čtvrtek 30. června 2011

O definicích


Lidé mezi sebou komunikují prostřednictvím jazyka, který podléhá vcelku rigidním gramatickým pravidlům. Jsme tak schopni jednoznačně říct, zde vyslovená sekvence zvuků je výrok nebo nikoliv. Když sekvence zvuků projde testem na výrokovost, chce se předpokládat, že se jedná o výrok buď pravdivý, nebo nepravdivý, protože každý výrok má nějakou pravdivostní hodnotu. Má-li každý výrok pravdivostní hodnotu, pak musíme být schopni nalézt odpovědi na gramaticky bezproblémové otázky z předchozího odstavce. Víme už, že převod předpokladu o jednoznačné pravdivosti či nepravdivosti výroků do řeči formální logiky je značně problematický, jelikož můžeme zformulovat výroky, které nelze dokázat ani vyvrátit. Dnes mě ale nezajímají paradoxy formální logiky — k nim se samozřejmě ještě vrátím — dnešní článek bude o výrocích, které nejsou jednoznačně pravdivé ani nepravdivé z mnohem obyčejnějších příčin.

Je Pluto planeta? Vysvětluje fyzika vznik Vesmíru? Je homosexualita nemoc? Existuje svobodná vůle?

Prvním překážkou, jež číhá na naivního řešitele pokoušejícího se odpovědět na některou z „hlubokých“ filosofických otázek, je jeho vlastní přesvědčení, že každé slovo má jeden správný význam. V rámci dříve populárních teorií o postupném úpadku jazyka vcelku přirozeně vznikla myšlenka, že správný význam slova se dá určit zkoumáním jeho historie; původ této ideje, asi nepříliš překvapivě, sahá do antického Řecka. Řecké ετυμολογια původně znamenalo „věda o správném významu“. S rostoucí znalostí původu slov se ovšem představa o historicky definovaném správném významu stala neudržitelnou. Tvrdit, že „meruňka“ správně znamená „arménská švestka“ je prostě absurdní. (Kuriózní autoreferenční verze této nepravdy se skrývá v etymologii samotného slova „etymologie“.)

Už jenom fakt, že významy slov se v průběhu času mění, jednoznačně ukazuje na marnost hledání toho pravého. I tak se ale spory o definicích a významech drží mezi populárními kratochvílemi debatérů. Někdy je absurdita sporu na první pohled patrná: jen těžko je například uvěřit, že se lidé seriózně zabývali otázkou, zda pád stromu v opuštěném lese udělá zvuk. Když odhlédneme od „metafyzické kamufláže“ o nezávislosti existence na smyslovém vnímání, celý spor spočíval v tom, co znamená „zvuk“ — někoho napadlo nadefinovat „zvuk“ jako „vibrace vzduchu přenášené přes ucho do do sluchového centra mozku“, a podle této definice pochopitelně v opuštěném lese neobsahujícím žádné uši ani mozky pád stromu zvuk neudělá. Popsaná definice zvuku sice nevypadá příliš inteligentně, není ale vyloučeno, že něco podobného bude k nalezení v nějakém prestižním slovníku nebo encyklopedii [*], a v takovém případě s ní určitě někdo vyrukuje jako s nezpochybnitelným trumfem. „Kdo jste, že se opovažujete zpochybňovat definici z Ottova slovníku naučného?“

Čímž nechci říct, že definice zvuku zahrnující uši a sluchová centra je automaticky horší, než definice zmiňující pouze vibrace molekul. Věřím [*], že většina lidí chápe „zvuk“ jako vibrace vzduchu, ať už ho někdo slyší nebo ne, a často se vyplatí používat slova v tom významu, v jakém je chápe většina; opačný postup riskuje zbytečné nedorozumění. Může se ale stát, že kdosi měl dobrý důvod zahrnout proces slyšení do definice zvuku. Nebo je možné, že majoritní porozumění slovu „zvuk“ bylo jiné před sto lety, nebo je jiné v jiných jazycích (nahradíme-li „zvuk“ jeho slovníkovým ekvivalentem). Každá definice je svým způsobem konvencí, a vyplatí se to mít na paměti. Když astronomové řešili otázku, zda Pluto je planeta, dobře si uvědomovali, že spor se vede o definici pojmu „planeta“, a vyřešili spor hlasováním (praktický to protipříklad rčení, že o pravdě se nehlasuje). Nejsem si jist, zda si totéž uvědomují filosofové, když se hádají například o tom, zda stroje mohou rozumět čínsky.

Tudíž, je Pluto planeta? Záleží na definici pojmu „planeta“. Je homosexualita nemoc? Záleží na tom, co rozumíme slovem „nemoc“ [*]. Vysvětluje fyzika vznik Vesmíru? Záleží na tom, co považujeme za vysvětlení. Jelikož „vysvětlení“ v nejobecnějším smyslu znamená něco jako „řetězec úvah, díky kterému mi daná věc nepřipadá záhadná“, není překvapivé, že se na odpovědi všichni lidé neshodnou [*].

