středa 28. dubna 2010

Přijde opravdu soudný den?

Při přečtení článku o argumentu soudného dne (dále ASD) (a nemusí to být nutně můj článek) se člověk těžko ubrání pocitu, že na tom argumentu je něco špatně. Je už ale těžší přesně určit, co je špatně. Zkusme si rozebrat některé standardní námitky. Tento článek nemá ambici, a ani šanci být úplným přehledem - různých protiargumentů, často velmi propracovaných, je mnoho, a přehled lze získat například na citované Wikipedii (bohužel ne v češtině). Spíš je mým cílem upozornit na hranice intuitivního používání pravděpodobnosti, na kterých ASD leží: v žádném případě nepanuje obecná shoda na způsobu jeho vyvrácení, a možná ani na tom, že je skutečně špatně.

Asi nejnápadnější podezřelý rys ASD je překvapivě malý počet vstupních dat. K výpočtu pravděpodobnosti dožití se konce civilizace jsme použili dvě hodnoty: koeficient zvýšení populace za jednotku času b, a délku lidského života g, p = (1 - b-g). To můžeme přepsat jako p = (1 - 1/K), kde K je poměr, kterým se zvýší populace za dobu g. V zásadě tedy potřebujeme pouze jeden jediný údaj charakterizující vývoj populace, a nikde v úvaze nevystupuje jakákoli časová proměnná, jakýkoli letopočet, cokoli by naši dobu činilo speciální. Jinak řečeno, již staří Řekové mohli přijít na ASD (kdyby uměli integrovat exponenciálu), a nebyl by pro ně tento argument o nic méně platný. Pokud ASD platí, pak po celou dobu lidských dějin byla pravděpodobnost dožití se konce civilizace 70% [1]. Zdá se tedy, že Ježíš nebyl ve svém proroctví (viz předchozí článek) až zas tak iracionální.

Jenže historie lidstva čítá stovky generací, a pouze jedna z nich může zažít soudný den. Pokud 500 generací žije se 70% očekáváním konce světa a všechny, až maximálně na jednu, se mýlí, není to očividný důkaz, že ASD je špatně?

Není. Nepočítají se totiž generace, ale individuální lidé. Za stanoveného exponenciálního vývoje bude 70% ze všech lidí, kteří kdy žili, spadat do generace, která zažije konec světa [2]. Zdání platnosti této námitky je důsledkem nerovnoměrnosti rozdělení lidské populace v historii, kdy 30% těch, kteří se při víře v zažití konce světa mýlí, okupuje mnoho tisíc let, zatímco 70% těch, co konec světa skutečně zažijí, je natěsnáno do krátkého intervalu několika desítek let. Naše intuice má navíc tendenci přisuzovat času speciální důležitost. Pokud se člověk dozví, že je adoptován a ve skutečnosti se narodil někde na Špicberkách, asi mu nebude dělat problém přijmout úvahu, že to bylo skoro jistě v Longyearbyenu, kde žije 80% obyvatel souostroví. Argument, že Longyearbyen je jen malé městečko zabírající stěží pět z šedesáti tisíc čtverečních kilometrů souostroví, je na první pohled nesmyslný. Nahrazení rozlohy časem by nemělo nic měnit. Fakt, že 70% z lidí, kteří kdy žili, patří do poslední generace, lze korektně přeformulovat tak, že bez dalších informací je každý člověk (včetně nás) se 70% pravděpodobností příslušníkem poslední generace.

Předchozí odstavec samozřejmě neznamená, že máme přestat myslet na budoucnost a připravovat se na konec, který mimochodem přijde podle stejného argumentu do 300 let s 99% pravděpodobností. Je stále možné, že ASD je technicky správně, ale jeho předpoklady nejsou splněny.

Například exponenciální růst. Použitá čísla jsem si sice nevycucal z prstu, ale použil jsem velmi selektivní statistiku: data z posledních 50 let. V tomto období populace skutečně velmi dobře odpovídala vztahu a bt, s b = 1,017. Záměrně jsem však neuvedl, jak vyšlo a. To totiž musí být rovno zhruba 1,5.10-5, a vzhledem k tomu, jaký má proměnná a význam, je tu něco shnilého. Na přelomu letopočtu na světě zcela určitě žilo víc lidí, než jedna stotisícina. Exponenciální nárůst posledních desítek let je abnormálně rychlý, a nelze jej brát jako pravidlo. Populace se v dřívějších dobách vyvíjela nerovnoměrně, a populační exponenciála, kterou ASD nutně potřebuje, tak není věrným modelem historie lidstva.

