější přesvědčení, než pouhé „často je racionální pravděpodobnosti stavět rovné četnostem (tj. frekvencím)“. Frekventisté přímo pravděpodobnosti definují pomocí četností; cokoli, co není definovatelné pomocí četnosti, není pravděpodobnost. „Výhodou“ frekventismu je, že pravděpodobnost je objektivní; někteří lidé zřejmě pociťují odpor k myšlence, že by matematika mohla zkoumat něco subjektivního, a frekventismus je toho ušetří i v teorii pravděpodobnosti. Samozřejmě, i frekventisté musejí mít nástroje k měření subjektivní nejistoty, ty se zpravidla vkrádají do hry bokem pod rouškou intervalů spolehlivosti a p-hodnot. Ale o tom jsem již psal.

Každopádně, frekventismus je to, co se dnes ve školách učí (aspoň to tak bylo, když jsem do školy chodil já, a pochybuji, že by se změnilo zrovna tohle). Nese to s sebou politováníhodné zmatení: objektivní frekventistická definice pravděpodobnosti je v konfliktu s běžným užitím tohoto slova. „Jaká je pravděpodobnost, že Bohemka vyhraje“ je pro frekventistu věta postrádající smysl, nicméně pro bookmakera v Tipsportu velmi praktická a smysluplná otázka.

Intuitivní cítění, že některé pravděpodobnosti (třeba ty u hodu kostkou) jsou jistější než jiné (třeba ty v případu domnělých špionů), je svázáno s dichotomií mezi dvěma typy pravděpodobností. Když řeknu, že pravděpodobnost pádu dvojky je 1/6, může to znamenat, že jsem na dvojku ochoten vsadit v kursu 5:1, ale může to znamenat i to, že věřím, že relativní četnost dvojek v sérii tisíce hodů bude hodně blízká 1/6 (a na to budu ochoten vsadit v mnohem nevýhodnějším kursu, v závislosti na tom, jaká blízkost 1/6 zaručí výhru). Když ale řeknu, že pravděpodobnost, že zadržení Američané jsou špioni, je 1/6, přirozeně připadá v úvahu pouze první interpretace. A i kdybych měl na mysli nějaké smysluplné četnostní čtení onoho výroku, například „1/6 všech Američanů odsouzených v Íránu za špionáž jsou skutečně špioni“, bylo by hloupé v tomto případě přikládat vysokou pravděpodobnost zrovna na 1/6, nebo jakékoli jiné konkrétní číslo, aspoň tedy v absenci jednoznačných statistických dat.