Na druhou stranu, ne vždy jsou definice pouhou konvencí. Že delfín není ryba, ale savec, je fakt zjevně závisející na vymezení toho, co počítáme mezi „ryby“, to ale neznamená, že tvrzení „delfín je savec“ je prázdné. Ano, můžeme kategorii „ryby“ nadefinovat tak, aby obsahovala jak sledě, candáty, sumce, kapry, tak i delfíny, jak už to učinil Linné v první verzi své Systemy naturæ. Jenže taková definice bude nepřirozená a přinejmenším z hlediska zoologie neužitečná a matoucí. Podobnost delfínů a kaprů je pro zoologa méně významná než podobnost delfínů a krav, a zoolog je tak oprávněn proti Linnéově prvotní definici ryb protestovat. Svoboda v definování slov by neměla být absolutní: definice by měly respektovat přirozené kategorie jevů a věcí. Kudy konkrétně vedou hranice mezi přirozenými kategoriemi závisí do značné míry na úhlu pohledu (takoví (vel)rybáři mohou z různých důvodů preferovat starou klasifikaci delfínů jako ryb před tou dnešní) — nejsou ale úplně libovolné (nikdo by asi jen tak nespolkl definici, že do kategorie „ryby“ obsahuje všechny vodní obratlovce dýchající žábrami, a k tomu navíc orla skalního). I když je tedy otázka planetovosti Pluta zodpovězena výběrem definice, pořád některé definice pojmu „planeta“ mohou být lepší, než jiné. Že by se tedy nakonec o pravdě přecijen nehlasovalo, a debaty o definicích měly smysl? Záleží případ od případu; ve všech případech je ale prospěšné, jsou-li si obě strany sporu vědomy, oč se vlastně spor vede. Jinak řečeno, přechod od „je Pluto planeta?“ k „jaká je nejrozumnější definice planety?“ je krok správným směrem.

Ani poté, co se přejde do fáze hledání nejvhodnější definice, není vyhráno. Roli zde začíná hrát jiná nebezpečná intuice, která nám říká, že každému slovu přece musí odpovídat dobře vymezená přirozená kategorie věcí. Jenže člověku nic nebrání vymýšlet slova, jejichž význam je v zásadě prázdný. Obskurní disputace o povaze jsoucna jsou parádní ilustrací tohoto problému.

I slova, která mají nějaký význam, mohou způsobovat problémy. Jednak k tomu dochází tehdy, jsou-li hranice významu nejasné. Problém Pluta je typický, ale ne jediný zástupce této třídy otázek. Je metan organická sloučenina? Jsou viry živé? Před objevem virů nebyly spory o tom, zda nějaká věc je živá: svět zdánlivě sestával ze dvou tříd objektů odlišných jako den a noc. V jedné byly věci, které se rozmnožovaly, rostly, přijímaly vodu a kyslík, umíraly; v druhé bylo vše ostatní. Pro určení toho, zda věc je živá, bylo v zásadě jedno, jak život definujeme — jestli pomocí dýchání, rozmnožování, buněčné struktury, genetické informace kódované v DNA. Jakákoli věc — ať už kanec, kladivo, lilek potměchuť nebo Sněžka — měla buď všechny vlastnosti typické pro život, nebo žádnou. Po objevu virů ovšem najednou na výběru definice záleží.

Zda je Pluto planeta, viry jsou živé a metan je organická sloučenina, to jsou otázky, které nás trápí maximálně jako intelektuální kuriozita, a nemáme zpravidla problém přijmout, že při absenci jasné přirozené hranice jsme „oprávněni“ nadefinovat si libovolnou hranici vlastní. Ve spoustě situací je ale určení hranice mezi kategoriemi výsostně praktickou záležitostí. Uvažte například otázku, kdy začíná a končí lidský život — otázku s mnoha právními důsledky. Moderní medicína umožňuje zachovat vegetativní funkce lidského organismu po mnoho let i přes poškození mozku vedoucí k totální ztrátě kognitivních schopností; spory o právní status takto přežívajícího člověka (nebo snad pouze těla?) se mohou vést roky, jak ukázal medializovaný případ Terri Schiavové. Přesvědčení, že všechny kategorie musejí mít viditelné a pevné hranice, je potravou pro armády chybných argumentů. Všechny ne zjevně náboženské argumenty odpůrců potratů jsou vinny touto chybou; nepůjdu do detailů, neb spor o potraty by pravděpodobně vystačil na vlastní článek.

