Determinismus a morální soudy

V úvodním článku po pauze se vrátím k tématu, o kterém jsem psal před více než dvěma lety, a tím je determinismus. K tématu mě inspiroval mejl, který jsem dostal od jistého čtenáře před zhruba měsícem (ano, tak dlouho může trvat najít si čas a odhodlání sepsat odpověď), ve kterém zazněl dotaz na slučitelnost determinismu a morálních soudů.

Morální argument proti determinismu je asi nejčastějším argumentem proti determinismu. (Možná ne mezi filosofy zabývajícími se kauzalitou, ale možná i tam.) „Determinismus je neslučitelný s pojmem viny. Pokud by platil determinismus, pak nemáme právo trestat zločince, protože cokoli zločinec udělá, je nevyhnutelným důsledkem přírodních zákonů — a je morálně nepřípustné trestat člověka za čin, který je nevyhnutelný.“ Lidské uvažování už je takové, že morální argumenty nesou na intuitivní úrovni větší váhu, než argumenty morálně neutrální. Navzdory tomu, nakolik jsou dobré fyzikální argumenty svědčící o tom, že přírodní zákony jsou deterministické, je málo těch, kteří zdánlivý spor vyřeší modifikací svého morálního přesvědčení: opuštěním přesvědčení, že je nepřípustné trestat za činy, ke kterým nebyla alternativa, nebo připuštěním, že možná skutečně nemáme právo trestat zločince. Je to téměř vždy premisa determinismu, na kterou se snese jádro pochybností. A pokud přece člověk přijme, že žije v deterministickém světě, zůstává často pachuť nevyřešené kognitivní disonance mezi fyzikálním modelem reality a morální intuicí. V tomto článku se pokusím tuto pachuť rozptýlit.

Jako prerekvizita se zdá nutná definice determinismu. Pro účely tohoto článku determinismem myslím přesvědčení, které se dá charakterizovat některou z následujících formulací (nemusí být nutně všechny navzájem slučitelné, článek by měl být kompatibilní s každou z nich):

• Známe-li stav světa v jednom momentě, fyzikální zákony nám umožňují (v principu) předpovědět stav světa ve všech následujících časech. Čím přesnější je znalost výchozího stavu, tím přesnější je znalost pozdějších stavů; není žádná pevná mez přesnosti, kterou by nebylo možné překonat.
• Přírodní zákony logicky předurčují podobu světa. Události, ke kterým došlo, jsou logicky nutné (za předpokladu platnosti daných zákonů) a není k nim logicky konsistentní alternativa.
• Přírodní zákony a stav světa v minulosti logicky předurčují stav světa dnes. Hypotetická alternativa k dnešnímu stavu světa by vyžadovala změnu stavu světa ve všech předešlých okamžicích.
• Neexistuje žádná výjimka z přírodních zákonů, která by se dala klasifikovat jako svobodná vůle. Duševní pochody každého člověka jsou stejně rigidním a jednoznačným důsledkem přírodních zákonů jako cokoli jiného; mozek je zcela běžný fyzikální systém. Existuje-li svobodná vůle, pak je (v principu) popsatelná pomocí standardní fyziky.

Druhá prerekvizita se omezí na upozornění: jelikož se nechci rozepisovat o případných možnostech, které se otevírají v případě, kdy přírodní zákony jsou pouze pravděpodobnostního charakteru (jako v případě kvantové mechaniky), omezím se ve své obhajobě oprávněnosti pojmu viny na předpoklad ryze deterministického světa, jehož fyzika umožňuje (v principu) předvídat budoucnost s absolutní přesností a jistotou. Je to proto, že se za prvé nedomnívám, že kvantové jevy hrají v rámci lidského rozhodování jakkoli důležitou roli, a za druhé, pokud argumenty níže fungují pro plně deterministický klasický svět, fungují i pro částečně deterministický a částečně náhodný kvantový svět.

Nejprve se podívejme na důvody, které máme pro trestání zločinců. Vezměmě třeba případ Spartakiádního vraha Straky. Většina z nás bude souhlasit, že byl potrestán správně; ale proč vlastně?

Na prvním místě mezi důvody můžeme uvést prostou morální intuici, která většině z nás říká, že Straka si svůj trest prostě zasloužil. Intuice nebývají příliš silným argumentačním základem, ale nejsou ani zcela bezcenné. Největší problém u intuitivního argumentu není pravděpodobně to, že je intuitivní (a tudíž neprůhledný pro další racionální zkoumání), ale že podobné morální odsudky bývají subjektivní a podléhají vlivu okolností se zločinem přímo nesouvisejících. I u tak kanonického zločinu, jakým spartakiádní vraždy jsou, se najde dost těch, kteří chápou pachatele spíš jako oběť svého chtíče, a nemyslí si tak, že by si zasloužil trest. Intuitivní argument tak můžeme označit za slabý. Přesto — jak dopadne střet tohoto důvodu pro trestání s vírou v determinismus? Zde mohu mluvit za sebe: ačkoli jsem o pravdivosti determinismu přesvšdčen drahnou dobu, některé činy mě stále naplňují rozhořčením a touhou vidět pachatele potrestaného. Je možné, že pro většinu deterministů to neplatí, a víra v determinismus v nich udusí intuitivní odsudek zločinu; přesto morálně intuitivní důvod pro trestání s determinismem zcela neslučitelný není [1,2].

Příbuzným důvodem pro trestání zločinců je dosažení satisfakce pro oběti jeho činů. Ačkoli pocit zadostiučinění není zřejmě nic jiného, než o odstavec výše diskutovaná intuitivní touha po potrestání pachatele, přesto se jedná o jiný argument: v prvním případě člověk potrestání zločinu prosazuje, protože sám cítí, že je to tak správně, v druhém jej prosazuje proto, že chce uspokojit morální intuice jiných, zejména obětí zločinu. I ten, kdo sám nad zločinem necítí žádné rozhořčení, se může přiklánět k trestu, aby uhasil rozhořčení jiných — ať už protože mu záleží na jejich spokojenosti, nebo protože se obává například odvetných násilností.

Přejděme teď k silnějším důvodům, které s morálními intuicemi nemají vůbec nic společného. Jedním z nich je odstrašení. Ačkoli Spartakiádní vrah své činy vykonal i přes hrozbu trestu, je celkem rozumné se domnívat, že celá řada potenciálních viníků zločiny nepáchá (nebo páchá v menší míře) z obav z trestu. Z historické zkušenosti je zřejmé, že efekt odstrašení nemůže zločin vymýtit zcela: ani brutální středověké tresty nezabránily krádežím a vraždám. Přesto jen málokdo pochybuje, že vědomí beztrestnosti omezuje zábrany, a že absence trestů by vedla ke zvýšení zločinnosti, i když je obtížné říct, v jaké míře. (Je dokonce možné, že plná absence trestání není situace, ve které se reálná společnost může stabilně nacházet.)

Dalším důvodem je izolace zločince a ochrana společnosti. Cítíme se bezpečněji, když víme, že Spartakiádní vrah nechodí mezi námi, a pravděpodobně jsme během jeho pobytu za katrem skutečně byli ve větším bezpečí, než kdyby trestu unikl. K tomu se přidává aspekt výchovy: věříme, že potrestaný zločinec si díky trestu uvědomí, že sešel na špatnou cestu, a trest zvyšuje šance, že se místo vyvrhele navrátí do společnosti řádný občan.

Všechny předchozí argumenty jsou plně použitelné v deterministickém světě. Bylo by absurdní na základě deterministického přesvědčení popírat, že potrestání zločince může utlumit vášně nespokojeného davu, nebo že zavřený (či popravený) vrah nemůže dále vraždit, nebo že si potenciální hříšníci čas od času svůj přečin ve fázi plánování nerozmyslí kvůli strachu z trestu. A i když existují dobré důvody se domnívat, že dnešní trestání dominantně založené na věznění svůj výchovný účel neplní a z pachatelů dělá spíš recidivisty než řádné občany, není to jistě pravda pro libovolný druh trestání — a už vůbec to není námitka jakkoli související s determinismem. Jediný způsob, jak by snad mohla víra v determinismus ohrozit uvedené argumenty, by mohlo být skrze přesvědčení, že v deterministickém světě jsou i činy zločinců předem determinované, a tak nemá cenu snažit se jim jakkoli zabránit, protože i výsledek snahy je předem určený podle neměnných zákonů přírody. Člověk spadnuvší do podobných hlubin fatalismu se ale pravděpodobně ani nebude pokoušet podobnou námitku vytáhnout, protože koneckonců i výsledky diskusí (a to, zda či nikoli bude naše společnost nadále zločince trestat) jsou předem determinovány; nebudu proto tuto hypotetickou námitku nadále rozebírat, doufaje, že její nesmyslnost je dostatečně zřejmá.

Mělo by tedy být přinejmenším jasné, že i když věřím, že přírodní zákony jednoznačně určují běh světa, stále mám důvody podporovat takový stav věcí, že po zločinu následuje trest. I kdybych si nechal determinismem podminovat svou schopnost morálně odsuzovat určité druhy jednání, pořád budu podporovat věznění či popravování nebezpečných vrahů; možná nemám morální právo požadovat jejich trest, ale mám-li volit mezi absencí abstraktního práva a nožem v zádech, jsem pro první možnost. Přesto uznávám, že tento závěr není příliš uspokojivý, a tak se pokusím v si závěru obhájit i to morální právo.

Přesvědčení o neslučitelnosti determinismu a viny (která je podkladem pro morální obhajitelnost trestu) vyvěrá ze zvyklosti nepřipisovat lidem vinu za věci, které nemohli ovlivnit, za činy, ke kterým neexistovala alternativa. Pokud přírodní zákony jednoznačně určují budoucí běh světa, pokračuje úvaha, žádný člověk, i kdyby sebevíce chtěl, nemůže zvrátit předurčenou budoucnost, neb neexistuje možnost protivit se přírodním zákonům, a proto je nesmyslné připisovat vinu jakémukoli člověku, jenž je pouhým otrokem přírodních zákonů.

Zkusme se ale podívat na vinu jinak, praktickým pohledem. Jistě existují důvody, proč na určité lidi svalujeme vinu, zatímco na jiné nikoli. Při bližším pohledu na lidský instinkt vedoucí k obviňování je vidět, že vinu klademe zpravidla těm, kteří se systematicky chovají způsobem, který nás poškozuje. Nebo, ještě výstižněji řečeno, vinu připisujeme v situacích svědčících o tom, že viník má určité povahové rysy, které jej vedou k závadnému chování. Neklademe vinu člověku, který zabije v sebeobraně — takový člověk není ničím nebezpečný lidem, kteří ho neohrožují na životě. Většina z nás neklade vinu tomu, kdo ukradne jídlo, když umírá hladem (v situaci, do které se dostal cizím přičiněním) — aby takový člověk nekradl, stačí ho vysvobodit z tíživé situace, není nutné ho trestat. Vinu naopak klademe tam, kde čin vychází z povahy pachatele, který se jej dopouští v situacích, ve kterých by se většina ostatních lidí chovala zákonně a mravně. (Dá se celkem věrohodně spekulovat o tom, že rozhořčení nad spáchaným zločinem představovalo během evoluce člověka selekční výhodu: jedná se o emoci pomáhající člověku mimo jiné najít odvahu a odhodlání k razantní obraně sebe a svých příbuzných proti agresi nebezpečných soukmenovců. Jít do konfliktu s jiným člověkem je nebezpečné, ale je-li to člověk, který sám vyhledává konflikt a chce mě poškodit, je pro mě výhodnější sám si vybrat moment střetu a snažit se přitom získat podporu zbytku společenství, ve kterém žiji.)

Intuice říkající, že není možné vinit člověka za to, k čemu byl přinucen, tak má dobré důvody. Výše vyjmenovaná ospravedlnění pro trestání zločinů — ochrana společnosti před zločinci, odstrašení potenciálních zločinců a jejich převýchova — nedávají smysl v případě, že „zločin“ byl spáchán z donucení, protože v takovém případě onen „zločin“ nepředstavuje důvod se domnívat, že „pachatel“ je skutečně nebezpečný. Teprve tehdy, je-li zločin důsledkem povahových rysů pachatele, má smysl snažit se jej izolovat, převychovat nebo zastrašit.

Podíváme-li se na situaci popsaným pohledem, deterministické přírodní zákony, ač v určitém smyslu předurčují jednání člověka, nepředstavují externí, na pachateli nezávislou, příčinu jím spáchaných činů. Deterministické zákony skrze osobu pachatele způsobují zločin, a tak je zcela smysluplné se zločinu taktéž skrze osobu pachatele bránit. Vina je vlastností duševních procesů v mozku pachatele — jsou-li tyto procesy příčinou sociálně patologických činů (a není-li tedy příčinou nějaká zevní okolnost, jako že pachatele někdo jiný s pistolí v ruce k činu donutil), pak připisujeme vinu. To, že se jedná o procesy deterministické, není naprosto překážkou, ba naopak: kdyby se jednalo o procesy náhodné a nepředvídatelné, spáchaný zločin by nebyl důvodem pro přesvědčení, že pachatel se bude podobně chovat i v budoucnu, a o řadu praktických důvodů pro trestání bychom přišli.