Je diskutabilní, nakolik nás tento argument může uklidnit. Téměř nezpochybnitelným faktem je, že světová populace po celou historii rostla, a růst se stále zrychloval, krom snad krátkodobých výchylek. Růst asijské populace byl schopen relativně rychle vyrovnat i efekty velkého moru a následné depopulace, které zasáhly Evropu v polovině 14. století. Přesná exponenciála není pro ASD až tolik životní nutností. Je-li počet lidí žijících v poslední generaci dostatečně velký v poměru k celkovému počtu lidí, kteří žili kdykoli předtím, argument stále funguje. Podle předchozího, na exponenciále postaveného výpočtu, je tento podíl řádově 70%. Když dosadíme reálnější data, získáme střízlivější odhad. Podle tohoto zdroje žilo v celé historii světa na Zemi dohromady asi 100 miliard lidí, a dnes žijící lidé z tohoto počtu tvoří řádově 5%.

Je poněkud optimističtější, pokud šance zažít konec světa je 5%, než kdyby byla 70%, ale stále je to pravděpodobně horší, než by člověk předpokládal, že je možno odvodit z takto obecného argumentu [3].

Naštěstí i proti oněm pěti procentům lze vytáhnout námitku. Počet obyvatel, který je schopen dlouhodobě přežít na Zemi, je tvrdě omezen. Když už nic jiného, tak je omezeno množství vody, z které se lidé skládají, a mnohem dřív, než dojde voda, dojde jídlo. Různé odhady předpokládají, že dlouhodobě udržitelná populace je od 1 miliardy do 100 miliard [4], nicméně ať už je jakákoli, exponenciální růst ji dosáhne dříve nebo později, a poté nezbyde než stagnovat. Pokud nevěříme, že dosažení této maximální hranice je nutně příčinou katastrofického konce civilizace, musíme opustit představu, že typický vývoj civilizace je doprovázen zrychlujícím se růstem populace trvajícím až do příchodu Armageddonu. Zdá se naopak přirozené, že v pozdních dobách každé civilizace se populace stabilizuje někde na hranici udržitelnosti, a v tomto stavu bude setrvávat až do svého konce, ať už přijde kdykoli. Pro konstantní populaci pak ASD nefunguje ani přibližně.

Ani předchozí námitka není odolná vůči protiargumentům. Můžeme například poukázat na možnost kolonizace kosmu a následné posunutí meze udržitelné populace výrazně výše. Nebo můžeme poukázat na možnost převedení lidského vědomí do počítačových simulací a následné snížené nároky na místo a energii. Takovéto úvahy ovšem zavádějí debatu na tenký led spekulací a mají již jen málo společného s jednoduchou matematickou úvahou stojící za ASD.

No a jelikož už dnešní příspěvek zase narostl do značné délky, vrátím se k protiargumentům vůči ASD ještě jednou v příštím díle.

Poznámky:
1. Ignoruji teď krom jiného i změny hodnoty g v průběhu dějin. Průměrná délka dožití novorozenců ve starém Řecku byla extrémně nízká, necelých 30 let.
2. Počítám pro zjednodušení s tím, že po soudném dnu lidstvo zanikne, nebo se redukuje na zanedbatelně malou stálou populaci.
3. Za povšimnutí v této souvislosti stojí, že prorokové zkázy se téměř výhradně vždy odvolávají na nějaká data (byť třeba smyšlená, upravená, nebo jakkoli jinak nevěrohodná) specificky vypichující naši generaci či dobu - ať už je to dávné proroctví obsahující datum spadající do naší blízké budoucnosti, nebo obecný stav morálního úpadku dnešní, a právě jen dnešní, společnosti, nebo neutěšený stav přírody či blížící se vyčerpání zdrojů - ale jakkoli je prorokování zkázy populární, žádný z proroků by se nespokojil s téměř čistě statistickým argumentem, jako ASD. Paradoxně je přitom ASD možná ten nejobtížněji vyvratitelný argument pro apokalypsu.
4. Ano, spodní odhady říkají, že už teď žijeme na nesplatitelný dluh a čeká ná neodvratné vymírání.

pondělí 26. dubna 2010

Kdy přijde soudný den?

