Pravda a dokazatelnost

Toto je třetí díl seriálu o logice, který volně sleduje myšlenky D.Hofstadtera sepsané v jeho knize Gödel, Escher, Bach. Navigace: úvodní článek - předchozí díl - příští díl.

Ještě než se dostaneme k vlastním ideím Gödelova důkazu věty o tom, že dostatečně složité formální systémy jsou buď neúplné, nebo nekonsistentní (význam těchto slov jsem nastínil v minulém díle), ještě se zastavím u dvou aspektů vztahu formálních pravidel a interpretace. První poznámka se týká vztahu teorémů a neteorémů; toto téma jsem minule již nakousl, když jsem zjistil, že MU není teorémem systému MIU (definovaného v prvním díle), ale tento fakt není v konečném čase prokazatelný v rámci systému MIU. Pozorování tohoto typu samozřejmě neplatí pouze pro systém MIU, ale zcela obecně pro všechny formální systému; tedy aspoň pro ty, ve kterých existuje nekonečné množství legálních odvozovacích postupů. Při pohledu „zevnitř“ systému mají množina teorémů a množina neteorémů velmi odlišný charakter: o teorému se můžeme přesvědčit, že je teorémem, zatímco o neteorému si nikdy nemůžeme být jisti. Chceme-li si být jisti, musíme užít dedukci ležící mimo daný formální systém. Toto pozorování možná nepůsobí nijak převratným dojmem v případě systému MIU, ale zní lehce překvapivě, díváme-li se stejným způsobem na logiku.

V minulých dílech bylo taktéž řečeno, že teorémy logiky, v rámci její přirozené interpretace, odpovídají pravdivým tvrzením, zatímco neteorémy odpovídají nepravdivým tvrzením. V abecedě formální logiky máme mimo jiné znak ¬, který interpretujeme jako negaci. Jednou z triviálně chápaných vlastností negace je to, že pokud tvrzení je pravdivé, jeho negace je nepravdivá. Víme-li tedy, že nějaký výraz formální logiky je teorém, chtělo by se jeho negaci prohlásit za neteorém. Problém s tímto přístupem je v tom, že leží za hranicemi toho, co formální systémy umožňují. Formální systémy umožňují odvozovat teorémy, nikoli neteorémy. Teorém je definován pozitivně jako něco, co je možno v konečném počtu kroků odvodit z daných axiomů; neteorémy tvoří doplněk množiny teorémů, a nic nezaručuje, že je taktéž lze v konečném čase generovat.

Člověk není Turingův stroj a může si s pravidly svých formálních systémů hrát. Jedna z otázek, která se nabízí téměř automaticky, je tato: Nešlo by pojetí formálních systémů rozšířit tak, aby bylo možno v konečném čase generovat i neteorémy? Konečnou sadu neteorémů bychom povýšili na „neaxiomy“ a zavedli bychom „neodvozovací pravidla“, pomocí kterých bychom generovali neteorémy. Vraťme se na moment k dříve diskutovanému MIU. Roli „neaxiomu“ by tam mohl hrát třeba řetězec U a jedno z „neodvozovacích pravidel“ by znělo takto:

1. Je-li X neteorém, pak XY je neteorém (X,Y libovolné výrazy).
   

Tato konstrukce generuje všechny možné řetězce začínající na U, o kterých z výše provedené analýzy víme, že skutečně nepatří mezi teorémy. Zároveň ale vidíme, že ne všechny neteorémy lze vygenerovat tímto pravidlem — například takto nedostaneme náš známý řetězec MU. Seznam pravidel a „neaxiomů“ generující všechny neteorémy systému MIU by musel zřejmě být větší. Není samozřejmě jisté, zda takový seznam vůbec lze sestrojit; i pokud ale takový systém sestrojit lze, abychom ověřili, že generuje všechny neteorémy a právě jen neteorémy, museli bychom užít dedukci přesahující rámec zvoleného systému. [*].

Mělo by být zřejmé, co z toho plyne pro nápad zavést do formální logiky „pravidlo“, že negace teorému je neteorém. Ačkoli každý, kdo užívá logiku, věří, že tomu tak je, úvahami v rámci příslušné verze logiky není možné ukázat, že neexistuje výraz, který sám, a zároveň i jeho negace, jsou teorémy. Je možné si představit nějaký obecnější systém uvažování, který by tento fakt byl schopen ukázat, ale to pouze odsouvá problém o úroveň výše: obecnější systém, má-li strukturu formálního systému (což není až zas tak silný předpoklad), se střetává se stejnou asymterií mezi pozitivně vymezenou množinou teorémů a jejím doplňkem. Z nejobecnějšího sestrojitelného systému, takového, který by plně popisoval idealizovanou strukturu lidského myšlení, nemáme šanci vystoupit o úroveň výš. Bez onoho vystoupení výš nemůžeme ukázat, že nějaký konkrétní výraz není teorémem; v konkrétnějším případě pak nemůžeme ukázat, že pokud výraz X je teorém, pak ¬X není teorém. Musíme tak být spokojeni s tím, že množina neteorémů je definována pouze negativně. Poněkud se to příčí intuici: kdybychom chtěli být echt přesní, mohli bychom vlastně rozlišovat význam napohled identických vět

1. dva plus tři není rovno čtyřem, a
   
2. není pravda, že dva plus tři je rovno čtyřem.
   