Jiná potíž nastane, kdy pojem označuje několik různých věcí, ale protože pro ně užíváme jedno slovo, máme pocit, že se ve všech případech jedná o jedno a totéž. Nemám ani tak na mysli o postmodernisty a jejich oblíbenou identifikaci teorie relativity a mravního relativismu; to je chyba tak absurdní, že ji mimo katedry literární vědy asi nepotkáme [*]. Spíš mluvím o případech, kdy dva různé významy určitého slova či fráze nejsou na první pohled patrné. Existuje svobodná vůle? Spousta zbytečných debat by se ušetřila, kdyby diskutující rozlišovali mezi svobodným rozhodováním ve smyslu morálním a právním, tj. rozhodováním prostým nátlaku, na jedné straně, a svobodnou vůlí jako mystickou substancí fungující fyzikálním zákonům navzdory na straně druhé. Tyto dva významy nemají nic společného, a lze i argumentovat, že jsou navzájem obtížně slučitelné. A přesto se v diskusích oba významy běžně směšují. (Spousta dalších zbytečných debat by se ušetřila, kdyby diskutující rozlišovali mezi různými významy slova „existuje“. Přece jenom Sněžka existuje v poněkud jiném smyslu než v jakém existují komplexní čísla.)

Největší malér s definicemi slov ovšem bezkonkurenčně nastane, zamíchají-li se do hry konotace, tedy postranní významy hodnotícího charakteru. O tom ale zas někdy příště.

sobota 25. června 2011

Etymologický zpravodaj - M


Dnešní Etymologický zpravodaj se nejdříve poohlédne po původu slova mamut. Toto slovo bylo přejato do většiny světových jazyků z ruského мамонт, jehož původ je třeba hledat u ugrofinských jazyků západní Sibiře (mansijština). Příbuzné je finské slovo maa znamenající „země“. Důvodem pro etymologickou příbuznost mamutů a země je fakt, že za posledních několik tisíc let byly kontakty s mamuty omezeny na těla zamrzlá v permafrostu. Obyvatelé Sibiře tak soudili, že mamuti žijí v zemi.

Relativně zajímavé je také slovo myš. Slovo se v indoevropských jazycích moc vývojem nezměnilo: německy Maus, albánsky mi, řecky μυς, latinsky mus atd.
(ač dost jazyků zřejmě přejalo odlišné slovo pro totéž: srov. italské topo, francouzské souris, irské luch apod.).

Původní indoevropský kořen *mus se spojuje s kořenem *meus, znamenající krást, rychle se hýbat. Nejzajímavější na myši je, že od ní je odvozeno latinské musculus = „sval“, protože prý biceps připomíná tvarem myš. K podobnému přenesení došlo nezávisle i v řečtině - odtud myokard = srdeční sval (i když doslova spíš myší srdce).

Další slovo pro dnešní den je magor. Vzniklo ze slova magorie, což je druhá část složeného slova fantasmagorie. Tento rozklad je ovšem z etymologického hlediska chybný - ironií osudu fantasmagorie sice je složené slovo, ale nikoliv jako fantas + magorie, ale jako fantasma + agorie. Slovo bylo vytvořeno ve Francii z řeckých základů fantasma = „vidina“, a agoreuo = „mluvím veřejně“, a to z agora = „náměstí“; dohromady je to tedy něco jako veřejně prezentovaná vidina.

Nakonec se zastavíme u ovocnářství. Meruňka sice zní jako české slovo, ale doopravdy je to zkomolenina latinského adjektiva armeniaca: prunus armeniaca, doslova „arménská švestka“, byl název pro meruňku. Podobně získala své jméno i broskev, původním jménem „perská švestka“, prunus persica. Broskev má ve své etymologii oproti meruňce jednu peripetii navíc: staročeský tvar břěskev (ve významu „broskev“) existoval vedle slova broskev ve významu „zelí“. Později obě slova splynula a ponechala si dnešní význam.

pondělí 20. června 2011

Pondělní šifra XXXII.

Následující obrázek v sobě skrývá zašifrovanou tajenku, kterou může být slovo, výraz nebo věta dávající v češtině dobrý význam (může to být i vlastní jméno nebo cizí slovo, pokud je v češtině dostatečně často používáno). Způsob šifrování není předem specifikován, ale měl by být odhalitelný na základě relativně jednoduchých pozorování. V některých případech může být k rozluštění potřeba znalost Morseovy abecedy nebo Braillova písma.



neděle 19. června 2011

O výrokové logice


Toto je čtvrtý díl seriálu o logice, který volně sleduje myšlenky D.Hofstadtera sepsané v jeho knize Gödel, Escher, Bach. Navigace: úvodní článek - předchozí díl - příští díl.