Prorokovat konec světa bylo populární odpradávna. Základní kvalifikací úspěšného proroka zkázy je vyvolat dojem, že konec světa je blízko, aniž by přitom udal přesné datum. Není divu. Přidávat k proroctví "časový horizont", jak se dnes populárně říká, je riskantní podnik. Případný úspěch sice zajišťuje místo v prorocké síni slávy, jenže šance se trefit je mnohem menší a jakmile datum uplyne, aniž by se cokoli stalo, věrohodnost proroka je ohrožena. No a pokud prorokuji konec světa, tak v případě úspěchu si tu slávu stejně neužiju, tak proč riskovat.

Přesto, někteří proroci svým metodám důvěřují natolik, že alespoň přibližné datum konce světa zahrnou do svého veřejného výstupu, a překvapivě mnozí neztratí téměř nic ze své důvěryhodnosti. Kanonickým příkladem je Ježíš (pokud skutečně existoval), kterýžto prorokoval konec světa ještě během života apoštolů.
Amen, pravím vám, že někteří z těch, kteří tu stojí, neokusí smrti, dokud nespatří Syna člověka přicházejícího se svým královstvím. (Matouš 16:28)
Za dva tisíce let se nic podstatného nezměnilo. Není pravděpodobně den, který by nebyl někým označen za soudný. (Oblíbený je momentálně rok 2012, ale což takhle dát si soudný den třeba už 21. 5. 2011?) A i když na den přesné předpovědi jsou doménou zřetelně vyšinutých, předpovědi konce světa (či aspoň vyspělé civilizace), který nastane někdy v dohledné době, snad už za našich životů, se občas nevyhnou ani střízlivějším lidem. [1]

Co byste v těchto souvislostech řekli vědeckému důkazu toho, že konec civilizace je pravděpodobně otázkou pár desítek let?

Začnu zeširoka. Vyberu-li náhodně současně žijícího člověka na naší planetě, s pravděpodobností zhruba 1/5 bude vybraný člověk Číňan [2], protože Číňané tvoří zhruba 20 procent světové populace. Představte si nyní, že vám někdo vymaže z hlavy veškeré informace o vaší národnosti (a cokoli dalšího, z čeho byste ji mohli odvodit). Potom by pro vás bylo rozumné předpokládat, že pravděpodobnost, že jste Číňan, je 20%.

Intuice se takovéto úvaze trochu vzpírá, protože je těžké si představit, jaké to je, být připraven o všechny informace o svém původu. Ale alternativní příklad ukazuje, že tento typ úvah má své opodstatnění: V České republice je asi třetina lidí nakažena toxoplasmózou [3]. Parazit je většinou latentní a nemoc se neprojeví. Jaká je tedy pravděpodobnost, že jste přenašečem toxoplasmózy? Pokud nemáte bližší informace, např. výsledky krevního testu, je rozumné počítat s pravděpodobností rovnou 1/3. Úvaha je naprosto analogická té s Číňanem, a tak není důvod, proč by jedna měla platit a druhá ne.

Uvažujme jiný příklad: přijdete na hřiště, kde probíhá fotbalový zápas, ale nevíte, jaká se hraje minuta. Jaká je pravděpodobnost, že se hraje druhý poločas? Zjevně 1/2. A pravděpodobnost, že se hraje poslední desetiminutovka, je evidentně 1/9 [4].

Představte si, že víte, že doba meziledová trvá vždy 10 000 let (samozřejmě to tak není, ale jsme pořád v myšleném experimentu), ale nevíte, kdy skončila poslední doba ledová. Jaká je pravděpodobnost, že doba ledová začne v následujícím století? Odpověď je zřejmá: 1%.

Pokud uznáváte správnost předchozích úvah, myslím, že nemůžete příliš protestovat proti následující: Předpokládejme, že každá civilizace vede k exponenciálnímu růstu populace, který trvá až do momentu, kdy civilizace zanikne. Tento předpoklad neimplikuje, že civilizace zanikne kvůli populační expanzi. Populace prostě expanduje tak dlouho, než dojde ke kolosální katastrofě a celá civilizace je naráz zničena. Pokud žijete v takové civilizaci, jaká je pravděpodobnost, že zažijete konec světa?