Poznámky:

1. Upozorňuji, že mluvím o intuitivním pocitu, že si pachatel trest zaslouží, nikoli o vědomé racionální úvaze. Je pravděpodobné, že mnoho deterministů dojde racionální úvahou k závěru, že morální zaslouženost trestu je nekoherentní idea, a přesto cítí podvědomou satisfakci, je-li pachatel potrestán. Úvahu, nakolik je takový stav oprávněným důvodem pro trestání pachatelů ponechám stranou.

2. Ačkoli tradičně lidé problém s odsuzováním určitých činů jen proto, že vyvolávají instinktivní odpor, nemívali, v moderní době často narážíme na konsekvencialistický ideál, že pokud trest nepovede k pozitivním důsledkům (například těm diskutovaným v další části článku), nemá na něj společnost právo; nikdo by neměl být trestán jen proto, že si to „zaslouží“. Zajímavou úvahou pro zastánce tohoto názoru by mohla být zrcadlová situace: pokud by člověk neměl být trestán jen proto, že si to za své zlé činy zaslouží, nemělo by potom platit i naopak, že člověk by neměl být odměňován jen proto, že si to za své dobré činy zaslouží? Měli bychom odměňovat jen v situacích, kdy odměna zvýši pravděpodobnost, že její příjemce bude konat dobro i nadále?

Filosofické pseudoproblémy: Gettierových deset mincí

Epistemologie je odvětví filosofie zabývající se poznáním. V jejím rámci je možné řešit relativně důležité otázky: Jak vyhodnocovat informace? Čemu věřit, když máme k dispozici protichůdné informace? Jak vůbec posuzovat věrohodnost zdrojů? A podobně. Zejména ve filosofii ovšem existuje tradice, jež velí věnovat nemalou pozornost napohled fundamentálnějším otázkám: Co to vůbec je, poznání? Co znamená, když říkáme, že něco víme?

Přijímaným standardem bylo říkat, že znalost [*] je odůvodněné pravdivé přesvědčení. Abychom mohli říct, že nějaký fakt známe, musíme být přesvědčeni o jeho pravdivosti, proto „přesvědčení“. Nelze ovšem znát nepravdu: řekneme, že staří Egypťané si mysleli, že Země je placatá; nikdo neřekne, že to věděli, ať už jejich přesvědčení bylo jakkoli silné. Proto „pravdivé“. A nakonec, znalost musí vycházet z nějakého rozumného procesu poznávání; gambler může pevně věřit, že tentokrát svou sázku vyhraje, může se mu i jeho víra naplnit, ale přesto o něm nikdo neřekne, že věděl, že vyhraje. Proto „odůvodněné“. Dohromady celkem přímočará definice, kterou dá zdravý rozum. Až do příchodu Edmunda Gettiera.

Gettierovi stačilo sepsat kratičký článek, aby tuto definici zcela zbořil. Nástrojem jsou mu dva myšlenkové experimenty:

Případ I
Předpokládejme, že Smith a Jones se ucházejí o určité místo. A předpokládejme, že Smith má silné důvody věřit následující konjunkci:

(a) Jones bude tím, kdo získá místo, a Jones má deset mincí ve své kapse.

Smithovy důvody pro přesvědčení (a) mohou být ten, že ředitel společnosti ho ujistil, že Jones nakonec bude tím vybraným, a ten, že on, Smith, spočítal mince v Jonesově kapse před deseti minutami. Z výroku (a) plyne:

(b) Muž, který získá místo, má deset mincí v kapse.

Předpokládejme, že Smith vidí odvození (b) z (a) a přijme (b) na základě přijetí (a), pro které má silné důvody. V tom případě je Smithova víra v pravdivost (e) jasně odůvodněná.

Ale představme si dále, že aniž by to věděl, Smith sám a ne Jones získá to místo. A také, aniž by to věděl, má sám deset mincí v kapse. Výrok (b) je tak pravdivý, ač výrok (a), ze kterého Smith (b) vyvodil, je nepravdivý. V našem případě, všechny následující podmínky jsou splněny: (i) (b) je pravda, (ii) Smith věří, že (b) je pravda a (iii) Smith má důvody věřit, že (b) je pravda. Ale je stejně jasné, že neví, že (b) je pravda, poněvadž (b) je pravda zásluhou počtu mincí ve Smithově kapse, přičemž Smith neví, kolik mincí je ve Smithově kapse, a zakládá své přesvědčení na počtu mincí v kapse Jonese, o kterém se chybně domnívá, že bude tím, kdo získá místo.

Případ II
Předpokládejme, že Smith má silné důvody věřit tomuto výroku:

(c) Jones vlastní Forda.

Smithovy důvody mohou být ty, že Jones vždy v minulosti, kam až sahá Smithova paměť, vlastnil auto, vždy Forda, a že Jones Smithovi právě nabídl svezení Fordem. Představme si teď, že Smith má jiného známého, Browna, o jehož místě pobytu nic neví. Smith zcela náhodně vybere tři místní názvy a zkonstruuje tři výroky:

(d) Buď Jones vlastní Forda, nebo Brown je v Bostonu.
(e) Buď Jones vlastní Forda, nebo Brown je v Barceloně.
(f) Buď Jones vlastní Forda, nebo Brown je v Brestu Litevském.

Každý z těchto výroků plyne z (c). Předpokládejme, že Smith si uvědomuje toto vyplývání a tudíž přijme (d), (e) a (f) na základě (c). Smith správně odvodil (d), (e) a (f) z výroku, pro jehož přijetí měl silné důvody. Smithova víra v tyto výroky je proto zcela odůvodněná. Smith, samozřejmě, nemá ponětí, kde je Brown.

Ale představme si, že jsou splněny dvě další podmínky: Za prvé, Jones nevlastní Forda a momentálně řídí pronajaté auto. A za druhé, čistou shodou okolností, a zcela bez Smithova vědomí, místo uvedené ve výroku (e) je skutečně místem Brownova pobytu. Platí-li tyto dvě podmínky, pak Smith neví, že (e) je pravda, ačkoli (i) (e) je pravda, (ii) Smith věří, že (e) je pravda, a (iii) Smith má důvod věřit, že (e) je pravda.

Gettier jistě nebyl první, koho podobná úvaha napadla, ale byl první, kdo ji zpopularizoval. V druhé polovině dvacátého století! Že v této době bylo možno získat si slávu triviálním argumentem stojícím na roveň Zénónových paradoxů, vzbuzuje údiv. Copak filosofie pokročila tak málo za více než dva tisíce let své historie?

Fakt, že se takovou věcí ještě dnes lidé jsou ochotni zabývat, je podle mého soudu symptomem tří potíží. První je posedlost definicemi. Když máme slovo „vědět“, musí přece odpovídat kategorii jednoznačně vymezené pomocí několika málo primitivnějších termínů, není-liž pravda? A zřejmě čím častěji je slovo používáno, tím je jeho definice důležitější: jak by se pak epistemologie obešla bez definice vědění? Bez ironie: Tohle je cesta, která začíná na školách výukou mouder typu „matematika je přírodní věda“, nebo „filtrace je fyzikální a nikoli chemický proces“, případně „viry (ne)jsou živé organismy“ [*], a končí definicemi jsoucna a Heideggerem.

Druhá potíž touha po binárních, černobílých klasifikacích: výroku buď věřím nebo nikoli, fakt buď znám nebo neznám, nic mezi tím. Reálný Smith by ovšem byl silně přesvědčen, ale nikoli si stoprocentně jist, výrokem (a); když by se ukázalo, že (a) ve skutečnosti neplatí, nenastal by žádný paradox, neboť jakkoli silné přesvědčení může být omyl. Jakmile ovšem začneme mluvit o stavu „vědění“, který je z definice neslučitelný s omylem, je jasné, že buď tento stav bude buď vyžadovat naprostou jistotu, čímž se stane prakticky nedosažitelným, nebo ho musíme definovat konjunkcí nezávislých podmínek (dostatečná míra jistoty + pravdivost), a takové definice jsou jako stvořené pro paradoxní protipříklady. Z obou případů vyjde „vědění“ jako prakticky nepoužitelný termín. Proto je mi sympatická bayesovská epistemologie: místo nesmyslné kategorizace výroků do škatulek „věřím“, „nevěřím“, „vím“, nabízí spojitou škálu důvěry v hypotézy, bez nutnosti vzhlížet k absolutní jistotě jakéhokoli druhu.

Poslední potíží je pak nevyřčený předpoklad, že znalosti jsou v mozcích uchovávány ve formě výroků, které člověk buď přijímá nebo odmítá. Reálný Smith pravděpodobně nemá v mozku abstraktní šanon domnělých pravd skrývající všechny výroky, se kterými se setká a vyhodnotí je jako pravdivé. Pokud něco jako šanon domnělých pravd existuje, pravděpodobně bude uchovávat pouze některé výroky; tj. bude v něm (g) „Jones má Forda“, ale už ne (h) „Jones má Forda nebo 1+1=17“. Z hlediska formální logiky není mezi výroky podstatný rozdíl: výroková logika neodlišuje jednoduché výroky od složených. To ale neznamená, že rozlišení neexistuje na úrovni biologické reprezentace výroků. Smith sice uzná pravdivost jak (g), tak i (h), ale jeho přesvědčení o pravdivosti (g) bude zřejmě založeno na jiném kognitivním procesu, než přesvědčení o pravdivosti (h). Asi lze stavět epistemologii rigidně dle vzoru logiky, bez ohledu na detaily implementace ideí v mozcích, ale pochybuji, že to má valný smysl: na řešení otázek, které by taková abstraktní epistemologie mohla zvládnout, si vystačíme s prostou logikou.

Filosofické pseudoproblémy: zedrý a molený

Každý den ráno, s železnou pravidelností, vyjde slunce. Děje se tak od nepaměti, nikdo nikdy nezaznamenal výjimku z pravidla. Můžeme proto věřit, že slunce vyjde i zítra? Jedná se o problém indukce, jednu z oblíbených hrátek filosofů.

Indukce je odvození obecného pravidla z platnosti jeho jednotlivých instancí. Obecné pravidlo je například to, že slunce vyjde každý den, instancí je třeba fakt, že slunce vyšlo 12. listopadu 1949. Pokud pro mnoho různých n ověříme platnost predikátu P(n) a zároveň nenalezneme žádné n takové, aby P(n) neplatilo, pak induktivní úvaha vede k přijetí závěru ∀n: P(n). Indukce není absolutně spolehlivá: i když platí P(1), P(2), ... P(568), klidně se může stát, že P(569) platit nebude. Zajímavým příkladem selhání indukce je Pólyova hypotéza, která říká, že pro každé přirozené číslo n větší než 2, alespoň polovina čísel menších než n má lichý počet prvočíselných faktorů. Vezměme třeba čísla menší než n = 7: lichý počet faktorů mají tři (2, 3 a 5), zatímco sudý počet faktorů mají pouze dvě: 4 (=2x2) a 6 (=2x3). Sedmička tedy není tím n, které by hypotézu ∀n: P(n) vyvrátilo. Zkusíte-li systematicky brát všechny hodnoty n od tří nahoru, pravděpodobně dojdete po chvíli k induktivnímu závěru, že hypotéza platí. Abyste našli protipříklad, museli byste mít sakra velkou trpělivost: nejnižší n, pro které P(n) selhává, je rovno 906 150 257.

Nezaručenost induktivních závěrů vzbuzovala vždy nedůvěru. Na jedné straně indukci používáme každý den, na druhé straně, pokud akceptujeme Humeův argument, nemůžeme její užití deduktivně odůvodnit. Je pravděpodobné, že nedůvěra k indukci inspirovala Popperovu filosofii vědy, která se indukci elegantně vyhýbá za cenu toho, že žádnou teorii nikdy neprohlásí za pravdivou. Nechci ovšem o tom teď spekulovat, neb mám na mysli bizarnější problémek, kterému se říká Goodmanův paradox.

Nelson Goodman se zamýšlel nad typickou induktivní úvahou, které by se mohl oddávat třeba hledač drahokamů: Všechny až doposud nalezené smaragdy byly zelené. Znamená to, že i všechny v budoucnu nalezené smaragdy budou zelené?

Zdravý rozum, zdá se, podporuje kladnou odpověď. Deduktivně odvozená jistota to není, ale vysoká pravděpodobnost ano. (Pro hnidopichy: v rámci této úvahy zelená barva není považována za součást definice smaragdu. Že v reálném světě zelená barva požadována je, a tudíž že smaragdy jsou poměrně špatný materiál pro ilustraci našeho „paradoxu“, to je výtka, již třeba směřovat přímo Goodmanovi.)