Několikrát jsem sliboval pravidla výrokové logiky jako formálního systému, a jest načase slibům dostát. Podobně jako u modelových formálních systémů v předchozích článcích, i teď je třeba definovat formální abecedu, říct, jaké řetězce jsou dobře formované, a nakonec udat axiomy a odvozovací pravidla. Výroková logika je „skutečný“ systém (narozdíl od předchozích dvou diskutovaných systémů, jejichž jediným účelem bylo ilustrovat ideu formálního systému), takže pravidel bude o něco více. Není to ale nic strašného — oproti systému MIU zde máme tu výhodu, že symboly mají svou interpretaci a odvozovací pravidla dávají smysl.

Nejdříve abeceda. Sada povolených znaků obsahuje (, ), , , , ¬. Krom těchto speciálních znaků povolíme i jakákoli písmena latinské abecedy, tedy A, B, C atd. Těchto písmen je pouze dvacet šest, může se ale stát, že bychom potřebovali větší počet. Proto, v případě potřeby, můžeme použít libovolné množství apostrofů ' jako diakritiku, a tvořit tak podřetězce fungující jako dodatečná písmena: B', Z'''' atd. Potřeba užívat apostrof v tomto článku nikde nenastane [*].

Není asi potřeba tajit interpretaci, kterou symboly budou mít; speciální symboly zastupují výrazy „není pravda, že“, „a“, „nebo“ a „jestliže ..., pak“, závorky slouží k jednoznačnému vymezení struktury a písmena (s případnými apostrofy) označují libovolné smysluplné výroky přirozeného jazyka. Znalost interpretace činí systém srozumitelnějším, zároveň ale způsobuje pokušení překračovat formální pravidla a provádět zbrklé nepovolené manipulace, které vypadají „logicky“, takže pozor. Příklady chybných úvah ještě budou následovat později.

Kromě abecedy potřebujeme i gramatiku, která je zde definována rekurzivně. Především, jakékoli písmeno následované libovolným množstvím apostrofů je dobře formovaný výraz. Příkladem jsou A, B''' nebo Z'. Rekurzivní pravidlo je toto: jsou-li x a y dobře formované výrazy, pak ¬x, (xy), (xy) a (xy) jsou všechno dobře formované výrazy. Například ¬((P⇒Q)∧¬Q) je dobře formovaný výraz. Povšimněte si, že závorky jsou vždy spojeny s jedním ze znaků , nebo a nelze je bezostyšně přidávat nebo mazat. (P) není dobře formovaný výraz.

Odvozovacích pravidel je devět, a nejdřív napíšu a okomentuji prvních sedm.

  1. Jestliže x a y jsou teorémy, pak (xy) je teorém.
  2. Jestliže (xy) je teorém, pak x je teorém a y je teorém.
  3. Dobře formovaný výraz vzniklý tak, že z teorému vyjmeme podřetězec ¬¬, nebo do teorému tento podřetězec vložíme, je teorém.
  4. Jestliže x a (xy) jsou teorémy, pak y je teorém.
  5. Podřetězce tvaru (xy) a y⇒¬x) lze zaměňovat. (To znamená, že pokud například (P⇒¬Q) tvoří část nějakého teorému, pak nahradíme-li tuto část za (¬¬Q⇒¬P), získáme teorém.)
  6. Podřetězce tvaru x∧¬y) a ¬(xy) lze zaměňovat. (Ve stejném smyslu jako u předchozího pravidla.)
  7. Podřetězce tvaru (xy) a xy) lze zaměňovat.

Tato pravidla mají svá standardní jména, například pravidlo VI je jeden z De Morganových zákonů a pravidlo IV se nazývá modus ponens. Podstatnější ale je, že dávají intuitivní smysl. Přidání a rozklad konjunkce v pravidlech I a II odpovídá způsobu, jak zacházíme se spojkou a. Přidání a odstranění dvojné negace je taktéž něco, v čem těžko najít nějakou obtíž. V aplikaci zbylých pravidel sice lidé občas chybují, nicméně normálně inteligentnímu člověku není obvykle zatěžko po upozornění si chybu uvědomit a opravit.

Krátký příklad bývá lepší než deset stran vysvětlování, takže následuje modelové odvození. Budu předstírat, že (P⇒Q) je axiom (ve skutečnosti to není axiom, ale z něčeho vycházet musíme).

