úterý 29. března 2011

Paradox nečekaného věšení


Tenhle paradox je obyčejně vyprávěn jako krátký příběh. Vězeň je odsouzen k trestu smrti oběšením, a škodolibý soudce se zálibou v logických paradoxech mu sdělí podrobnosti o vykonání rozsudku: „Poprava bude vykonána v jednu hodinu odpoledne v některý z pracovních dnů příštího týdne. Přesně ve dvanáct hodin si pro vás do cely přijde kat. Konkrétní den vykonání rozsudku vám neprozradím, ba právě naopak. Až se kat objeví ve dveřích, budete překvapen – můžu vám na svou čest garantovat, že určitě nepřijde v momentě, kdy byste ho s jistotou očekával.“

Vězeň posléze uvažuje: „Je jasné, že nebudu popraven v pátek, protože vím, že pátek je poslední den, kdy mohu být popraven, a již od čtvrtečních 12:01 bych s jistotou očekával jeho příchod v pátek. To ale znamená, že poslední možný den je čtvrtek. Jestliže se ale kat neobjeví do středečního poledne, s jistotou budu vědět, že musí přijít ve čtvrtek, a ve čtvrtek v poledne nebudu překvapen. Což je spor, takže nemůžu být popraven později, než ve středu. Stejnou logikou ale můžu vyloučit i středu, a potom i úterý a pondělí. A protože mi soudce garantoval, že kat nepřijde očekáván, znamená to, že nepřijde vůbec.“

Kat se ve vězňově cele zjeví s úderem poledne ve středu, naprosto neočekáván.

Reakce na paradox nečekaného věšení se různí. Část lidí popírá, že na paradoxu je cokoli zajímavého, protože soudci žádná vyšší moc nebrání říkat nepravdivá tvrzení. Mnohdy se zdá, že paradox visí na slově překvapení: soudce slíbí, že odsouzenec bude katem překvapen, odsouzenec si pak projde výše popsanou úvahou a nakonec skutečně je překvapen. To vyvolává dojem, že paradoxnost lze rozřešit nějakou inteligentní definicí „překvapení“ a z pohledu logiky že paradox není nijak zajímavý.

Druhá polovina reakcí naopak zdůrazňuje, že paradox nečekaného věšení zajímavý je, mimo jiné právě z pohledu logiky. Timothy Chow ve své analýze paradoxu dokonce píše o „metaparadoxu“ spočívajícím v tom, že ačkoli je paradox nečekaného věšení napohled triviální, dosud neexistuje konsensus o jeho správném řešení. (Chow dbá alternativní formulace, ve které místo odsouzence figurují studenti, soudce i kata zastupuje obávaný profesor a věšení je nahrazeno zkouškou.):

Metaparadox se skládá ze dvou zdánlivě neslučitelných skutečností. První je, že paradox nečekané zkoušky se zdá lehce vyřešitelný. Ti, kdo jej vidí poprvé, typicky mají instinktivní reakci, že chyba v uvažování studentů je očividná. Co víc, většina z čtenářů, kteří se pokusili věc promyslet má jen málo potíží vyřešit ji ke své vlastní spokojenosti.

Druhá (udivující) skutečnost je, že doposud bylo publikováno téměř sto článků o tomto paradoxu, a stále nebyl dosažen konsensus o jeho správném řešení. Paradox byl dokonce nazván „závažným problémem filosofie“. Jak je to možné? Může podobný směšný argument skutečně být závažnou neřešenou záhadou? A jestli ne, proč článek za článkem začíná bryskním odmítnutím všech předchozích prací a tvrzením, že teprve on představuje dlouho očekávané jednoduché řešení, které paradox pohřbí jednou provždy?


Článek dále pokračuje shrnutím, že různí autoři vidí paradoxnost nečekaného věšení v různých věcech. Shodě nenapomáhá ani to, že paradox je sdělován spíš ve formě historky než formálním jazykem, a interpretace se mohou různit. Chow rozlišuje dva hlavní přístupy, jejichž protagonisty označuje za logickou a epistemologickou školu. Epistemologický přístup operuje s úvahami zabývajícími se tím, zda odsouzenec může vědět, že nebude pověšen. Úvahy se pak nutně stočí na to, co přesně znamená slovo „vědět“. Do bližšího komentování tohoto hnidopišství se nebudu pouštět, přinejmenším proto, že bych asi předtím musel okomentovat absurdní Gettierův problém, který dokonce ani já nepovažuji za paradox hodný pozornosti. Chci ale blíže popsat logický přístup k paradoxu.

Jeden ze způsobů, jak přesněji paradox definovat, je zbavit se subjektivní „nečekanosti“. Matematicky způsobilejší soudce by odsouzenci mohl sdělil třeba toto:

  1. Budete popraven v poledne některého z pracovních dní příštího týdne.
  2. Konkrétní den popravy nebude před popravou lze vydedukovat, vycházeje z těchto dvou výroků a faktu, že k popravě dosud nedošlo.

Paradox spočívá v tom, že když k popravě ve středu dojde, zdá se, že oba výroky byly pravdivé: Středa je jedním z pracovních dní uvedených ve výroku 1, a fakt, že k popravě dojde ve středu, nebylo možné v úterý večer vyvodit. Na druhou stranu ale z výroků 1 a 2 logicky platně lze vyvodit, že k popravě ve středu (ani v žádný jiný den) nedojde.