Goodman proti zdravému rozumu nasadí tuto sofistiku:

Nadefinujme si nové pojmy: budeme říkat, že objekt je zedrý (v originále grue), pokud je zelený a zároveň je rok 2020 nebo dřívější, nebo pokud je objekt modrý a zároveň je rok 2021 nebo pozdější. Analogicky, objekt je molený (bleen), je-li modrý a datum je 2020 nebo nižší, nebo je-li zelený a datum je 2021 nebo pozdější. Těmito novými pojmy jsme schopni nahradit náš starý slovník týkající se barev. Když vyjdu ven a podívám se nahoru, uvidím molené nebe a zedrou trávu [*] Jaký to představuje problém pro smaragdy a indukci? „Všechny doposud nalezené smaragdy byly zedré“, řekl by hledač drahokamů, shodou okolností čtenář Goodmanových článků. „To znamená (s vysokou pravděpodobností), že i v budoucnu budou všechny nalezené smaragdy zedré.„ Hypotéza, že všechny v budoucnu nalezené smaragdy budou zedré, je samozřejmě v konfliktu s hypotézou, že všechny smaragdy budou zelené. Kdybychom věřili první hypotéze, očekávali bychom, že po prvním lednu 2020 smaragdy zmodrají. To je pochopitelně absurdní, a tudíž Goodmanova induktivní úvaha nefunguje. A nabízí se tudíž otázka: Proč indukce funguje se slovy „zelený“ a „modrý“, zatímco nefunguje se slovy „molený“ a „zedrý“?

Je myslím plně rozumné odvrhnout nejjednodušší odpověď, a to, že (A) indukce vlastně nefunguje nikdy. Byla by to příliš vysoká cena za vyřešení triviálního paradoxu. Problematická je i další odpověď, byť na první pohled vypadá rozumněji: (B) pojmy „molený“ a „zedrý“ jsou odvozené z primitivních pojmů „zelený“ a „modrý“, a induktivních úvah se lze platně dovolávat pouze tehdy, užívají-li primitivní pojmy. Problémy jsou dva: (1) bez dalšího objasnění je „primitivnost“ příliš vágní vlastnost, a (2) mnoho induktivně odvozených zákonitostí je formulováno pomocí odvozených pojmů. Vezměme třeba zákon zachování energie; energie zpravidla není měřena přímo a je definována pomocí jiných, primitivnějších, fyzikálních veličin. V duchu námitky (1) zase jde standardní Goodmanův protiargument: Představme si člověka vychovaného ve společnosti užívající slova „molený“ a „zedrý“ (nebo významové ekvivalenty) pro označování barev. Pro takového člověka je „zelený“ nové slovo, nadefinované jako „zedrý“ do Silvestra 2019 a „molený“ po prvním lednu 2020. Z pohledu takového člověka je náš barevný slovník kompozitní, nadefinovaný pomocí primitivních goodmanovských pojmů.

Námitky pomocí viditelně vykonstruovaného myšlenkového experimentu obvykle nepovažuji za příliš relevantní (nemám například problém se smířit s tím, že člověk myslící v goodmanovských barvách je co do užití indukce ztracen), ale možná stojí za to tezi (B) modifikovat tak, aby byla proti podobným námitkám imunní. Můžeme začít třeba s touto variantou:

(C) Zedrost a molenost jsou nepřirozené pojmy. Jejich určení vyžaduje stanovit časovou hranici, 1. leden 2020, kterou si někdo vycucal z prstu. Nepřirozené vlastnosti nemohou být induktivně zobecňovány z pozorování.

Nevyhovuje-li přirozenost jako kritérium, můžeme se vždy obrátit ke staré známé Occamově břitvě:

(D) Zedrost a molenost jsou složitější pojmy než modrost a zelenost. Pozorování, že všechny doposud nalezené smaragdy byly zedré sice je evidence pro induktivní vyvození, že zedrost bude pozorována i v budoucnu, ale proti tomu stojí stejně platná induktivní úvaha vyvozující, že smaragdy budou zelené. Jelikož je druhá úvaha jednodušší, má přednost.

Nejlepší se mi ale stále jeví statistický argument.

(E) Zedrost a molenost nejsou vlastnosti předmětů, ale vlastnosti předmětů a času. Co se času týče, je statistický vzorek nereprezentativní.

Ke zjištění, zda je předmět zelený nebo modrý stačí mít oči (nebo spektrometr). Ke zjištění, zda je zedrý nebo molený potřebujeme navíc hodiny. Množina dostupných pozorování tak jsou dvojice (přirozená barva, čas), ze kterých můžeme odvodit goodmanovskou barvu. Všechny prvky množiny mají přirozená barva = zelená a čas < 2020 (což pochopitelně implikuje goodmanovská barva = zedrá). Platná induktivní úvaha obecně může znít

1. Všechny pozorované prvky nezanedbatelně velké množiny mají vlastnosti X a Y.
   
2. Tudíž pravděpodobně všechny prvky této množiny včetně těch nepozorovaných mají vlastnosti X a Y.
   

Nemůže ale být ve tvaru

1. Všechny pozorované prvky nezanedbatelně velké množiny mají vlastnosti X a Y.
   
2. Tudíž pravděpodobně všechny prvky této množiny včetně těch nepozorovaných, které nemají vlastnost Y, mají vlastnosti X.
   

Prvky množiny jsou nálezy smaragdů a vlastnost Y je čas nálezu, respektive fakt, zda byl nález učiněn před rokem 2020. Jelikož Y umíme docela dobře ovlivnit, můžeme dost dobře předpokládat, že existují i nálezy, kde Y neplatí, čímž vyloučíme platnou první induktivní úvahu. Vyloučení platné úvahy ovšem člověka neopravňuje k akceptování její neplatné modifikace.

Goodmanův paradox může být docela užitečnou ilustrací toho, že ne všechny pojmy jsou si rovny. Indukce jej ovšem přežije celkem snadno.

Pascalova sázka

Jméno Blaise Pascala je dnes veřejnosti známé především jako označení jednotky tlaku, části veřejnosti pak i jako název programovacího jazyka. Je ovšem otázkou, zda by s tímto druhem slávy byl Pascal sám spokojen. Stejně jako jeho slavnější kolega Isaac Newton, i Pascal byl zaníceným křesťanem, a v posledních letech svého života, poté, co prožil náboženskou vizi, považoval teologické otázky za důležitější než světské problémy matematiky a fyziky. Mluvíme-li u Pascala o posledních letech života, netřeba si představovat senilního starce: když v roce 1669 umíral, bylo mu pouhých třicet devět let.

Dá-li se génius Pascalova střihu na teologii, nedá se čekat, že bude plně ortodoxním pokračovatelem tradic. A skutečně, Pascal sympatizoval se sektou jansenistů, kteří se sice považovali za dobré katolíky, ale přesto se nevyhnuli oficiálnímu papežskému zatracení. Pascalovy výlety do říše teologie ale nejsou pouze odrazem sporů mezi jansenisty a Vatikánem (kterýžto spor se týkal zejména schopnosti člověka ovlivnit svoji spásu) — Pascal má na svém štítě přinejmenším i jeden netradiční fundamentální argument; fundamentální proto, že se týká samotného opodstatnění víry. Jsa nespokojen s neprůhlednými scholastickými sofismaty dokazujícími existenci boha pomocí principů kauzality nebo hierarchie hodnot, sestavil Pascal prostou úvahu:

„Můžete ztratit dvě věci: pravdu a dobro, a dvě věci musíte vsadit: svůj rozum a vůli, své znalosti a své štěstí; a vaše přirozenost se straní dvou věcí: chyby a bídy. Váš rozum není více raněn volbou jednoho než volbou druhého, poněvadž je třeba volit. Toť prázdný úhel pohledu. Ale co vaše štěstí? Važme zisky a ztráty, v sázce na to, že Bůh je. Uvažme obě možnosti: pokud vyhrajete, získáte všechno, pokud prohrajete, neztratíte nic. Vsaďte tedy na to, že je, bez váhání.“ (citace z Pascalových Myšlenek (Pensées), převzato z Wikipedie, vlastní překlad)

Ziskem všeho Pascal myslí fakt, že pokud bůh existuje a člověk v něho věří, přijde do nebe. Pokud ovšem bůh neexistuje, víra nemá žádné negativní následky (Pascal zastával názor, že má následky pozitivní, protože se člověk chová morálněji, ale na účinnost argumentu nemá platnost tohoto názoru zásadnější vliv). Naopak, pokud člověk vsadí na neexistenci a zmýlí se, bude se na věčnost smažit v pekle, což není zrovna příjemná vyhlídka.

Moderní strukturovaná forma argumentu může vypadat třeba takto

1. Člověk musí rozhodnou, zda bude v boha věřit nebo nikoli. (předpoklad, agnosticismus je z hlediska argumentu považován za nevíru)
   
2. Víra v boha znamená místo v nebi na dobu neurčitou jestliže bůh existuje, plus nějaké dále nespecifikované výhody nebo nevýhody víry v pozemském životě (označme X) bez ohledu na to, zda bůh existuje. (předpoklad, zjevné)
   
3. Nevíra znamená místo v pekle na dobu neurčitou jestliže bůh existuje, plus další výhody nebo nevýhody nevíry ve světském životě (Y) bez ohledu na existenci boha. (předpoklad, zjevné)
   
4. Nechť pravděpodobnost existence boha je p a užitek z různých variant označme písmenem u. Očekávaný užitek z víry je u(X) + p.u(nebe), užitek z nevíry je u(Y) + p.u(peklo). (definice symbolů)
   
5. Užitek z pobytu v určitém místě je přímo úměrný době strávené v onom místě. Jelikož je pobyt v nebi či pekle dle předpokladů 2 a 3 na věčnost a protože jakkýkoli konečně dlouhý pobyt v nebi je příjemný (kladný užitek) zatímco pobyt v pekle je nepříjemný (záporný užitek), je u(nebe) = ∞ a u(peklo) = -∞. (předpoklad, zní docela rozumně)
   
6. Užitek z X a Y je konečný. (předpoklad, také zní věrohodně)
   
7. Tudíž, užitek z víry je roven +∞ a užitek z nevíry roven -∞. (plyne z 5 a 6)
   
8. Měli bychom proto věřit. (plyne z 7 a běžně uznávaných zásad rozhodování)
   

Když jsem Pascalův argument slyšel poprvé, nevěda o autorově silném náboženském přesvědčení, domníval jsem se, že je to parodie argumentu, beroucí si na paškál praktické fungování náboženství ve své době. Argument, že bychom něčemu měli věřit, ne protože je to pravda, ale protože se to vyplatí, by člověk dnes z úst věřícího nečekal. Sázet si na existenci boha, to zní jako kupčení se svátostí, morálně stojící někde na úrovni prodeje odpustků. Náboženství, které striktně odsuzuje hazard, že by zakládalo svou důvěryhodnost na úvaze hodné gamblera? Jistě, prakticky to možné je (stejně jako byly prakticky možné odpustky), bývalo ale zvykem aspoň předstírat vyšší míru idealismu.

Na druhou stranu, když se přeneseme přes „morální šok“ plynoucí z asociace boha a sázek, přízemnost Pascalova argumentu z něj činí jeden z nejracionálnějších „důkazů“ boží existence, co byly kdy vynalezeny (znamená-li „důkaz“ jakoukoli myšlenkovou konstrukci, která člověka přiměje věřit v danou věc). Vzhledem k pokleslé úrovni celého žánru apologetiky to není příliš silný kompliment — a určitě tím nechci říct, že je Pascalův argument správně. Je ovšem alespoň natolik zajímavý, že šťourání se v důvodech jeho nesprávnosti může být inspirativní. Ačkoli totiž zdravý rozum jasně říká, že sázet na existenci boha kvůli Pascalovu zdůvodnění je hloupost, není tak snadné říct, proč je to hloupost. Protiargumentů je řada, každý útočí na jinou slabinu Pascalovy sázky přinášeje s sebou své vlastní slabiny. Podívejme se na některé z nich.

Prvním protiargument může znít: Víra není vědomé rozhodnutí. Když mi šílený sponzor nabídne sto tisíc korun za to, že uvěřím v červenou barvu Neptuna, jistě by se mi vyplatilo uvěřit. Je velmi nepravděpodobné, že kdy ztratím větší částku kvůli nesprávnému přesvědčení o barvě Neptuna, a škoda na osobní pověsti plynoucí z věřejně proneseného výroku „Neptun má sytě rudou barvu čínské vlajky“ není nijak nenapravitelná. Přesto, i když by to bylo v mém zájmu, nemohu uvěřit, že Neptun je červený. O takové věci mě může přesvědčit červená fotografie Neptuna spolu se sakra dobrým vysvětlením toho, proč všechny dříve viděné obrázky planety měly barvu modrou, ale nemůže mě o téže věci přesvědčit sto tisíc korun. Samozřejmě, mohu předstírat, že Neptun je červený, stejně dobře jako mohu předstírat, že věřím v boha; zatímco ale šílený sponzor je o mé víře informován pouze skrze má slova, vždy jsem měl za to, že bůh dle předpokladu vidí do duší svých oveček a cení si upřímnosti. Ale možná se mýlím a jansenistický bůh přetvářku neprohlédne, nebo je zarytým behavioristou a při rozhodování mezi nebem a peklem ho zajímá jenom projevené chování, a už ne vnitřní duševní stavy.