V duchu předchozích úvah vybereme náhodně (s rovnoměrným rozdělením, samozřejmě) člověka z celé historie oné civilizace, a spočítáme, jaká je pravděpodobnost, že náleží k poslední generaci. Máme
P = a bt
kde P je populace, t je čas, a je populace v čase 0 a b je faktor, kterým se populace zvýší za jednotku času. Nechť ke katastrofě dojde v čase T, a jedna generace žije g let. Potom počet všech lidí, kteří žili v dané civilizaci, je a bT (ln b)-1. Počet lidí, kteří žili po dobu poslední generace, je a bT (ln b)-1(1 - b-g). Pravděpodobnost žití v poslední generaci získáme podělením obou čísel (podobně jako pravděpodobnost bytí Číňanem získáme podělením počtu Číňanů a celkového množství lidí), a získáme
p = (1 - b-g)
Podivuhodné je, že v tomto vztahu nevystupují vůbec konstanty a a T. Tedy, k určení pravděpodonosti zažití konce světa stačí znát pouze délku jedné generace a rychlost, jak se lidé množí. (A pokud jsou b a g dost malá, je p = g ln b, přibližně.
No dobře, ale co to říká o nás? Historický vývoj lidské populace je přibližně exponenciální. Stačí se podívat na následující obrázek, který ukazuje závislost logaritmu světové populace na čase v posledních cca. 60 letech. Čili hlavní předpoklad se zdá být splněn. A jaká jsou čísla?
Vychází b = 1,017, jsou-li jednotkou času roky. Když vezmeme g = 70, což je střední délka života v rozvinutých zemích [5], vyjde
p = 0,69.
Není moc podstatné, nakolik jsou čísla přesná, ale tohle je skutečně znepokojivá zpráva. Pravděpodobnost, že se dožijeme konce světa, je zhruba 70%!

Právě přečtenému se říká argument soudného dne. A jelikož je dnešní příspěvek už docela dlouhý, ponechám jeho kritický rozbor na příště. Jste-li přesvědčeni, že pravděpodobnost apokalypsy je skutečně tak vysoká, jak jsem napsal, můžete své zbývající chvíle krátit výběrem nejlepšího způsobu zániku naší civilizace na této zajímavé stránce.

Poznámky:
1. Předpoklad, že zničit svět není až tak těžké, stojí evidentně i za snahou o soudní zákaz provozu urychlovače LHC. Zajímavé je, že řízení probíhá v USA, ačkoli LHC stojí v Evropě.
2. Trochu mi to připomnělo starý vtip, ve kterém rodič odmítá mít čtvrté dítě, protože statisticky je každé čtvrté narozené dítě Číňan.

3. V některých zemích, například ve Francii, sahá tento podíl až k 90 procentům.
4. Předpokládám, že délka zápasu je standardních 90 minut.
5. Sice jsem mluvil o g jako o délce generací, je zřejmé, že střední délka života je odpovídající interpretace v našem případě, a ne střední věk otěhotnění ženy, což se obvykle slovem generace rozumí.

pondělí 19. dubna 2010

Pondělní šifra XVIII.

Následující obrázek v sobě skrývá zašifrovanou tajenku, kterou může být slovo, výraz nebo věta dávající v češtině dobrý význam (může to být i vlastní jméno nebo cizí slovo, pokud je v češtině dostatečně často používáno). Způsob šifrování není předem specifikován, ale měl by být odhalitelný na základě relativně jednoduchých pozorování. V některých případech může být k rozluštění potřeba znalost Morseovy abecedy nebo Braillova písma.
 Pozn.: při ukvapené realizaci šifry se vloudilo několik chyb. Nová verse šifry vložena 19.4. v cca. 15:30.


ŘEŠENÍ

neděle 18. dubna 2010

Tverské tramvaje

Veřejná doprava v Tveru funguje podle ruských zvyklostí v podobně velkých městech. Sestává z autobusů, trolejbusů a tramvají, a jak bývá na východě obvyklé, tramvaje jsou tak říkaje na dožití. Do sítě se zjevně neinvestuje, a tak zatímco vozové parky autobusů a trolejbusů jsou tvořeny napůl novými stroji a napůl pojízdnými vraky, u tramvají je podíl vraků téměř stoprocentní.
Co platí pro vozový park, platí i pro kolejový svšek, a tak není divu, že tratě jsou postupně zavírány a nahrazovány autobusy. Na mapě je znázorněna existující síť tratí, přerušovanou linií jsou značeny již nepoužívané úseky (velmi pravděpodobně není zakreslení těchto úseků kompletní). Koleje zpravidla zůstávají na místě; přinejmenším na trať v Sovětské ulici je snadný návrat tramvají vyloučen, jelikož bylo sneseno trolejové vedení.
Na tverských kolejích lze potkat československé vozy T3SU, vesměs v bídném stavu. V SSSR bývalo zvykem jezdit se zdviženým sběračem pouze na prvním voze, sběrače na druhém voze jsou permanentně stažené a vesměs křivé jako ten na snímku. Následkem toho je třeba do druhého vozu vést kabel s trakčním napětím 600V (to je ten kabel visící mezi střechami vozů). U nás jezdí soupravy vozů T3 vždy s oběma sběrači nahoře, a propojeny pouze kabelem mnohočlenného řízení, kde je napětí 24V (zde je tento kabel vidět také, je to ten tlustší dole). Dalším netradičním prvkem na obrázku je železná konstrukce okolo spřáhel, jejímž účelem je pravděpodobně zabránit lidem proplétat se mezi vozy.