  1. (P⇒Q) (falešný axiom)
  2. (¬¬P⇒Q) (z 1, pravidlo III)
  3. (¬P∨Q) (z 2, pravidlo VII)
  4. ((P⇒Q)∧(¬P∨Q)) (z 1 a 3, pravidlo I)
  5. (¬¬(P⇒Q)∧¬¬(¬P∨Q)) (z 4, pravidlo III užito dvakrát)
  6. ¬(¬(P⇒Q)∨¬(¬P∨Q)) (z 5, pravidlo VI)

A tak dále. Odvozený „teorém“ (nezapomeňte, že je stejně falešný, jako axiom, z kterého byl získán) není zrovna elegantní, ale takové už teorémy (falešné i pravé) povětšinou bývají. Všimněte si, jak jsem pečlivě doplňoval dvojité negace v krocích 2 a 5. Na první pohled by se zdálo, že jsem si to mohl ušetřit a například rovnou pravidlem VII převést (P⇒Q) na (¬P∨Q). Takové zdání je ale špatně: pravidlo VII je definováno tak, že manipulovaný řetězec obsahující musí začínat na ¬, což není příklad (P⇒Q). Zkratkovité odvození by sice vedlo ke správnému výsledku, ale bylo by prohřeškem proti zásadám formality.

Pokud stále netrpělivě čekáte na axiomy, možná vám přišlo divné, proč jsem v úvodu modelového odvození nepoužil skutečný axiom. Důvod je ten, že výroková logika (alespoň v naší formulaci) žádné axiomy nemá. Aby stejně prázdná nebyla i množina teorémů, musí existovat pravidlo generující teorémy z ničeho. Tuto roli hrají poslední dvě pravidla, která jsem si nechal nakonec. Osmé pravidlo je

  • Jestliže z předpokladu x lze odvodit y, pak (xy) je teorém.

To zní jednoduše, ale lépe na příkladu ilustrovat, jak pravidlo funguje.

  1.    ¬¬P (premisa pravidla VIII)
  2.    P (z 1, pravidlo III)
  3. (¬¬P⇒P) (z 1 a 2, pravidlo VIII)
  4. (¬P∨P) (z 3, pravidlo VII)

Což je odvození jednoho z nejjednodušších teorémů výrokové logiky: (¬P∨P). (Mimochodem, častěji se setkáme s tvarem (P∨¬P). Uměli byste z (¬P∨P) odvodit (P∨¬P)? Ne, nemáme pravidlo umožňující prohazovat pořadí argumentů disjunkce. Řešení viz [1].)

Explicitně se na pravidlo VIII (které se mimochodem oficiálně jmenuje Věta o dedukci) odvolávám v prvním a ve třetím řádku, ale ve skutečnosti k pravidlu patří i řádek 2, který se jakoby odehrává uvnitř něho. Ke grafickému zvýraznění této skutečnosti jsou řádky odsazeny doprava. Výrazy, které se objevují na odsazených řádcích, lze akceptovat jako teorémy uvnitř odsazeného úseku, nikoli však vně.

Uvnitř Věty o dedukci lze použít jakékoli odvozovací pravidlo, včetně Věty samotné. Můžeme tak dostat několik úrovní zanoření v sobě, a proces získává rekurzivní strukturu. Tvrzení o neakceptovatelnosti teorémů z odsazených řádků po Hofstadterově vzoru zformuluji jako nezávislé pravidlo (i když jej lze stejně dobře vnímat jako část pravidla VIII):

  • V každé úrovni zanoření lze používat teorémy získané o jednu či více úrovní výše, nikoli však teorémy získané v úrovních nižších.

Příklad korektního odvození s více zanořenými úrovněmi:

  1. (¬P∨P) (známý teorém)
  2.    P (premisa, 1. úroveň zanoření)
  3.       Q (premisa, 2. úroveň zanoření)
  4.       (¬P∨P) (z 1, přenos z 0. úrovně zanoření dle pravidla IX)
  5.    (Q⇒(¬P∨P)) (z 3 a 4, VIII)
  6. (P⇒(Q⇒(¬P∨P))) (z 2-5, VIII)

Příklad chybného odvození:

  1.    P (premisa, 1. úroveň zanoření)
  2. (P⇒P) (z 1, VIII)
  3.    Q (premisa, 1. úroveň zanoření)
  4.       R (premisa, 2. úroveň zanoření)
  5.       P (z 1, přenos podle IX)
  6.    (R⇒P) (z 4 a 5, VIII)
  7. (Q⇒(R⇒P)) (z 3-6, VIII)
  8. (R∧(Q⇒(R⇒P))) (z 4 a 7, I)

Osmý řádek je zjevně chybný: užívá R jako teorém na nulté úrovni, ale čtvrtý řádek je zanořen o dvě úrovně níže. Chybný je i řádek 5. Sice se přenáší z vyšší úrovně do nižší, ale řádek 1 není přímo nadřazen řádku 5, nýbrž leží na paralelní větvi. Do pátého řádku lze přenést Q z řádku 3, nikoli ale P z řádku 1.