Kupodivu, na uvedený argument se moc často nenarazí. Zřejmě to souvisí s tradicí existující v rámci většiny odnoží velkých monoteismů, že víra je aktem vědomého rozhodnutí. Vždy mě udivuje, když lidé mluví o „rozhodnutí“ nebo „snaze uvěřit“ — jsou to zřejmě akty vyžadující autosugesci na úrovni, které nejsem schopen. Pascalovu sázku lze odmítnout jako běžné argumentum ad consequentiam; tím bychom ovšem ponechali specifika Pascalova argumentu stranou, a to by byla škoda.

Abych se s klidným svědomím přenesl přes právě sepsaný protiargument aniž bych musel článek v tomto bodě ukončit, budu nadále předpokládat, že bůh je skutečně behaviorista a stačí mu, když jednou týdně zajdeme na mši a nebereme jeho jméno nadarmo, a nezajímá ho, jak na to nahlížíme v soukromí svých myšlenek. Otázka tedy zní: měli bychom předstírat víru? Chceme-li zápornou odpověď, je třeba sáhnout po nějakém dalším argumentu. Dost populární je následující: Pascalův argument nespecifikuje náboženství, kterému máme věřit. Existují navzájem nekompatibilní náboženství, která si navzájem posílají věřící do pekla: když uvěříme v Hospodina a správné náboženství je přitom islám, budeme se smažit, protože jsme trávili čas ve zpovědnici a ne na modlitebním koberečku. (Tento protiargument je oslaben moderními ekumenickými tendencemi, ale moderní pojetí víry vůbec kazí radost z rozboru teologických argumentů dob minulých.)

Problém tohoto protiargumentu není, že by nefungoval. Jeho problém je, že závisí na historické náhodě, přesněji na existenci jiných náboženství slibujících věčné zatracení pro nevěřící, respektive pro věřící chybného náboženství. Považovat existenci islámu za hlavní argument proti Pascalově gambitu znamená, že kdyby islám (spolu s ostatními náboženstvími odsuzujícími nevěřící do pekla) neexistoval, museli bychom skutečně na Pascalovu radu dát. A dále, i když ostatní náboženství existují, závěr z užití popsané protiargumentace není stát se ateistou. Závěr je: přijmout to náboženství, které nabízí největší rozdíl komfortu mezi svými verzemi nebe a pekla. Islám by jistě měl šanci.

Věc můžeme trochu spravit. Pokud Pascalův argument aspiruje na obecnost, neměl by být ovlivněn tím, jaká náboženství ve světě existují a jsou vyznávána; pokud člověk skutečně věří, že rozumově nelze o existenci boha rozhodnout (což zřejmě bylo Pascalovo přesvědčení) a důvod k víře v boha spočívá ve výši očekávaného zisku, pak není důvod předpokládat, že lidé historicky dospěli ke správným faktům o povaze boha. Bylo by tak správné brát nejen existující náboženské tradice, ale i všechny další představitelné nauky o povaze boha nebo bohů. A jistě si lze představit škodolibého boha, který posílá do pekla právě a jen ty, kdo v něho věří. Agresivněji orientovaní ateističtí aktivisté by pak mohli argumentovat ve smyslu toho, že takový bůh by byl ve skutečnosti spravedlivější, než jeho tradiční protějšek.

Ačkoli je výše parafrázovaný argument standardní součástí protipascalovských filipik ateistů, stále trpí zásadními nedostatky. Podobně jako v předchozím odstavci: závěr není stát se ateistou nebo agnostikem, ale vybrat náboženství s největším rozdílem mezi „životní úrovní“ v pekle a ráji; pouze tentokrát nevybíráme pouze z náboženství už vymyšlených, nýbrž máme možnost vymýšlet si svá vlastní. Je vcelku jasné, kam takový způsob uvažování vede.

Nemyslím, že je na světě mnoho ateistů, kteří odmítají Pascalův argument kvůli obavám z výběru špatného boha. Pokud kalkulace užitků a ztrát plynoucích ze zastávání různých světonázorů hrají v odmítání víry nějakou roli, pak tu, že pokud bůh neexistuje, víra v jeho existenci má negativní důsledky. Negativní důsledky jsou sice zanedbatelně nepříjemné v porovnání s peklem, ale pravděpodobnost existence boha je tak malá, že tento rozdíl překoná. Takové uvažování může fungovat pouze tehdy, je-li rozdíl užitku mezi nebem a peklem konečný. To je v rozporu s 5. bodem Pascalova argumentu, ale možná tento bod neplatí. Třeba si člověk po nějakém čase stráveném v pekle zvykne a nebude mu to připadat tak mizerné jako na začátku...

V jednom ze starších článků jsem popsal zásadu, jak přiřazovat hypotézám apriorní pravděpodobnosti: vezmeme složitost hypotézy s(H) definovanou jako délka nejkratšího programu, který je schopný hypotézu vypsat, a hypotéze přiřadím pravděpodobnost řádu exp(-αs(H)) (konstantu α volíme tak, aby všechny navzájem se vylučující hypotézy dohromady měly pravděpodobnost 1; podstatné je, že α je stejná pro všechna H). Pascalův trik ovšem staví tuto zásadu v ohrožení, a to následujícím způsobem:

Vezměme hypotézu H(u): „pokud dnes nespláchnu stovku do záchoda, záchodové božstvo mi připraví po smrti utrpení, jehož hodnota vyjádřena pomocí užitkové funkce má hodnotu -u“ (bereme u kladné). Mám spláchnout stovku do záchoda? Racionální postup rozhodování je vzít rozdělení pravděpodobností p(H(u)) a porovnat očekávanou hodnotu škod takto vzniklých, tedy -∫ u p(H(u)) du, se škodou vzniklou vhozením stovky do záchoda. Volím pak menší zlo.

Pravděpodobnost, že H(u) je pravdivá pro jakékoli u je pochopitelně mizivá, přinejmenším tak mizivá, jak mizivá je pravděpodobnost existence záchodového božstva. Hypotéza dostává další úder pro většinu vysokých hodnot u: čím vyšší číslo, tím vyšší je jeho složitost, a tím nižší (exponenciálně) je pravděpodobnost přidružené hypotézy. Jenže — a to je hlavní problém — ne všechna obludně velká čísla jsou algoritmicky složitá. Třeba takové Grahamovo číslo G, v porovnání s kterým jsou standardní „astronomická“ čísla (jako 10¹⁰⁰) téměř přesné nuly. Program v principu schopný vypsat Grahamovo číslo přitom zabírá pár řádek.

Pravděpodobnost existence záchodového božstva, jakkoli malá by měla být, je určitě vyšší než 1/G. (A když ne, máme k dispozici čísla, která jsou ještě mnohem vyšší než G, a přitom se srovnatelně jednoduchou definicí.) Máme tedy problém: pokud budeme hypotézám, pro které není žádných důkazů, přiřazovat apriorní pravděpodobnost závislou pouze a jen na složitosti hypotézy, staneme se obětí vyděračských hypotéz analogických H(G). Hypotéz, jejichž titěrná pravděpodobnost je vyvážena nepředstavitelně velkým (ať už kladným nebo záporným) užitkem z chování implicitně v hypotéze předepsaným. Je ovšem absurdní házet stovku do záchoda kvůli hypotetické existenci záchodového božstva, stejně jako je iracionální chodit každou neděli na mši pouze kvůli strachu z hypotetického pekla. Jak to ovšem zakomponovat do formálního rozhodování, aniž bychom zbourali základy mikroekonomie či subjektivistické teorie pravděpodobnosti, o tom příště.

Epimenidův paradox

Toto je pátý díl seriálu o logice, který volně sleduje myšlenky D.Hofstadtera sepsané v jeho knize Gödel, Escher, Bach. Navigace: úvodní článek - předchozí díl - příští díl.

Paradox lháře neboli Epimenidův paradox patří k nejstarším logickým paradoxům. Bez zajímavosti není ani jeho historie — v původní formě byl připisován Epimenidovi, který, byť sám Kréťan, označil všechny Kréťany za lháře. Epimenidés sám tímto výrokem nechtěl nastolit téma logických paradoxů, spíš mu šlo o kritiku svých krajanů, kteří trvali na pro Epimenida nepřijatelné herezi, že Zeus je smrtelný. Pozdějším Epimenida znalým autorům už paradoxnost výroku neušla. Jak můžeme Epimenidovi věřit, že všichni Kréťané jsou lháři, když on sám je Kréťan, a tudíž, v důsledku svého vlastního tvrzení, lhář?

Klasicky formulovaný Epimenidův „paradox“ je nanejvýš řečnickou chybou, stěží však může aspirovat na roli opravdového logického paradoxu. Možná Epimenidés mluví pravdu; nic nebrání lhářům čas od času říkat pravdu. Nebo možná lže: existuje pár pravdomluvných Kréťanů (Epimenidés k nim nepatří), takže není pravda, že všichni jsou lháři. Není ovšem těžké Epimenidův výrok upravit tak, aby se stal skutečným paradoxem. Kdyby Epimenidés řekl „teď lžu“, postrádalo by jeho tvrzení svou morálně přesvědčovací sílu, ale zato by bylo skutečným oříškem pro logiku. A kdyby byl Epimenidés zběhlejší v novodobé logice, asi by místo toho pověděl „tento výrok je nepravdivý“, což je asi nejběžnější moderní formulace paradoxu lháře. Je snadné nahlédnout, že takovýto o sobě mluvící výrok nemůže být ani pravdivý, ani nepravdivý — a věta, která není ani pravdivá, ani nepravdivá, si zaslouží pojmenování paradox.

Paradoxu lháře v průběhu času vyrostla spousta příbuzných. Jedním z nich je Russelův paradox, který není ničím jiným, než paradoxem lháře převlečeným do jazyka teorie množin. Množinu x nadefinujeme jako množinu všech množin, které neobsahují sama sebe. x je zřejmě docela velká množina obsahující řadu prvků; prázdnou množinu, množinu {1,2,5}, množinu všech reálných čísel nebo množinu všech jednookých Vietnamců, například. Obsahuje ale x sama sebe? Pokud ne, pak se dostáváme do sporu s definicí, protože x má obsahovat všechny množiny neobsahující sama sebe, a přitom x je množina neobsahující sama sebe, jež není prvkem x. Tedy x obsahuje sama sebe. Jenže to je také spor s definicí, protože ta volá po tom, aby x obsahovala pouze množiny, které sebe neobsahují.

Trochu jiný, po mém soudu subtilnější, je Curryho paradox: „Je-li tato věta pravdivá, pak Brno leží v Asii.“ Je to pravdivá věta? Označme ji V, a když už jsme u toho označování, zaveďme též symbol B pro větu „Brno leží v Asii“. Máme tak V = (V ⇒ B). Zkusme předpokládat, že V je pravda. Je-li tomu tak, pak V ⇒ B je pravdivý výrok (nu pochopitelně, vždyť je to V samo), ale pokud V a zároveň V ⇒ B jsou pravdivé, pak B je pravda (vzpomínáte na modus ponens?) a Brno leží v Asii. Brno ale podle všeho neleží v Asii, takže V nemůže být pravdivé. Předpokládejme tudíž, že V je nepravda. Jakýkoli výrok X ⇒ Y, kde X je nepravdivý výrok, je podle zásad logiky pravdivý. Tudíž V ⇒ B je pravdivý výrok, leč hle, tento výrok je roven samotnému V, které je dle předpokladu nepravdivé! Což je spor, a V tak nemůže být ani nepravdivé.

Pocit paradoxnosti obvykle vyplývá z narušení některého intuitivně přijímaného předpokladu, v tomto případě pak jde o předpoklad, že každý výrok musí být buď pravdivý nebo nepravdivý. Uvedené příklady výroků ukazují, že zcela obecně něco takového předpokládat nemůžeme. V zásadě by to nemusela být velká potíž: od každého předpokladu se můžeme oprostit, ukáže-li se jeho nevhodnost, a v tomto případě prostě uznáme, že ne každý výrok má dobře definovanou pravdivostní hodnotu. Nebo, ekvivalentně, můžeme věty s nejasnou pravdivostní hodnotou vyloučit z kategorie „výroků“. Není tedy a priori zřejmé, že lhářův paradox představuje skutečný problém pro formalizovanou logiku. Mohlo by se zdát, že paradox pouze odráží nějakou nedokonalost neformálního jazyka a při dostatečně pečlivé analýze zmizí, nebo se ukáže triviálním. Zkusme se tedy vydat touto cestou a zjistit, jak daleko je možno dojít.

