Achillova noční můra

Tak trochu v rámci série článků o logice a formálních systémech, tak trochu mimo něj, bych se rád zastavil u dvou esejů, jejichž vznik od sebe dělí téměř sto let, a které přitom mají mnoho společného. Autorem prvního z nich je Lewis Carroll, matematik, který je spíše znám jako spisovatel (díky Bertrandu Russellovi, nositeli Nobelovy ceny za literaturu, není v této kategorii osamocen). Esej Co řekla Želva Achillovi je sice velmi známá, přesto se mi nepodařilo na internetu najít český překlad. Proto jsem vytvořil překlad svůj, který můžete nalézt [ZDE]; dáváte-li přednost originálnímu znění, text je k nalezení např. [TADY].

Carroll lehce nevážnou formou využívá běžného nedorozumění k vytvoření zdání paradoxu. Nedorozumění spočívá v nerozlišování mezi implikací jakožto logickým operátorem na jedné straně a odvozovacími pravidly logiky na straně druhé. Všichni víme, že přijímáme-li výroky A a A⇒B za pravdivé, musíme za pravdivý přijmout i výrok B. Toto pravidlo se zove modus ponens a občas celou sekvenci zapisujeme symbolicky, třebas takto:

A⇒B, A ⊢ B.

Problém nastane v okamžiku, kdy se nám zachce nahradit nezvyklý symbol ⊢ obyčejnou implikací. Člověk pak napíše (A∧(A⇒B))⇒B, a platnost B odůvodní platností tohoto výroku. Ale proč vlastně platí (A∧(A⇒B))⇒B? Na tom Carroll staví zápletku své nedlouhé povídky.

Druhý esej pochází z pera logika Raymonda Smullyana a jmenuje se Epistemologická noční můra. Ačkoli značně novější, s překládáním jsem se namáhat nemusel; česká verze [ODKAZ] totiž vyšla v Pokrocích matematiky, fyziky a astronomie „již“ sedm let po svém vzniku, a to v roce 1989. Originál např. [ZDE]. Epistemologická noční můra je, podobně jako výše zmíněný Carrollův esej, napsaná formou rozhovoru. Po přečtení textu, jehož paradoxní efekt je vystavěn na důmyslné hře s autoreferenčními výroky a nekonečnými řetězci výroků, člověk ztratí značnou část důvěry v neprůstřelnou pevnost logiky.