Než přejdeme k další diskusi, dovolím si upozornit, že popsaná formulace výrokové logiky není v žádném případě jediná možná. Zde uvedená verze je Gentzenova, kterou ve své knize užil Hofstadter, ačkoli jsem si dovolil změnit pár nepodstatných detailů, například grafickou podobu symbolů. Jiné verze výrokové logiky mohou používat trochu odlišnou sadu pravidel, nebo i jinou abecedu a gramatiku. Například je možné úplně vynechat znak a výrok „jestliže x, pak y“ formalizovat rovnou jako xy). Pravidlo VII se pak přesune do roviny interpretací a ze systému jej můžeme vypustit [*]. Jiné verze výrokové logiky mohou naopak obsahovat pravidel více. Tradičně zaváděným partnerem modu ponentu je modus tollens — pravidlo, které říká:

  • Jestliže ¬y a (xy) jsou teorémy, pak ¬x je teorém.

Všechny podobné modifikace musejí mít jednu věc společnou, aby se o nich dalo mluvit jako o různých formulacích výrokové logiky: musí produkovat stejnou sadu teorémů (nebo aspoň isomorfní sadu teorémů, liší-li se varianty svými abecedami). Pakliže se ale systémy s různými množstvími pravidel shodují v tom, jaké jsou schopny odvodit teorémy, nemá nutně ten „květnatější“ z nich nějaká pravidla „navíc“?

Ukazuje se, že ano. Takový modus tollens je již obsažen v úsporné verzi výrokové logiky obsahující pouze pravidla I - IX. Můžeme totiž provést odvození:

  1. ¬y (předpoklad)
  2. (xy) (předpoklad)
  3. y⇒¬x) (z 2, pravidlo V)
  4. ¬x (z 1 a 3, pravidlo IV)

Postup je to sice triviální, ale aby se stal regulérním odvozením v rámci výrokové logiky, je nutné nahradit symboly x a y nějakými konkrétními řetězci. Tak jako tak ale vidíme, že pravidlo X můžeme beztrestně použít jako zkratku za odození kombinující pravidla IV a V. Podobné zkratky můžeme nazývat odvozenými pravidly. Je ale dobré pamatovat, že odvozená pravidla nemají stejný status jako ta pravidla, která jsou v systému napevno zadaná. Jsou totiž vždy nutně odvozena mimo systém (připomínám, že v rámci systému nelze provádět operace s řetězci obsahujícími volné proměnné, jako je x v příkladu výše). Chceme-li mít formální odvození, musíme všechny zkratky rozepsat pomocí základních pravidel. Zavedeme-li odvozená pravidla do seznamu odvozovacích pravidel, přísně vzato získáme jiný formální systém.

Čtenář může snadno nabýt dojmu, že opatrnost, se kterou obcházím teorémy a manipulace s nimi, je přehnané hnidopišství. Dobře, modus tollens nebo prohození pořadí argumentů disjunkce nejsou zahrnuty v seznamu odvozovacích pravidel, ale jejich použitím stejně nikdy neodvodím nepravdivý teorém, tak o co jde? Jenže při formálním odvozování není nikdy opatrnost na škodu, přinejmenším ze začátku, než si člověk osahá chyby, kterých se lze neformální manipulací dopustit. Uvažme třeba ještě jednou náš první dokázaný teorém (P∨¬P). Tedy slovy „buď P, nebo ¬P. To svádí k doměnce, že buď P, nebo ¬P je teorém výrokové logiky. Takový neformálně učiněný závěr je ovšem chybný: ani P, ani ¬P teorémy nejsou! Jak již bylo koneckonců řečeno, P lze interpretovat jako jakoukoli smysluplnou větu v přirozeném jazyce, například „George Bush je zednář“. Interpretace našeho teorému pak zní: „Buď George Bush je zednář, nebo George Bush není zednář.“ To je nepochybně pravdivý výrok — byť ne zrovna informativní. Stejně tak není pochyb o tom, že je pravdivá jedna z vět „George Bush je zednář“ a „George Bush není zednář“. Ale zatímco složená disjunkce je teorémem výrokové logiky, ani jedna z jejích částí teorémem není. Bohudík — bylo by podezřelé, kdyby příslušnost George Bushe k zednářům byl určena jako logická nutnost.

Jiná častá chyba je zaměňování odvozovacích pravidel s významy symbolů; zvlášt silně k tomu svádí . S použitím Věty o dedukci v kombinaci s jedním z dalších pravidel jsme schopni odvodit teorémy, které svou formou připomínají ono další pravidlo. Například k pravidlu II máme teorémy ((P∧Q)⇒P) a ((P∧Q)⇒Q), k pravidlu III (P⇒¬¬P), k pravidlu VII ((P∨Q)⇒(¬P⇒Q)) a tak dále. Je snadné přehlédnout ten rozdíl a myslet si, že druhé odvozovací pravidlo je ve skutečnosti axiom logiky říkající ((P∧Q)⇒P). Když stejnou chybu uděláme pro čtvrté pravidlo a identifikujeme modus ponens s teorémem ((P∧(P⇒Q))⇒Q), dostáváme se do pozice Želvy z Carrollova eseje...