Neúplný, nekonsistentní, nebo nedůvěryhodný?

Aby lhářův paradox přestavoval problém pro nějaký formální systém, musíme především být schopni jej v onom formálním systému formulovat; to jest vytvořit dobře formovaný výraz, jehož interpretace by zněla „tento výrok je nepravdivý“. Abychom dali celé věcii přesný technický smysl, pak je lépe užít interpretace „tento výraz je nedokazatelný“, či ještě přesněji „negace tohoto výrazu je teorémem systému S“ [*], kde S je systém, ve kterém výrok formulujeme a případně dokazujeme. Podaří-li se takový výraz sestrojit, pak máme problém. Pokud totiž takový výraz je teorémem, pak, věříme-li interpretaci našeho systému, i jeho negace je teorémem, a systém je nekonsistentní. Jestliže výraz není teorémem, pak jeho interpretace je pravdivá, a tudíž jeho negace (znovu, věříme-li interpretaci) nemůže být teorémem, a systém je neúplný.

Máme tedy na výběr tři možnosti. Buď je systém neúplný, nebo je nekonsistentní, nebo se nedá bezvýhradně důvěřovat interpretacím jeho teorémů. Poslední možnost není moc lákavá: kdybychom připustili, že občas teorémy mohou lhát, mohl by být systém klidně úplný i konsistentní zároveň — jenže připustit něco takového prakticky znamená vyhodit důvěryhodnost systému oknem. Kdyby formální důkazy občas lhaly, možná by matematikové před formálním dokazováním dali přednost návštěvě u kartářky; to je zpravidla rychlejší a pohodlnější metoda, jak se dobrat odpovědi. Možnost, že systém je nekonsistentní, je taktéž velmi nepříjemná kvůli minule diskutovanému principu exploze. Zbývá tak poslední možnost, a to neúplnost. Znamená to, že existují pravdivé výroky, které je možné v systému zformulovat, ale které nejsou teorémy, a tudíž je není možné dokázat. S tím se sice dá žít, ale i tak je to velmi závažný fakt pro samotné základy matematiky. Za své bere naděje generací matematiků, že každé pravdivé tvrzení o matematických objektech je možné dokázat vycházeje z určité sady axiomů, stejně jako to šlo v eukleidovské geometrii.

Ale to už trochu předbíháme — pořád nám zbývá ta nejtěžší, a pravděpodobně i nejzajímavější část celého problému: povinnost lhářův paradox v našem formálním systému zformulovat. Kdyby systém takovou formulaci neumožňoval, vyhnuli bychom se nepřílemnému trilematu předchozího odstavce a mohli bychom šťastně věřit na dokazatelnost všech matematických pravd. Před Gödelem a rokem 1931 bylo něco takového vnímáno jako jeden ze základních cílů matematiky. Konkrétně, věřilo se, že existuje formální systém, jenž umožňuje zformulovat mimo jiné všechna tvrzení aritmetiky (a dokázat ta pravdivá), a jenž je zároveň imunní vůči paradoxu lháře.

Jazyk a metajazyk

Věc, kterou mají všechny verze paradoxu lháře společnou, je autoreference. Autoreference neznamená nic jiného, než že výroky mluví samy o sobě. Konkrétně je autoreference v našem paradoxu zastoupena frází „tento výraz“, ale může být i skrytá. Uvažte například dvojici výroků:

1. „Následující výrok je nepravdivý.“
   
2. „Předchozí výrok je pravdivý.“
   

Ačkoli ani jeden z obou výroků v sobě neodkazuje sám na sebe, dohromady fungují úplně stejně, jako lhářův paradox. Chceme-li se tedy vyhnout problémům s autoreferencí, nestačí se vyvarovat přímých autoreferenčních odkazů. Jedna možnost je „zakázat“ jakékoli odkazy na výroky; věta „výrok P je pravdivý“ by se tak vymykala formalizaci. Podíváme-li se na na výrokovou logiku jako nejjednodušší prototyp systému, ve kterém má cenu mluvit o úplnosti a konsistenci, vidíme, že to tak může fungovat. Výroková logika obsahuje různé symboly: závorky, logické operátory a písmena. Každé písmeno je možno interpretovat jako nějaký konkrétní výrok přirozeného jazyka, třeba „Brno leží v Asii“ nebo „železo má atomové číslo 26“. Je v principu jedno, jakou interpretaci vybereme, pouze si musíme dávat pozor na dvě věci. Jednak každý výskyt jednoho písmene musí být v rámci jedné formule interpretován týmž výrokem (a tedy (P∨¬P) můžeme interpretovat jako „buď Brno leží v Asii, nebo Brno neleží v Asii“, ale ne „buď Brno leží v Asii, nebo železo nemá atomové číslo 26“), a jednak interpretace musí být konkrétní na kontextu nezávislý výrok, který neobsahuje žádné volné proměnné nebo odkazy. Druhým požadavkem vylučujeme výroky typu „číslo n je sudé“ nebo „výrok P je pravdivý“. Význam fráze „tento výraz“ samozřejmě na kontextu velmi závisí a požadavky tak nesplňuje. Výroková logika je díky tomu odolná vůči paradoxu lháře: řetězec s interpretací „negace tohoto výrazu je teorém“ v jejím rámci nestvoříme.

Problém s takovým přístupem je jeho přílišná svazujícnost. Výroková logika je velmi slabý systém, jehož dokazovací schopnost se omezuje na tautologie. Stojí za to zkoumat systémy s větší formulační silou; je-li naše ambice dokázat všechna tvrzení matematiky, s výrokovou logikou si určitě nevystačíme. Být naprosto neschopen formulovat výroky o výrocích taktéž není vlastnost z nejžádanějších. Existuje spousta výroků o výrocích, jejichž pravdivost není nijak pochybná ani paradoxní, a jsme-li schopni se na jejich pravdivosti shodnout užívajíce neformálního myšlení, měli bychom být schopni naše úvahy zformalizovat.

Nadějně vypadající cesta spočívá v rozdělení našeho jazyka do jakési nekonečné kastovní hierarchie. Na jejím dně spočívají výroky neobsahující žádný odkaz na jiné výroky. Tyto výroky tvoří dohromady jazyk nulté úrovně, kterým jsme schopni popsat prakticky všechno, kromě výroků o jazyce samém. Mluvit o jazyce, respektive o výrocích tohoto jazyka, přitom není zakázáno. Mluva tohoto typu ale náleží do jiného jazyka, metajazyka první úrovně. V něm jsme schopni formulovat vše, co je formulovatelné v jazyce nulté úrovně, a k tomu navíc i výroky hovořící o větách jazyka nulté úrovně. Metajazyk první úrovně ovšem neumožňuje hovořit o těch výrocích metajazyka první úrovně, které zároveň nespadají do základního jazyka úrovně nulté. K tomu potřebujeme metajazyk druhé úrovně, a tak dále, ad infinitum. V tomto systému každý výrok stojí na nějakém konkrétním stupni hierarchie jazyků, přičemž výroky metajazyka n-té úrovně mohou mluvit o výrocích všech (meta)jazyků nižších úrovní. Žádný výrok ale nemůže mluvit sám o sobě, a stejně tak není možná cyklická autoreference: náleží-li „následující výrok je nepravdivý“ do úrovně n, pak následující výrok náleží nanejvýš úrovni n – 1, a není tedy oprávněn mluvit o předchozím výroku.

Stejná myšlenka aplikovaná na teorii množin vede k teorii typů, která byla populární na počátku dvacátého století.

Nevyhnutelnost autoreferencí

I když hierarchizace výroků je svým způsobem neelegantní (přinejmenším v normální komunikaci nerozlišujeme různé úrovně jazyka), zdálo by se, že problém s paradoxem lháře řeší docela dobře. Zdání ale klame: autoreference, které jsme vyhodili dveřmi, se u dostatečně složitého systému skrytě vrací oknem. Dostatečnou složitostí se zde míní schopnost systému vyjadřovat všechna tvrzení aritmetiky, a trik, kterým se autoreferenci podaří přežít všechny pokusy o své vymýcení, spočívá v tzv. Gödelově číslování. Gödelovo číslování není nic složitějšího, než jednoznačné přiřazení přirozeného čísla každému dobře formovanému výrazu. Poněvadž Gödelovo číslo věrně reprezentuje jemu odpovídající výraz, můžeme místo s výrazy operovat s čísly. Odvozování se stane aritmetickou operací a dokazatelnost výroku specifickou vlastností přirozených čísel. Stále ale předpokládáme, že náš systém je schopen vyjádřit jakékoli tvrzení o vlastnostech přirozených čísel. Musí tedy být možné v tomto systému zapsat výrok tvrdící, že g je Gödelovým číslem nějakého teorému! Gödelovo číslování tak umožňuje systému mluvit o dokazatelnosti výrazů, aniž by na to byl vybaven speciálním symbolem přímo interpretovaným jako „je dokazatelný“.

To ještě automaticky neumožňuje vyjádřit lhářův paradox. Potřebujeme zkonstruovat výraz, který říká „g není Gödelovým číslem teorému“, přičemž zároveň g musí být Gödelovým číslem formální verze výrazu „g není Gödelovým číslem teorému“. Strčit do specifického výrazu jeho vlastní Gödelovo číslo není úplně triviální úloha. Protože tento díl je již dostatečně dlouhý, podrobnější debatu o Gödelově číslování, aritmetické reprezentaci dokazatelnosti a obsažení Gödelova čísla výroku v něm samém ponechám na příště.

Achillova noční můra

Tak trochu v rámci série článků o logice a formálních systémech, tak trochu mimo něj, bych se rád zastavil u dvou esejů, jejichž vznik od sebe dělí téměř sto let, a které přitom mají mnoho společného. Autorem prvního z nich je Lewis Carroll, matematik, který je spíše znám jako spisovatel (díky Bertrandu Russellovi, nositeli Nobelovy ceny za literaturu, není v této kategorii osamocen). Esej Co řekla Želva Achillovi je sice velmi známá, přesto se mi nepodařilo na internetu najít český překlad. Proto jsem vytvořil překlad svůj, který můžete nalézt [ZDE]; dáváte-li přednost originálnímu znění, text je k nalezení např. [TADY].

Carroll lehce nevážnou formou využívá běžného nedorozumění k vytvoření zdání paradoxu. Nedorozumění spočívá v nerozlišování mezi implikací jakožto logickým operátorem na jedné straně a odvozovacími pravidly logiky na straně druhé. Všichni víme, že přijímáme-li výroky A a A⇒B za pravdivé, musíme za pravdivý přijmout i výrok B. Toto pravidlo se zove modus ponens a občas celou sekvenci zapisujeme symbolicky, třebas takto:

A⇒B, A ⊢ B.

Problém nastane v okamžiku, kdy se nám zachce nahradit nezvyklý symbol ⊢ obyčejnou implikací. Člověk pak napíše (A∧(A⇒B))⇒B, a platnost B odůvodní platností tohoto výroku. Ale proč vlastně platí (A∧(A⇒B))⇒B? Na tom Carroll staví zápletku své nedlouhé povídky.

Druhý esej pochází z pera logika Raymonda Smullyana a jmenuje se Epistemologická noční můra. Ačkoli značně novější, s překládáním jsem se namáhat nemusel; česká verze [ODKAZ] totiž vyšla v Pokrocích matematiky, fyziky a astronomie „již“ sedm let po svém vzniku, a to v roce 1989. Originál např. [ZDE]. Epistemologická noční můra je, podobně jako výše zmíněný Carrollův esej, napsaná formou rozhovoru. Po přečtení textu, jehož paradoxní efekt je vystavěn na důmyslné hře s autoreferenčními výroky a nekonečnými řetězci výroků, člověk ztratí značnou část důvěry v neprůstřelnou pevnost logiky.

Racionalita a vězňovo dilema

Vězňovo dilema je asi nejznámějším myšleným experimentem, na kterém se ilustrují základní principy teorie her. V dilematu vystupují dva komplicové podezřelí z několika trestných činů, řekněme krádeže a vraždy. Státní zástupce každému z nich učiní následující nabídku:

Státní zástupce: Máme dost důkazů k tomu, abychom vám oběma prokázali krádež. Za to dostanete dva roky na tvrdo. Policie chce vykázat i vraždu jako objasněnou, k jejímu prokázání ale potřebujeme vaše doznání nebo aspoň svědectví. Nepočítáme, že by se kterýkoli z vás přiznal, protože za vraždu hrozí trest smrti. Zůstává zde ovšem možnost svědčit proti svému kumpánovi a celou vinu hodit na něho.
Vězeň: A proč bych to dělal?
SZ: Nu, takové svědectví je považováno za závažnou polehčující okolnost. Když budete svědčit, místo dvou let za krádež vyváznete s podmínkou. Navíc uvažte, že zde existuje riziko, že váš komplic se pokusí hodit vinu na vás, a nemusím snad zdůrazňovat, že i jemu vylíčíme jeho situaci tak důkladně, jak ji teď vysvětluji vám. Pokud se rozhodne vás zradit, byl byste odsouzen k smrti. Jestliže ale budete i vy svědčit proti němu, soud to znovu vezme v potaz jako polehčující okolnost, a dostanete oba patnáct let. Nic moc, ale lepší než provaz.
V: Když se rozhodnu proti němu svědčit, rozzuří ho to a rozhodne se v odvetě svědčit proti mně...
SZ: Nedostane šanci. Vy i váš kumpán máte možnost sepsat svědectví předem. O tom, zda ten druhý ho zradil, se každý z vás dozví až u soudu, kde ale na případnou změnu svědectví bude pozdě — soud ji bude vnímat jako pomstu z afektu a nebude jí věřit. Se soudcem jsme tak dohodnutí a hrajeme férově.