Na dalším snímku je sólo T3 ve standardním sovětském červeno-žlutém nátěru na Tverském prospektu. Za pozornost stojí čistota vozu.

Tatáž ulice, jiná souprava. Tentokráte dvojice T6B5 (delší varianta vozů T6, které jezdí v Praze, Brně a Ostravě), v na pohled relativně dobrém technickém stavu.

Design tramvaje je to nejméně podstatné, nemyslíte? U tohoto vozu se zřejmě rozbilo zadní okno, a když není na skladě dostatečně velké sklo, upraví se vůz tak, aby se dalo vsadit menší. Jeden z vozů T6, který jsem zahlédl, měl podobně upravená dvě z pěti bočních oken, a vypadal opravdu bizarně. Bohužel jsem ho nestihl vyfotografovat.

Zbytek tramvají jsou ruské vozy KTM8 vyrobené vagónkou v Usť-Katavu. Na fotografii je souprava na Gorkého ulici.


Speciální dovedností každého cestujícího je nástup a výstup. Zastávky nemají ostrůvky, a zvyk zastavit automobil za koncem posledního vagónu stanicující soupravy je v Tveru neznámý. Ono také praktikovat takový zvyk v situaci, kdy mezi kolejemi a chodníkem jsou tři nebo čtyři jízdní pruhy dost dobře nejde, zvlášť když na semaforu zrovna svítí zelená. Nástup do tramvaje tak má trochu povahu dobrodružství.

Těžko říct, jestli je v Tveru horší stav tratí nebo vozů, ale rychlost se pohybuje kolem 20 km/h (maximální, ne průměrná). Vozy jsou přeplněné, špinavé zevnitř i zvenku, hlučné. Tomu sice odpovídá i cena jízdenky kupované přímo v tramvaji u průvodčí - za deset rublů, tj. asi 7 Kč - nicméně budoucnost tramvají v Tveru nevypadá růžově. Současný trend v Rusku je rušení celých provozů. Nedávno přestaly jezdit tramvaje např. v Astrachani, k masivnímu rušení tratí dochází v Moskvě i Petrohradě. Není ani moc důvodů k údivu. Nový autobus je mnohem přijatelnější investice než zásadní přestavba celé tramvajové sítě, a kupovat nové tramvaje bez rekonstrukce tratí je téměř zbytečné. Peníze na veřejnou dopravu nejsou a široké ulice ruských měst přejí automobilismu. Ještě pár let, a obrázky z tohoto článku budou nejspíš historií.

pondělí 12. dubna 2010

Pondělní šifra XVII.

Následující obrázek v sobě skrývá zašifrovanou tajenku, kterou může být slovo, výraz nebo věta dávající v češtině dobrý význam (může to být i vlastní jméno nebo cizí slovo, pokud je v češtině dostatečně často používáno). Způsob šifrování není předem specifikován, ale měl by být odhalitelný na základě relativně jednoduchých pozorování. V některých případech může být k rozluštění potřeba znalost Morseovy abecedy nebo Braillova písma.



ŘEŠENÍ

pondělí 5. dubna 2010

Тверь

Město Tver leží na trati z Moskvy do Petrohradu necelých 200km od Moskvy, má asi čtyři sta tisíc obyvatel, a je objektem dnešní stručné fotoreportáže. (Fotografie zachycují mimo jiné masivní oblevu v polovině března.)


Město v roce 1763 vyhořelo a bylo znovu vystavěno v klasicistním slohu, díky čemuž má dnešní centrum sjednocený vzhled. Typickým příkladem architektury je oblastní divadlo na snímku výše. Automobily v popředí jedou po Sovětské ulici, tvořící páteř historického centra.