Podívejme se na ještě jedno odvození, které má značný význam pro konsistenci systémů obsahujících logiku.

  1.     P∧¬P (premisa)
  2.     P (z 1, II)
  3.     ¬P (z 1, II)
  4.        ¬Q (premisa)
  5.        P (z 2, IX)
  6.     (¬Q⇒P) (z 4 a 5, VIII)
  7.     (¬P⇒¬¬Q) (z 6, V)
  8.     ¬¬Q (z 3 a 7, IV)
  9.     Q (z 8, III)
  10. ((P∧¬P)⇒Q) (z 1 až 9, VIII)

Výsledný teorém vyjadřuje takzvaný princip exploze, jenž říká, že ze sporu plyne cokoli, protože znak Q můžeme interpretovat jakkoli, nezávisle na P. (A pochopitelně, symboly P a Q v odvození ((P∧¬P)⇒Q) lze nahradit jakýmikoli jinými symboly nebo dokonce řetězci, a dovození zůstane platné.) Formální logika nás tak zásobuje přehršlí teorémů: „Jestliže je Bush zednář a zároveň Bush není zednář, pak Saturn obíhá kolem Země.“ „Jestliže je dnes středa a zároveň není středa, pak sedmnáct krát sedm je rovno nule.“ Zkrátka, přijímáme-li za teorém výrok a zároveň jeho negaci, můžeme z něj odvodit jakýkoli jiný výrok. Proto je případná nekonsistence formálního systému vnímána jako mnohem větší problém, než jeho neúplnost. V nekonsistentním systému jsou všechny dobře formované výrazy teorémy, a takový systém je pochopitelně k ničemu.

Výroková logika je stavěna tak, aby fungovala pro prakticky libovolnou interpretaci alfabetických symbolů P, Q aj. To má svou zápornou stránku: všechny teorémy formální logiky platí nezávisle na tom, co za tyto symboly dosadíme. Jsou to všechno tautologie, a málokdo si cení tautologií. Triviální pravdy typu „buď Bush je zednář, nebo Bush není zednář“ se nezdají dostatečně hodnotnou odměnou za námahu spojenou se strojovým vykonáváním odvozovacích instrukcí. Formální logika ale nemá za cíl být sama o sobě zdrojem hlubokých pravd o světě. Její ambicí je produkovat pravdivé výroky a pouze pravdivé výroky. Pokud tuto roli zvládá, může se stát základem složitějších systémů, z kterých lezou o poznání zajímavější teorémy.


Poznámky:
1. Hledané odvození může vypadat například takto:

  1. (¬P∨P) (známý teorém)
  2. (¬¬P⇒P) (z 1, pravidlo VII)
  3. (¬P⇒¬¬¬P) (z 2, V)
  4. (P∨¬¬¬P) (z 3, VII)
  5. (P∨¬P) (z 4, III)

Samozřejmě může (P∨¬P) odvodit i přímo pomocí Věty o dedukci, podobně jako jsme odvodili (¬P∧P).

pondělí 13. června 2011

Moskevská muzea


Moskevské Zoologické muzeum splňuje všechny tradiční stereotypní představy o muzeích: staré zaprášené sbírky, neměnící se exponáty v historických vitrínách, červi v lihu, kosti velkých savců a vycpaní hroši. Vchod na rohu Velké Nikitské ulice a Nikitského pereulku je snadné minout. Budova je vcelku honosná, zdaleka ale ne monumentální, a totéž platí o vstupních dveřích, činících dojem služebního vchodu pro zaměstnance.





Uvnitř by muzeum vypadalo spíše jako staré gymnázium, nebýt prodejny květin ozdobené vycpaným slonem, kostry mamuta u schodiště a nabídky prastarých skript o bezobratlých. Uvnitř sálů se již jedná o pravověrné muzeum, jehož expozice se příliš neliší od pražského Národního. Místnost v přízemí je věnována bezobratlým a nižším obratlovcům. Vprostřed sálu trůní vitríny s vycpanými velkými rybami, želvami a kajmany, po stranách si lze prohlédnout všechny představitelné mořské potvory, parazity, hmyz a malé obojživelníky a plazy. Nechybí medúzy, ploštěnky, tasemnice, hvězdice a hadice, pavouci i solifugy, včely, motýli, pulci rodící se ze zad žab...





Zavěšený rejnok manta patří ještě do spodního sálu, vycpaní dravci ale již do horního, věnovaného ptákům a savcům. Uspořádání je podobné jako dole...