Zbývá ještě doplnit pár idealizačních předpokladů, jako že žádnému z vězňů ani za mák nesejde na osudu toho druhého a že státní zástupce je naprosto důvěryhodný a říká pravdu, a nakonec otázku: je z hlediska vězně racionální zradit?

	X nesvědčí	X svědčí
Y nesvědčí	X: 2 roky Y: 2 roky	X: podmínka Y: smrt
Y svědčí	X: smrt Y: podmínka	X: 15 let Y: 15 let

Z tabulky je názorně vidět, že nezávisle na tom, jak se rozhodne jeho kumpán, pro každého z vězňů je lepší svědčit. Když ho jeho komplic práskne, zachrání mu to život, a pokud komplic bude držet jazyk za zuby, ušetří to prvnímu vězni dva roky žaláře. Přitom není v silách ani jednoho z vězňů ovlivnit rozhodnutí toho druhého. V terminologii teorie her je svědčit dominující strategie, zatímco nesvědčit je strategie dominovaná. Je přijímaným postulátem, že při rozhodnutí mezi takovými strategiemi je vždy racionální dát přednost strategii dominující před tou dominovanou. V teorii her vzdělaný vězeň se tudíž rozhodne svého komplice prásknout.

Zajímavá vlastnost vězňova dilematu je ta, že pokud se oba vězni rozhodnou „iracionálně“ pro mlčení, dopadnou výrazně lépe, než jejich „racionální“ kolegové. V našem případě půjdou ti „iracionální“ domů o třináct let dříve. To ukazuje, že na herněteoretické racionalitě může být něco shnilého.

Název „vězňovo dilema“ není vázán na vězení a soudy, nýbrž se používá pro označení všech situací (tedy vlastně her, když už užívám příslušnou terminologii), kdy dva soupeři volí mezi „spoluprací“ a „zradou“, přičemž by raději zradili, ať už protivník zradí nebo spolupracuje, ale oba zároveň preferují oboustrannou spolupráci před oboustrannou zradou. Uvažujme třeba situaci, kdy se X a Y domluví, že v domluvený den společně postaví plot mezi svými chatami. X může uvažovat takto: „Y přijede na chatu vlakem v deset, jak jsme domluvení, a čeká, že přijedu autobusem v půl jedenácté a pak začneme stavět. Když ale řeknu, že jsem si cestou na autobus vyvrknul kotník, Y plot postaví sám, protože vlak zpět mu jede až ve sedm večer a na chatě v tuhle dobu stejně není nic jiného na práci (a Y se nerad nudí). Já tak získám k plotu i volný den navíc.“ Y může uvažovat podobně, a získáme tak tabulku typu vězňova dilematu:

	X přijede	X simuluje
Y přijede	X: plot Y: plot	X: plot + volný den Y: plot + práce navíc
Y simuluje	X: plot+práce navíc Y: plot+volný den	X: volný den Y: volný den

Reálná vězňova dilemata jsou komplikována tím, že většina lidí má silnou morální averzi ke zradě [*] a není tak snadné dostat se do situace, kdy oba hráči skutečně preferují výsledky úspěšně provedené zrady před její alternativou. Simulovat v předchozí tabulce může způsobit výčitky svědomí, a ty mohou být tak nepříjemné, že X i Y můžou preferovat oboustrannou spolupráci před možností, že všechnu práci udělá ten druhý. Zrada navíc vede ke ztrátě reputace, a ta se může v důsledku pěkně prodražit. Nechme ale tyto komplikace stranou a omezme se na zjednodušený případ, kdy toto nenastává. Je tehdy zrada optimální strategie?

Intuice nemá až tak velký problém toto přijmout pro izolované vězňovo dilema, tedy pokud se jedná o jediné rozhodnutí, které se nebude opakovat. Jinak se ale díváme na opakované vězňovo dilema, ve kterém dva hráči vstupují do téže interakce mnohokrát po sobě, a mohou tak reagovat na chování soupeře. Když jeden z hráčů zradí, druhý může na oplátku zradit v následujícím kole. Občas se jako racionální v takových případech doporučuje strategie „oko za oko“: když v předchozím případě soupeř spolupracoval, odměň ho spoluprací; když zradil, potrestej ho zradou. Od racionálních hráčů by člověk očekával, že budou schopni předvídat. Sousedé, kteří se dvacetkrát za sebou domluví na tom, že společně postaví plot, a pokaždé si pak místo stavby oba „vymknou kotník“ nejen že nebudou mít plot, ale budou vypadat jako naprostí idioti.

To všechno zní sice dobře, dokonce spravedlivě, ale bohužel to nesouhlasí se závěrem teorie her: Jediná racionální strategie je vždy zrada! A logika teorie her je neúprosná. Je přeci jasné, že N, tj. počet opakování vězňova dilematu, bude „pouze“ konečný — nikdo nežije věčně. Před posledním opakováním tak budou hráči před sebou mít izolované dilema. Soupeř nebude mít šanci pomstít zradu, tudíž je jedině racionální sledovat dominující strategii a zradit. Oba hráči, jsou-li racionální dle definice užívané v teorii her, zradí. Jestliže hráči o sobě navzájem vědí, že jsou tímto způsobem racionální, vědí od samého začátku, jak N-tá hra dopadne, a v předposlední hře se tak nemusejí starat o možnost, že by se jim soupeř v poslední hře pomstil; ten zradí tak jako tak. Tudíž i v N - 1. oba „racionálně“ zradí, a není těžké to vědět již před N - 2. hrou... A tak dále, přesně ve stylu uvažování diskutovaném minule v paradoxu nečekaného věšení [1].

Zatímco tak většina lidí v opakovaném vězňově dilematu spolupracuje, herní teoretici se točí v bludném kruhu zrady, majíce svůj postup podepřený neprůstřelným argumentem.

Mám s takto pojatou racionalitou problém. Jestliže skupina A v určité hře volí strategii tak, že vykazuje systematicky horší výsledky než skupina B, a jestliže všichni členové skupiny A vědí, proč tomu tak je, a jsou schopni tyto výsledky předvídat, pak těžko tvrdit, že chyba je na straně skupiny B, a stejně tak se mi příčí tvrdit, že jednání členů skupiny A je racionální.

Nemíním tento článek jako frontální útok na teorii her. Ve většině situací je výběr dominantní strategie skutečně to nejlepší, co lze učinit. Stejně tak teorie her nabízí standardní řešení pro situace typu vězňova dilematu: vytvořit dodatečnou motivaci pro spolupráci a naopak dohodnout trest pro zrádce. Ve většině reálných situací je to optimální řešení, a lidé tak reálně postupují. Na druhou stranu, toto řešení znamená změnu pravidel hry, a nejenže tak z čistě teoretického pohledu představuje úhýbání před námitkou, ale ani není vždy proveditelné.

Mám za to, že v ideálním vězňově dilematu (ať už opakovaném nebo ne), za předpokladu, že není možné měnit „pravidla“, a za předpokladu společné znalosti (viz pozn.[1]) o racionalitě obou soupeřů, je racionálním rozhodnutím spolupráce.

Poznámky:
1. Úvaha vyžaduje tzv. společnou znalost o racionalitě obou hráčů. Tj. X ví, že Y je racionální; Y ví, že X ví, že Y je racionální; X ví, že Y ví, že X ví, že Y je racionální; atd. Podobně s prohozením X a Y.

Paradox nečekaného věšení

Tenhle paradox je obyčejně vyprávěn jako krátký příběh. Vězeň je odsouzen k trestu smrti oběšením, a škodolibý soudce se zálibou v logických paradoxech mu sdělí podrobnosti o vykonání rozsudku: „Poprava bude vykonána v jednu hodinu odpoledne v některý z pracovních dnů příštího týdne. Přesně ve dvanáct hodin si pro vás do cely přijde kat. Konkrétní den vykonání rozsudku vám neprozradím, ba právě naopak. Až se kat objeví ve dveřích, budete překvapen – můžu vám na svou čest garantovat, že určitě nepřijde v momentě, kdy byste ho s jistotou očekával.“

Vězeň posléze uvažuje: „Je jasné, že nebudu popraven v pátek, protože vím, že pátek je poslední den, kdy mohu být popraven, a již od čtvrtečních 12:01 bych s jistotou očekával jeho příchod v pátek. To ale znamená, že poslední možný den je čtvrtek. Jestliže se ale kat neobjeví do středečního poledne, s jistotou budu vědět, že musí přijít ve čtvrtek, a ve čtvrtek v poledne nebudu překvapen. Což je spor, takže nemůžu být popraven později, než ve středu. Stejnou logikou ale můžu vyloučit i středu, a potom i úterý a pondělí. A protože mi soudce garantoval, že kat nepřijde očekáván, znamená to, že nepřijde vůbec.“

Kat se ve vězňově cele zjeví s úderem poledne ve středu, naprosto neočekáván.

Reakce na paradox nečekaného věšení se různí. Část lidí popírá, že na paradoxu je cokoli zajímavého, protože soudci žádná vyšší moc nebrání říkat nepravdivá tvrzení. Mnohdy se zdá, že paradox visí na slově překvapení: soudce slíbí, že odsouzenec bude katem překvapen, odsouzenec si pak projde výše popsanou úvahou a nakonec skutečně je překvapen. To vyvolává dojem, že paradoxnost lze rozřešit nějakou inteligentní definicí „překvapení“ a z pohledu logiky že paradox není nijak zajímavý.

Druhá polovina reakcí naopak zdůrazňuje, že paradox nečekaného věšení zajímavý je, mimo jiné právě z pohledu logiky. Timothy Chow ve své analýze paradoxu dokonce píše o „metaparadoxu“ spočívajícím v tom, že ačkoli je paradox nečekaného věšení napohled triviální, dosud neexistuje konsensus o jeho správném řešení. (Chow dbá alternativní formulace, ve které místo odsouzence figurují studenti, soudce i kata zastupuje obávaný profesor a věšení je nahrazeno zkouškou.):

Metaparadox se skládá ze dvou zdánlivě neslučitelných skutečností. První je, že paradox nečekané zkoušky se zdá lehce vyřešitelný. Ti, kdo jej vidí poprvé, typicky mají instinktivní reakci, že chyba v uvažování studentů je očividná. Co víc, většina z čtenářů, kteří se pokusili věc promyslet má jen málo potíží vyřešit ji ke své vlastní spokojenosti.

Druhá (udivující) skutečnost je, že doposud bylo publikováno téměř sto článků o tomto paradoxu, a stále nebyl dosažen konsensus o jeho správném řešení. Paradox byl dokonce nazván „závažným problémem filosofie“. Jak je to možné? Může podobný směšný argument skutečně být závažnou neřešenou záhadou? A jestli ne, proč článek za článkem začíná bryskním odmítnutím všech předchozích prací a tvrzením, že teprve on představuje dlouho očekávané jednoduché řešení, které paradox pohřbí jednou provždy?

Článek dále pokračuje shrnutím, že různí autoři vidí paradoxnost nečekaného věšení v různých věcech. Shodě nenapomáhá ani to, že paradox je sdělován spíš ve formě historky než formálním jazykem, a interpretace se mohou různit. Chow rozlišuje dva hlavní přístupy, jejichž protagonisty označuje za logickou a epistemologickou školu. Epistemologický přístup operuje s úvahami zabývajícími se tím, zda odsouzenec může vědět, že nebude pověšen. Úvahy se pak nutně stočí na to, co přesně znamená slovo „vědět“. Do bližšího komentování tohoto hnidopišství se nebudu pouštět, přinejmenším proto, že bych asi předtím musel okomentovat absurdní Gettierův problém, který dokonce ani já nepovažuji za paradox hodný pozornosti. Chci ale blíže popsat logický přístup k paradoxu.

Jeden ze způsobů, jak přesněji paradox definovat, je zbavit se subjektivní „nečekanosti“. Matematicky způsobilejší soudce by odsouzenci mohl sdělil třeba toto:

1. Budete popraven v poledne některého z pracovních dní příštího týdne.
   
2. Konkrétní den popravy nebude před popravou lze vydedukovat, vycházeje z těchto dvou výroků a faktu, že k popravě dosud nedošlo.
   