U mnohých budov lze těžko poznat, z jaké doby pocházejí. Fasáda na této fotografii (bohužel, stejně jako mnoho fasád ve městě, v dosti zanedbaném stavu) je ozdobena komunistickými symboly, ale může se jednat o dům z třicátých let 20. století stejně tak jako o pozdější úpravu klasicistního průčelí. Dům stojí na nábřeží Stěpana Razina.


Když už je řeč o nábřeží, toto je pohled na Volhu a pravděpodobně bezejmenný most (ve městě jsou ještě dva další). Tmavé body na ledě v pravé části snímku jsou rybáři lovící skrze díry v ledu. Ačkoli ledová pokrývka řeky nebyla souvislá, rybářů je bylo na ledě mnoho (tento snímek není úplně reprezentativní).


Leninovo náměstí, kterým prochází Sovětská ulice, má kulatý tvar a je příkladem urbanismu 18. století. Socha Lenina je pochopitelně novější. Ruská města jsou obecně bohatá na pomníky. Během krátké procházky po Tveru [1] jsem kromě Lenina spatřil ještě Puškina, Marxe, Kalinina, Nikitina a nakonec jezdeckou sochu Michala Tverského [2].


Nejnovější z pomníků je asi také nejzajímavější, už jen svým výtvarným zpracováním. Připomíná vojáky, kteří zemřeli při hašení požáru černobylské elektrárny.


Jako ilustrace moderní architektury může sloužit tento mrakodrap. Při pohledu přes domy vypadá jako obyčejný panelák, ale jakmile se otevře pohled na jeho spodní část, je jasné, že stojí za pozornost. (Pokud se vám navíc zdá, že se naklání doprava, tak tento efekt je způsoben křivým držením fotoaparátu).


Pro úplně jinou, vesnickou, atmosféru netřeba chodit příliš daleko od centra. V některých místech je koncentrace dřevěných domů či jejich zanedbaných zbytků obklopených typickým nepořádkem až překvapivě vysoká. Na snímku Černyševského ulice.


Většina dřevěných domů je v mizerném stavu. Pod mizerným stavem si lze představit úplné zříceniny s provalenou střechou, kde zjevně nikdo nebydlel již mnoho let, ale většinou se jedná "jen" o různé deformace způsobené zřejmě podklesáváním základů. Výsledkem jsou zkřivená okna a dveře, přičemž vzniklé škvíry jsou v lepším případě opraveny provizorními záplatami. Nezdá se, že by místní obyvatele trápilo riziko zřícení takovýchto domů. Zdůrazňuji, že vyfotografovaná křivost není v rámci dřevěných domů nějakou extrémní výjimkou - křivých je více než těch, jejichž všechny pravé úhly drží svých 90 stupňů.

A mimochodem, v Tveru jezdí tramvaje. A tverské tramvaje, to je pro středoevropana skutečná exotika, zasluhující svůj vlastní článek, kterýžto očekávejte v blízké budoucnosti.

Poznámky:
1. Ruské jméno Тверь je ženského rodu, a jelikož končí měkkým znakem, odpovídající česká podoba by měla být nejspíš *Tveř, s 6. pádem *Tveři. Jelikož ale není zvykem ruská jména končící na -рь počešťovat s použitím ř, jsem nucen jméno skloňovat jako mužské (v češtině nejsou ženská jména končící na -r).
2. Puškina a Marxe pravděpodobně netřeba představovat. Michail Kalinin byl významný bolševik, jehož jméno Tver nesl do rok 1991 (je to tentýž Kalinin, po kterém se dodnes jmenuje Královec - Kaliningrad). Afanasij Nikitin byl ruský cestovatel, který v 15. století došel do Indie. Michal Jaroslavič, kníže Tverský, vládl Tverskému knížectví počátkem 14. století, a byl popraven Mongoly v roce 1318.

Pondělní šifra XVI.

Následující obrázek v sobě skrývá zašifrovanou tajenku, kterou může být slovo, výraz nebo věta dávající v češtině dobrý význam (může to být i vlastní jméno nebo cizí slovo, pokud je v češtině dostatečně často používáno). Způsob šifrování není předem specifikován, ale měl by být odhalitelný na základě relativně jednoduchých pozorování. V některých případech může být k rozluštění potřeba znalost Morseovy abecedy nebo Braillova písma.



ŘEŠENÍ