... vprostřed stojí vitríny s velkými savci, jako jsou medvědi, losi nebo lidoopi, po stranách jsou na jedné straně ptáci a na druhé menší savci (i když slovo „menší“ nelze brát doslova: jeden z postranních výklenků okupuje hroch).





Třetí, nejmenší sál je věnován kostrám. Krom slona a ochechule na obrázku lze v sále potkat hrocha, prase a lachtana ušatého (identifikace kostry posledního zmíněného živočicha se mi podařila až dodatečně s pomocí internetu a jeho latinského označení; ruský název sivuč mi nic neříkal a na místě mě nenapadlo, že lachtan může být tak obrovský.

Zajímavé jsou i ručně kreslené mapy, které mají vyznačovat areál rozšíření vystavených živočichů. Každá mapa je trochu jiná a má své zvláštnosti — na zde vyobrazené zcela chybí Dánsko, Kypr, Sicílie, Sardinie i Korsika (k autorově cti nutno podotknout, že neopomněl zakreslit Krétu a Irsko), Rýn pramení u Janova a Dunaj se vlévá do moře v Oděse. Pro kamzíka zřejmě tyto detaily nemají zásadnější význam.

Polytechnické muzeum zaujímá nápadnější postavení, přímo na Lubjanském náměstí u sídla bývalého KGB. (Vchod je ale bokem.) Zaměřením odpovídá toto muzeum pražskému Technickému. Expozice dopravy je sice o poznání chudší, to je ale vyrovnáno jinými atrakcemi.





To, co vidíte vlevo, je model první sovětské atomové bomby. Detailnější popisky chybí, takže například nevím, k čemu sloužila prosklená část vpředu, ale možná je to záměr; špioni by mohli technologii zcizit. Napravo je jeden z velkých modelů průmyslových zařízení, které jsou vystaveny uprostřed některých sálů. Tento pravděpodobně znázorňuje elektrárenskou parní turbínu.





Každý sál je tematicky zaměřen. Narazíme tak na sál meteorologických přístrojů (vlevo), sál vodní energie s maketami hydroelektráren, sál těžební techniky s obřími modely důlních rypadel, sál telekomunikací s telefonními ústřednami, sál plný starých televizí, atd. Maketa vpravo je elektrárenský kotel.





První sovětský jaderný reaktor je jedním z mála modelů které vykonávají nějakou činnost. V tomto případě zaměstnanec muzea aktivuje elektrické vysunutí regulačních tyčí a grafitové bloky ve středu reaktoru se červeně rozzáří. (Nejstarší experimentální reaktory neměly žádnou ochrannou nádobu nebo chlazení. Sestávaly pouze z pečlivě sestavených bloků grafitu a uranu a regulačních tyčí.)





Horní patro obsahuje expozice chemie, výpočetní techniky a kosmonautiky. Jelikož téma kosmonautiky bude fotograficky nasyceno vlastním muzeem, o kterém píši níže, fotografie zde zobrazují pouze předchozí témata. Několik nejjednodušších mechanických počitadel je dokonce ponecháno návštěvníkům k praktickému odzkoušení, projevilo se to ovšem na jejich funkčnosti.





Polytechnické muzeum disponuje i svéráznou vlastní občerstvovnou. Je do ní kategoricky zakázáno chodit ve svrchním oděvu, vaří tam obdivuhodně hnusné kafe a na stolech je k dispozici červená kapalina nadepsaná hezky mezinárodně jako Catchup Sause. Stěny zdobí plakáty lokomotiv s popisem v holandštině.

Muzeum kosmonautiky je z dnes probraných muzejí to nejhonosnější. Celé je prakticky pod zemí, nebo lépe řečeno pod Památníkem pokořitelů vesmíru.





Hned u vstupu čekají družice Sputnik I (vlevo) a II (vpravo), vypuštěné v roce 1957. Na palubě druhého Sputniku byla fena Lajka...





...která má svou „maketu“ hned vedle. Ve vstupním sále je řada dalších exponátů, vesměs umělých družic Země a nepilotovaných sond. Na pravém snímku je model raketových motorů.





Interiéry obytného (vlevo) a návratového (vpravo) modulu lodí Sojuz. Stísněný prostor byl určen pro dva nebo tři kosmonauty.





Největší exponát je maketa hlavního modulu vesmírné stanice Mir. Uvnitř je mimo jiné k vidění kosmický záchod. Na pravém snímku je Lunochod, první automatické vozidlo zkoumající povrch jiného kosmického tělesa, než je Země. Existovaly dva Lunochody, na pohled obtížně rozeznatelné, přistavší na Měsíci v letech 1970 a 1973.





Největší sál muzea, kde stojí a visí největší exponáty, včetně Miru (není vidět, je za rohem). Místo v popředí zaujímá maketa raketoplánu Buran.