Paradox spočívá v tom, že když k popravě ve středu dojde, zdá se, že oba výroky byly pravdivé: Středa je jedním z pracovních dní uvedených ve výroku 1, a fakt, že k popravě dojde ve středu, nebylo možné v úterý večer vyvodit. Na druhou stranu ale z výroků 1 a 2 logicky platně lze vyvodit, že k popravě ve středu (ani v žádný jiný den) nedojde.

Vsuvka „vycházeje z těchto dvou výroků“ je přitom klíčovou součástí celé konstrukce. Představuje tzv. autoreferenci, tedy odkaz na sama sebe — výrok 2 mluví o výroku 2. Bez autoreference se nelze při formalizaci paradoxu obejít: Soudcův verdikt ve formě

1. Budete popraven v poledne některého z pracovních dní příštího týdne.
   
2. Konkrétní den popravy nebude před popravou lze vydedukovat, vycházeje z výroku 1 a faktu, že k popravě dosud nedošlo.
   

autoreferenci sice neobsahuje, ale neumožňuje vězni provést jeho úvahu až do konce. Sice může odvodit, že k popravě nedojde v pátek (protože z výroku 1 a faktu, že nebyl popraven do čtvrtka odpoledne, by plynulo, že poprava bude v pátek, což by byl spor s výrokem 2), ale nelze dál pokračovat a vyloučit čtvrteční popravu. Z výroku 1 a faktu, že k popravě nedošlo do středy, pouze plyne, že poprava nastane ve čtvrtek nebo v pátek, což není jednoznačné určení. Odsouzenec sice ví, že v pátek poprava nebude, tento fakt ale nelze vyvodit pouze z výroku 1 a dosavadní nepopravenosti.

Vyrábět paradoxy pomocí autoreference není nijak těžké a takové paradoxy jsou známy odnepaměti. Paradox lháře (nebo též Epimenidův) patří k nejstarším popsaným logickým paradoxům. Novější varianty téhož jsou Russelův nebo Curryův. Zatímco ale problém s výroky typu „tento výrok je nepravdivý“ je vidět na první pohled, paradox nečekaného věšení tento aspekt umně skrývá, a jeho rozřešení tak může být vpravdě nečekané.

Co je vlastně iracionální?

V nedávném článku jsem psal o některých chybách, kterých se lidé dopouštějí při rozhodování zahrnujícím riziko. Potíž byla spojena s tím, že jde-li o střední zisk ve specifické výši, většina lidí dá přednost tisícikorunové bankovce před losem, který s padesátiprocentní šancí vyhraje dva tisíce. Jde-li ale o ztrátu, preference se otočí a většina volí riskantní variantu. Snažil jsem se poukázat na to, že takové jednání je iracionální a může vést člověka ke špatným rozhodnutím. Dva čtenáři v komentářích namítali, že podobné chování lze vysvětlit jako racionální, předpokládáme-li určitý tvar užitkové funkce. Tento článek je míněn jako trochu rozsáhlejší odpověď na uvedené námitky.

Asi stojí za to trochu okomentovat axiomy, na kterých debata stojí. Má se za to, že racionální agent se snaží jednak tak, aby dosáhl maximálního užitku. Užitek je blíže nespecifikovaná funkce, jež závisí na agentových preferencích a stavu světa, v tom nejobecnějším smyslu. Čím vyšší hodnota užitku, tím výše stojí příslušný stav světa v agentově preferenčním žebříčku. Ve finančních úlohách mluvíme zpravidla o užitku peněz u(x); x je výše agentova konta. To je pouze zkratka pro u(x,S), kde S je souhrnné označení pro všechna ostatní fakta o světě s výjimkou výše agentova konta. Obvykle přijímáme zjednodušující, přitom ale docela rozumný předpoklad, že agentova volba sice ovlivňuje výši x, ale hodnotu S nechává beze změny.

Je též docela rozumné předpoklát, že u(x) je rostoucí funkce. Tím není řečeno, že Diogenes, který netoužil po majetku, byl automaticky iracionální. Kdo po penězích netouží, může je vyměnit za něco, co skutečně preferuje. Diogenovi sice k bydlení stačil sud, ale předpokládám, že existovaly věci, kterých chtěl dosáhnout. Mohl třeba chtít nakrmit sirotky. Jestliže tedy pro Diogena platilo u(0 drachem, sytí sirotci) > u(0 drachem, hladoví sirotci), pak muselo být i u(1000 drachem, hladoví sirotci) > u(0 drachem, hladoví sirotci), neb 1000 drachem by posléze mohl věnovat darem na provoz sirotčince [*].

Kdyby užitková funkce pouze řadila preference, měli bychom v jejím stanovení značnou volnost. Mohli bychom ji předefinovat pomocí libovolné rostoucí funce f, protože je-li f rostoucí a v(x)=f(u(x)), pak platí, že u(x) > u(y) právě tehdy, když v(x) > v(y), a tudíž u i v určují stejné pořadí preferencí. Výrok „z věci x mám třikrát vyšší užitek než z věci y“ by pak neměl smysl: místo funkce u, pro kterou platí u(x)=3u(y), bychom mohli užít funkci v, pro niž nic takového platit nemusí.

Díky této volnosti lze dodat do funkce u další význam, který umožní popsat rozhodování v nejistotě. Agent si pochopitelně nemusí být jist tím, k jakému výsledku povedou jeho rozhodnutí. Může před sebou mít volbu mezi postupy A a B, přičemž strategie A vede ke výsledku x, zatímco strategie B může s pravděpodobností p vést k výsledku y a s pravděpodobností 1 - p k výsledku z. Jestliže užitek z x je větší (nebo menší) než užitek jak z y, tak ze z, je rozhodnutí jasné. Jestliže ale u(y) > u(x) > u(z), situace je méně přehledná. Dá agent přednost jistotě průměrného výsledku x, nebo zkusí své štěstí a zvolí postup B? Jistě to závisí na kvalitách x, y a z. Kdyby bylo z jen o velmi málo horší než x, zatímco y by bylo agentovým celoživotním snem (a p by nebylo zanedbatelně nízké), zvolí jistě strategii B. Kdyby naopak rozdíl mezi x a y byl zanedbatelný, zatímco z byla katastrofa biblických proporcí, zvolí strategii A. Stejně tak bude rozhodnutí záviset na hodnotě p: pro p = 1 je preferovaná volba B, pro p = 0 je preferované A. Někde mezi tím musí existovat kritická hodnota pravděpodobnosti p_k, při které jsou z agentova hlediska obě strategie rovnocenné. Užitkovou funkci potom volíme tak, aby platilo

u(x) = p_k u(y) + (1 - p_k) u(z)

Tedy aby očekávaná (střední) hodnota užitku z obou strategií byla stejná právě tehdy když agent nepreferuje ani jednu z nich oproti té druhé. Výrok „z věci x mám třikrát vyšší užitek než z věci y“ nyní má smysl: znamená, že jisté y jsem ochoten směnit za třetinovou šanci na získání x a dvoutřetinovou šanci na nulový užitek [1].

Popis rozhodování jako maximalizace očekávaného užitku je natolik obecný, že působí až tautologicky. Téměř by se mohlo zdát, že ať se agent rozhoduje jakkoli, vždy můžeme zkonstruovat užitkovou funkci, která jeho rozhodování popisuje. Přesto existují určitá omezení. Von Neumann a Morgenstern ukázali, že agentovo rozhodování je možné popsat tímto způsobem, pokud jeho preference splňují čtyři axiomy [*].

1. Úplnost: pro libovolné dvě strategie A a B platí buď A > B, nebo A < B, nebo A = B (tj. buď preferuji první, nebo preferuji druhou, nebo je mi to jedno).
   
2. Tranzitivita: Když A > B a B > C, pak A > C.
   
3. Spojitost: Jestliže A > B a B > C, pak existuje pravděpodobnost p taková, že pA + (1 - p)C = B. Posledním vzorcem se myslí to, že p-ová šance provést strategii A a zároveň doplňková šance na provedení C si stojí v žebříčku preferencí rovnocenně se strategií B.
   
4. Nezávislost: Pokud A > B, pak pro libovolné C a p platí, že pA + (1 - p)C > pB + (1 - p)C.
   

K prvnímu axiomu není co dodat: je těžké si představit, že by mohl neplatit. Druhý zabraňuje cyklickým preferencím, jejichž iracionalita je asi také nesporná (o tom je nakonec i známá pohádka „Jak dědeček měnil, až vyměnil“). Třetí axiom je pouze vyjádřením přirozeného požadavku, aby nebylo možné změnit preferenční pořadí strategií pomocí nekonečně malé změny v pravděpodobnostech jejich výsledků. Bez tohoto axiomu by se nám mohlo stát, že A by bylo preferováno před B, ale pouze pokud strategie A vede k upřednostňovanému výsledku se stoprocentní jistotou; libovolně malá pravděpodobnost selhání by vedla k prohození preferencí. Mimo jiné by to znamenalo, že pro rozhodnutí musíme být schopni stanovit pravděpodobnosti s absolutní přesností, což je prakticky nemožné.

Speciální komentář asi zaslouží pouze poslední z axiomů. Je to tento axiom, který je porušován v Allaisově paradoxu diskutovaném minule. Jiný paradox podobného typu je paradox Ellsbergův. K jeho vyvolání je subjektům předloženo osudí, ve kterém je sto bílých a neznámé množství červených a zelených kuliček; pouze je jisté, že barevných kuliček (Č+Z) je dohromady dvě stě. Z osudí se má táhnout jedna kulička. V prvním uspořádání dostanou subjekti na výběr mezi dvěma možnostmi: 1A = vyinkasovat tisíc korun, pokud je tažena bílá kulička, nebo 1B = vyinkasovat tutéž odměnu v případě tažení zelené kuličky. V druhém uspořádání jsou možnosti upraveny tak, že odměna je navíc vyplacena i v případě, kdy je tažena červená. Tedy 2A = odměna vyplacena, pokud je tažena bílá nebo červená kulička, a 2B - odměna vyplacena v případě tažení jakékoli barevné kuličky. Většina lidí preferuje 1A před 1B a zároveň 2B před 2A. Vysvětlují to tím, že 1A a 2B je „známé riziko“, třetinová, resp. dvoutřetinová pravděpodobnost výhry je tady hmatatelná frekventistická pravděpodobnost. Stejné pravděpodobnosti u 1B a 2A jsou oproti tomu „pouze“ bayesovské, člověk neví, jak velká je v tomto případě množina výherních kuliček. Zelených kuliček sice může být více než bílých stejně dobře jako méně, ale hrozba, že jich je méně, je psychologicky působivější, než naděje, že jich je více.

Aby bylo jasné, v čem je problém, uvažme implikace axiomu spojitosti. Jestliže 1A je preferováno před 1B, pak malá modifikace pravděpodobností preference nezmění. Modifikované 1A' může vypadat tak, že pravděpodobnost výhry nebude 1/3, ale trochu nižší. Tato možnost pak bude stále preferována před 1B, ačkoli pravděpodobnost výhry v 1B je vyšší. (Neznám skutečná data, ale čekal bych, že když bílých kuliček bude jen 90 (barevných stále 200), dost lidí bude preferovat frekventistickou cca. 31% pravděpodobnost výhry strategií 1A' před cca. 34% bayesovskou pravděpodobností výhry strategií 1B. Takové preference pak dlouhodobě vedou k zbytečně nízkým ziskům.)

Existuje několik dalších vlastností, které by užitková funkce měla mít, a které přitom buď jsou ve von Neumannově a Morgensternově axiomatizaci zahrnuty implicitně, nebo nemají úplně univerzální platnost. Příkladem prvního typu vlastností je časová nezávislost užitku. Jistě je možné, ba i žádoucí, ponechat určitý prostor pro vývoj preferencí. Ale tento vývoj by neměl být rychlý a předvídatelný. Typicky špatná aplikace užitkové funkce je ta, že agent je ve stavu x, ale má u(y) > u(x), a snaží se dosáhnout y. Jakmile ale uspěje, jeho užitek se změní, a v rázem u(x) > u(y). Vrátí se do x a preference se znovu změní na y... [2]. V každém okamžiku tak sice užitková funkce splňuje všechny axiomy, ale díky časové nekonsistenci prokazuje rozhodování cyklické preference.

Mezi ty pouze většinově platné vlastnosti užitku patří fakt, že užitková funkce peněz bývá konkávní. Vyplývá to ze skutečnosti, že nejzákladnější životní potřeby (jídlo, voda) bývají relativně levné a přitom jsou extrémně důležité, další potřeby (televize, dovolená) jsou pak dražší, a přitom jejich nenaplnění zdaleka není tak nepříjemné. Konkávnost užitku peněz nemusí platit univerzálně. Lze si představit člověka vydíraného mafií: když nesplatí milionový dluh, mafie ho popraví. Pro takového člověka je užitková funkce na oboru částek menších než milion téměř plochá. Je jedno, zda má půl milionu nebo nic, obě možnosti znamenají smrt. V těsném okolí milionu pak užitek začne dramaticky narůstat, a nad milionem teprve nabere typicky konkávní tvar.