Vsuvka „vycházeje z těchto dvou výroků“ je přitom klíčovou součástí celé konstrukce. Představuje tzv. autoreferenci, tedy odkaz na sama sebe — výrok 2 mluví o výroku 2. Bez autoreference se nelze při formalizaci paradoxu obejít: Soudcův verdikt ve formě

  1. Budete popraven v poledne některého z pracovních dní příštího týdne.
  2. Konkrétní den popravy nebude před popravou lze vydedukovat, vycházeje z výroku 1 a faktu, že k popravě dosud nedošlo.

autoreferenci sice neobsahuje, ale neumožňuje vězni provést jeho úvahu až do konce. Sice může odvodit, že k popravě nedojde v pátek (protože z výroku 1 a faktu, že nebyl popraven do čtvrtka odpoledne, by plynulo, že poprava bude v pátek, což by byl spor s výrokem 2), ale nelze dál pokračovat a vyloučit čtvrteční popravu. Z výroku 1 a faktu, že k popravě nedošlo do středy, pouze plyne, že poprava nastane ve čtvrtek nebo v pátek, což není jednoznačné určení. Odsouzenec sice ví, že v pátek poprava nebude, tento fakt ale nelze vyvodit pouze z výroku 1 a dosavadní nepopravenosti.

Vyrábět paradoxy pomocí autoreference není nijak těžké a takové paradoxy jsou známy odnepaměti. Paradox lháře (nebo též Epimenidův) patří k nejstarším popsaným logickým paradoxům. Novější varianty téhož jsou Russelův nebo Curryův. Zatímco ale problém s výroky typu „tento výrok je nepravdivý“ je vidět na první pohled, paradox nečekaného věšení tento aspekt umně skrývá, a jeho rozřešení tak může být vpravdě nečekané.

8 komentářů:

  1. Akonáhle pripustíme možnosť, že kat vôbec nepríde, stane sa aj piatok prípustným dňom popravy pri zachovaní oboch podmienok a tým pádom každý iný deň.

    OdpovědětSmazat
  2. Připuštění téhle možnosti je porušení první podmínky.

    OdpovědětSmazat
  3. Vychádzal som z dedukcie väzňa, že kat vôbec nepríde. Dobre, poďme na to inak.

    Z dedukcie v druhom odstavci vyplýva, že sudca sa buď nevyjadril celkom presne, alebo povedal niečo, čo si celkom nepremyslel, lebo striktne vzaté povedal nezmysel. To vnáša do celého problému istú mieru neurčitosti, ktorá spôsobí, že sa naozaj s určitosťou nedá povedať, kedy kat príde. Je veľmi pravdepodobné, že príde a že príde nasledujúci týždeň a je dosť pravdepodobné, že nepríde v piatok, ale ostatné dni už vykazujú dosť veľkú úroveň neurčitosti na to, aby zhruba mohla byť splnená druhá podmienka.

    OdpovědětSmazat
  4. Druhá podmínka je míněna zcela určitě: datum nesmí být deduktivně odvoditelné z výroků 1 a 2. Odvoditelnost není podmíněna pravdivostí premis, důvěryhodnost soudce nebo jiné neurčitosti vůbec nevstupují do hry. Soudce se navíc mohl vyjádřit naprosto přesně (můžete se podívat do Chowova článku, na který v textu odkazuji, kde je soudcův výrok důkladně zformalizován).

    Paradox nespočívá v tom, co vězeň mohl nebo nemohl vědět před popravou. Spočívá v tom, že po popravě je vidět, že výrok 1 byl pravdivý (zjevně, k popravě nakonec došlo ve středu), výrok 2 byl pravdivý (z 1, 2 a nepopravenosti v pondělí a úterý skutečně nelze vydedukovat, že k popravě dojde ve středu), a přitom z 1 a 2 bylo možné odvodit nepravdivý výrok (konkrétně "ve středu poprava nebude"). Z pravdivých premis by ale nemělo být možné vyvozovat nepravdivé závěry.

    Pravdivost výroku 2 je pochopitelně klamná, ale není to tak snadné uvidět.

    OdpovědětSmazat
  5. Áno, súhlasím, presne o to išlo, že sudcove výroky nemôžu byť pravdivé.

    OdpovědětSmazat
  6. Kat může znát proces uvažování vězně. Kdy se tedy kat rozhodne přijít?

    OdpovědětSmazat
  7. Připomnělo mi to důkaz o tom, že všechna čísla jsou zajímavá. Je v něm, řekl bych, podobná chyba.
    Předpokládejme opak, nechť tedy x je nejmenší nezajímavé číslo, tím je však zajímavé -- spor.

    OdpovědětSmazat
  8. Na vyřešení tohoto paradoxu staší 0,001 sec.

    A, podané informace jsou záměrně neúplné.
    B, podané informace si vzájemně protiřečí.
    C, úvahy takto postavené jsou scestné.

    To je jako jedno vajíčko neočekávaně v krabici 1 až 10:
    Krabice jedna to není, protože byste mohli předpokládat, že je zrovna tam.
    Není to ani krabice č.2 protože atd.
    Závěr scestné úvahy: Vajíčko není v žádné krabici, ačkoliv jsem ho do jedné dal !

    Takto postupovat nelze.

    Jak tedy rozřešíme výše uvedený blábol?

    A, Přesně ve dvanáct hodin si pro vás do cely přijde kat...

    B, Až se kat objeví ve dveřích, budete překvapen – můžu vám na svou čest garantovat, že určitě nepřijde v momentě, kdy byste ho s jistotou očekával.“

    adA: Kat příjde ve 12 hodin některý pracovní den.
    abB: Kat nemůže přijít v ani jeden pracovní den protože je v tyto dny stále očekáván. Neočekávané by to bylo v Neděli, jenže to zas není pracovní den.

    Tyto dvě premisy se vylučují kat nemůže nikdy přijít, platí -li obě současně.

    Souce zlikviduje vězně tak, že jednu neděli vyhlásí za pracovní a kat příjde naprosto neočekávaně. Touto dodatečnou podmínkou pak lze splnit soudcové "čestné" slovo...

    OdpovědětSmazat