Racionalizace odlišného přístupu k riziku v oblasti zisků a ztrát vyžaduje, aby užitková funkce měla inflexní bod přesně v hodnotě momentálního majetku m. Potom je skutečně racionální vzít jistou stokorunu namísto padesátiprocentní šance na dvě stovky, protože u(m+100) > (u(m) + u(m+200))/2. Zároveň by pak bylo racionální riskovat padesátiprocentí šanci ztráty dvousetkoruny před jistou ztrátou stovky, protože u(m-100) < (u(m) + u(m-200))/2.

Přesto se domnívám, že takto rozhodování pozorovaná v minule diskutovaných psychologickým experimentech vysvětlit nelze. Klidně přiznám lidem možnost mít užitkovou funkci s inflexním bodem, ale aby tento bod přesně koincidoval s výší konta, to by musela být buď setsakramentská náhoda, nebo důsledek toho, že se užitková funkce výši konta aktivně přizpůsobuje. Na setsakramentské náhody podobného typu nevěřím, a aktivní přizpůsobování má všechny nemilé důsledky časově nekonsistentního užitku. Z lidí s časově nekonsistentními preferencemi lze cyklicky pumpovat peníze. Zde je návod:

0. Na počátku mají Anastáz a Barnabáš oba 1 000 Kč.
   
1. Anastáz půjčí Barnabášovi 101 Kč, výhodně: Barnabáš musí vrátit jen 100 Kč, takže to přijme, i když peníze zrovna nepotřebuje. Stav konta je A: 899, B: 1 101.
   
2. Barnabášovi hrozí, že bude muset splatit dluh. Anastáz mu nabídne obchod: dlužní úpis na 100 Kč vymění za dlužní úpis na 200 Kč, který ale bude splatný, jen pokud dodatkové číslo tažené v následujícím tahu Sportky bude sudé [*]. Protože jistá ztráta stovky je pro Barnabáše horší, než poloviční šance na ztrátu dvou set, na transakci přistoupí, a ještě za ni Anastázovi zaplatí, řekněme 10 Kč. Stav konta: A: 909, B: 1 091.
   
3. Anastáz si od Barnabáše půjčí 198 Kč a slíbí mu vrátit 200 Kč. Půjčka je pro Barnabáše výhodná. Stav konta: A: 1 107, B: 893.
   
4. Struktura dluhu je nyní následující: bude-li dodatkové číslo sudé, Barnabáš nedostane nic, když ale padne liché, dostane dvě stovky. Jelikož Barnabáš má, co se zisků týče, averzi k riziku, je ochoten tento stav směnit za dlužní úpis na jistou stovku a ještě k tomu něco připlatit, řekněme opět 10 Kč. Anastáz rád vyhoví. Stav konta: A: 1 117, B: 883.
   
5. Anastáz splatí dluh. V tomto okamžiku jsou všechny dluhy smazány, a stavy kont jsou A: 1 017, B: 983. Anastáz je o 17 Kč bohatší a Barnabáš za své peníze získal cenné poučení o povaze užitkové funkce.
   

Poznámky:
1. Nulový užitek je ale stále trochu iluzorní pojem. Podmínka rovnost středního užitku z rovnocenných strategií sice nedovoluje beztrestně nahradit u za v = f(u) s libovolnou rostoucí funkcí f, ale pořád je možné ekvivalentně vzít v = cu + k, kde c a k jsou konstanty. Nulovou hladinu tak můžeme libovolně posouvat; důležitá není absolutní hodnota užitku, ale poměry rozdílů užitků mezi jednotlivými variantami.
2. Nemluvím o situaci, kdy po dosažení y agent zjistí, že mu tato varianta vlastně nevyhovuje. Není nic iracionálního na změně preferencí po získání nových informací, třeba ve formě zkušenosti. Taktéž nemluvím o situaci, kdy setrvání v nějakém stavu přináší užitek po omezenou dobu; není jistě nic iracionálního ani na tom, když člověk jede na dovolenou a naplánuje si návrat po dvou týdnech. Mluvím o situaci, kdy toužím po bydlení na venkově, a tak pod cenou prodám městský byt a odstěhuji se třicet kilometrů za město, ačkoli vím, že po týdnu se mi bude po bydlení ve městě stýskat a začnu na nově pořízený vesnický domek hledat kupce.

Zločin a statistika

Smrt jednoho je tragédie. Smrt milionu je statistika. (údajně J.V.Stalin)

Věřím jen té statistice, kterou si sám zfalšuji. (údajně W.S.Churchill) [1]

Statistika má špatnou pověst. Kromě toho, že je považována za nudnou, nevzbuzuje ani příliš mnoho důvěry. Svým způsobem je to paradox: statistické metody by měly sloužit k snažší extrakci pravdy z dat, ve kterých není možné se vyznat na první pohled. Přesto, statistiku je možné (vědomě i nevědomě) použít k transformaci pravdivých údajů v naprostou lež. V tomto článku se podíváme na dva způsoby, jakými je možno spáchat takový statistický „zločin“.

Simpsonův paradox
V letech 1972-1994 byla v Británii provedena studie zkoumající vliv kouření na dlouhodobé přežití u žen. Z dotazovaných kuřaček bylo po dvaceti letech mrtvých 24%, zatímco z nekuřaček plných 31%. Tento výsledek jakoby napovídal, že varování „kouření zabíjí“ na krabičkách cigaret nemusí být zcela pravdivé.

Obhájci kouření se mohou odvolat i na jinou statistiku: mezi dětmi narozenými s nízkou porodní vahou je kojenecká úmrtnost nižší, pokud je matka kuřačka. Nízká porodní váha bývá doprovázena zdravotními komplikacemi a zvýšenou kojeneckou úmrtností obecně, a platí to bez ohledu na kouření matky, ale když už má kojenec nízkou porodní váhu, je jeho šance na přežití větší, jestliže jeho matka během těhotenství kouřila [zdroj].

V roce 1973 byla universita v Berkeley obviněna z diskriminace žen při přijímacím řízení. Ovinění bylo založeno na statistice: z 8442 mužů hlásících se na universitu bylo přijato 44%, zatímco z 4321 žen pouze 35%. Rozdíl byl natolik výrazný, že jej lze těžko označit za náhodu.

Není asi vyloučeno, že by na Berkeley v sedmdesátých letech minulého století upřednostňovali muže, ale první dva příklady vypadají jako propaganda z dílny tabákové lobby. Ve skutečnosti mají všechny tři příklady společného jmenovatele: pravdivé informace v nich obsažené zdánlivě implikují závěr, který je napravdivý. Jedná se o příklad Simpsonova paradoxu.

Paradoxnost Simpsonova paradoxu vynikne při pohledu na informace o počtu přijatých uchazečů o studium na Berkeley rozepsané pro jednotlivé studijní obory zvlášť (data pro šest největších oborů ze sto jednoho):

obor	muži			ženy
	zájemců	přijatých	úspěšnost	zájemkyň	přijatých	úspěšnost
A	825	512	62%	108	89	82%
B	560	313	56%	25	17	68%
C	325	120	37%	593	202	34%
D	417	138	33%	375	131	35%
E	191	53	28%	393	94	24%
F	373	22	6%	341	24	7%
A-F	2691	1158	43%	1835	557	30%

Z tabulky je patrné, že na většině oborů jsou úspěšnější ženy. Muži jsou na tom lépe pouze v oborech C a E, a i tam je jejich převaha relativně malá (37:34 a 27:24). Přesto, v úhrnném výsledku, muži vítězí jasně 43:30. Aby paradox vyniknul ještě lépe, zkusme uměle snížit počet úspěšných mužů v oborech C a E na 100 a 40; jejich relativní úspěšnost by pak byla 30% a 21%. V tomto hypotetickém případě by na jednom každém oboru z šesti sledovaných byly ženy úspěšnější než muži, a přesto, v celkovém součtu, by úspěšnost mužů byla stále téměř 42% - tedy výrazně více, než 30% u žen!

Při bližším pohledu na data je patrné i vysvětlení paradoxu. Obory C a E, kde byla šance na přijetí nízká, byly velmi populární mezi uchazečkami, zatímco jejich mužští kolegové se ve velkém hlásili na obor A, kam se dostat bylo relativně snažší. I když si tedy v rámci jednotlivých oborů ženy vedly zpravidla o něco málo lépe, jejich celková úspěšnost odrážela především výsledky z těžkých přijímaček na C a E, zatímco mužská celková úspěšnost byla silně ovlivněna lehkým oborem A.

Podobně se dají vysvětlit i oba kuřácké případy. V prvním z nich hraje roli věk. V době konání průzkumu bylo kouření populární mezi mladými Britkami, zatímco ve starší generaci ženy příliš nekouřily. Množina kuřaček tak byla v průměru mladší, než množina nekuřaček, a z tohoto prostého důvodu byl počet úmrtí během dvaceti let v první skupině nižší. V případě porodní váhy je vysvětlení toto: Kouření matky ve skutečnosti zvyšuje riziko nízké porodní váhy, a tím pádem i riziko úmrtí kojence. Na druhé straně nízká porodní váha nemusí být sama o sobě příčinou úmrtí, může být i doprovodným příznakem jiných zdravotních problémů. Tyto problémy pak mívají v průměru větší šanci kojence zabít, než pouhá nízká váha. Když vybereme pouze kojence s nízkou vahou, pak ve skupině dětí nekuřaček je vyšší procento těch, které mají nízkou váhu v důsledku závažných zdravotních komplikací, prostě proto, že druhá skupina je nafouknuta dětmi, které mají nízkou váhu pouze následkem kouření jejich matky.

Simpsonův paradox může nastat, kdykoli zapomeneme zohlednit tzv. matoucí proměnné. Matoucí proměnnou je vlastnost, která ovlivňuje výsledky analýzy, a její hodnota je rozložena různě v obou porovnávaných skupinách, aniž by to bylo na první pohled vidět. V případu Berkeleyské pohlavní diskriminace byla takovou proměnnou ochota hlásit se na těžké obory, v případě britských kuřaček to byl věk, a v případě nízké porodní váhy to byla četnost nezávislých zdravotních komplikací. Pro vyvození správných závěrů ze statistické analýzy je klíčové, aby porovnávané skupiny byly kontrolovány na výskyt potenciálně matoucích proměnných. V lékařských výzkumech to bývá mnohdy problém.

Lineární regrese

Idea lineární regrese je jednoduchá: máme dvě proměnné x a y, které na sobě závisí (například x je množství vitamínů, které člověk přijme ve formě doplňků (tedy navíc k běžné dávce v potravě) každý den, a y je střední délka života), a chceme zjistit, jak x ovlivňuje y. Závislost by měla být hladká, a nejjednodušší hladká závislost je lineární. Data, která lze získat, jsou nutně zatížena šumem, takže pokud si nakreslíme do grafu množinu bodů, z nichž každý odpovídá jednomu evidovanému člověku (na vodorovné ose jeho průměrná denní dávka vitamínů, na svislé dožitý věk), nic moc z toho nevidíme [*]:





Právě proto se hodí regrese, která dokáže odfiltrovat šum, a ukáže pravou závislost y na x. Ukazuje se, že s rostoucím dávkou vitamínových doplňků délka dožití pomalu klesá. Dá se tedy usoudit, že doplňky škodí a je vhodné se jich vyvarovat.





Takové rozhodnutí je ale ukvapené. Je totiž dost dobře možné, že skutečná závislost není lineární, a užití lineární regrese je tak neoprávněné. Lepší než dlouhé žvanění je třetí graf, ve kterém jsem eliminoval šum:





Teď je očividné, že lineární regrese nejenže odfiltrovala šum, ale odfiltrovala i značnou část podstatné informace o závislosti. Doplňky ve velkém množství skutečně výrazně škodí, ale v malém množství jsou naopak prospěšné, lineární regrese ale tyto efekty zprůměruje do mírné škodlivosti.

(Tento příklad je inspirován kritikou Bjelakovićovy analýzy účinků některých atioxidantů [odkaz] uveřejněné v roce 2007. Osobně jsem nekontroloval věcnou správnost této kritiky, nicméně i pokud v tomto případě byla kritizovaná studie v pořádku, obecné varování před zbrklým užitím lineární regrese platí.)

Zločinů proti statistice je pochopitelně více, neboť lidé jsou tvořiví, nicméně moje ochota psát se pro dnešek vyčerpala. Do budoucna ale nevylučuji další pokračování na téma tohoto článku.

Poznámky:
1. Oba citáty jsou svým údajným autorům připisovány neprávem. Původ prvního citátu o smrti a statistice není jasný, ale neexistuje doklad toho, že by výrok pocházel skutečně od Stalina (viz též Stalinovu stránku na Wikicitátech a tam uvedené odkazy). Slova o falšování statistiky vložil Churchillovi do úst Josef Goebbels v rámci válečné propagandy.