První z nich říká [*], že ¬(2+3=4) je teorém, zatímco druhá říká, že 2+3=4 není teorém (v rámci nějakého rozumné formální aritmetiky; ta samozřejmě obsahuje logiku jako podsystém). Důvěra v identičnost obou vět je podmíněna důvěrou v konsistenci aritmetiky, předpoklad, který se pochopitelně v běžné debatě o aritmetice nenamáháme zdůrazňovat. Jak jsem již minule napsal, věci budou vypadat méně podivně, když místo „je pravda“ budeme říkat „je dokazatelné“, ale stále je dobré mít na paměti, že dokazatelnost non-X není totéž, co nedokazatelnost X: z dokazatelnosti non-X plyne nedokazatelnost X za předpokladu konsistence a z nedokazatelnosti X plyne dokazatelnost non-X za předpokladu úplnosti; nikdy ale nemáme oba předpoklady splněny najednou. Výhoda slova „dokazatelnost“ je ta, že nemá ty absolutní konotace, které jsou vlastní „pravdě“: cítíme, že pravda je jen jedna, zatímco dokazatelnost přirozeně může záviset na volbě axiomů. Chceme-li mluvit o pravdivosti výroků, musíme se ptát na pravdivost axiomů. Ale jak můžeme mluvit o pravdivosti něčeho, co závisí jen na naší libovůli?

S jediností pravdy souvisí ještě jedna otázka, a to: existuje jen jedna logika? Je logika univerzální, v tom smyslu, že jakákoli myslící entita musí používat stejnou logiku, jako my? Člověk bývá silně puzen ke kladné odpovědi; nakonec i teologové v debatách o všemohoucím Bohu zpravidla tak nějak předpokládají, že věmohoucnost je omezena logikou. Pohled na logiku jako formální systém naproti tomu navádí k většímu skepticismu. Abeceda, gramatika a odvozovací pravidla logiky nejsou — jak nakonec explicitně uvidíme v některém z dalších dílů —, zrovna příkladem nejjednoduššího či nejelegantnějšího formálního systému. Pravidla logiky nám připadají přirozená a, chtělo by se říct, logická; vypovídá to ale více o výjimečnosti logiky mezi formálními systémy, nebo spíš o architektuře lidského mozku a způsobu našeho uvažování? Koneckonců, neexistuje jediná Logika s velkým L: máme logiku výrokovou, predikátovou prvního řádu (ta má oproti výrokové logice navíc kvantifikátory), druhého řádu (umožňuje kvantifikovat výroky), třetího i vyšších řádů nebo modální. Druhy logiky se liší svou abecedou, gramatikou či odvozovacími pravidly. Proč tedy předpokládat, že mimozemšťané, vyvinuvší se v jiném prostředí, automaticky budou myslet způsobem isomorfním tomu našemu?

Pro postmodernistu, který čte tyto řádky s hřejivým pocitem vítězství („já to říkal celou dobu, logika je sociální konstrukt“): Předešlý odstavec není obhajobou epistemického relativismu ani Feyerabendova anything goes. Od tvrzení, že formální logika je model lidského uvažování (a tedy ne univerzální model jakéhokoli myšlení) je velmi daleko k závěru, že všechny modely myšlení jsou si rovnocenné. Klíčová je zde existence smysluplné interpretace, to jest korespondence mezi řetězci formálního systému a pozorovaným světem. Až Derrida, Lacan a spol. nabídnou alternativní formalizaci myšlení, která bude mít smysluplnou interpretaci, můžeme diskutovat o privilegovaném postavení klasické logiky a sociálně determinované epistemologii. Nečekám však, že by se dekonstruktivisté, poststrukturalisté a kontinentální filosofové vůbec k něčemu takovému odhodlali.

Lepším příkladem, než různé varianty logiky (které jsou spíš různými rozšířeními téhož, než alternativami navzájem) zde nakonec může být stará známá geometrie [*]. Nejstarší formalizovanou geometrií je ta Eukleidova; zde je původních pět postulátů, na kterých je postavena [*]:

1. Mezi každými dvěma body lze jednoznačně narýsovat úsečku.
   
2. Každou úsečku lze jednoznačně prodloužit na přímku.
   
3. Ke každé úsečce existuje jedna kružnice, která má střed v jednom jejím konci a prochází druhým jejím koncem.
   
4. Všechny pravé úhly jsou si rovny.
   
5. K dané přímce a bodu, který na ní neleží, lze sestrojit právě jednu rovnoběžku, která prochází daným bodem.
   

Generace geometrů nebyly spokojeny s existencí pátého postulátu. Jeden z důvodů byl, že původní formulace pátého postulátu byla velmi neelegantní a nesamozřejmá: Jestliže přímka protíná dvě další přímky tak, že součet vnitřních úhlů na jedné straně první přímky je menší než dva pravé úhly, pak se dvě další přímky navzájem protínají právě na této straně. Zdálo se, že pátý postulát bude možné dokázat z prvních čtyřech. Koneckonců sám Eukleidés použil pátého postulátu v první knize svých Základů až při důkazu 29. tvrzení (z celkem 48). Pokusy dokázat pátý postulát ale byly všechny neúspěšné, a postulát si tak zachoval status axiomu. Neuspokojivý stav trval až do přelomu dvacátých a třicátých let devatenáctého století, kdy Nikolaj Lobačevskij a János Bolyai nezávisle „objevili“ neeuklidovskou geometrii. Slovo „objevili“ píši do uvozovek proto, že přinejmenším sférická geometrie musela být v tu dobu prakticky dobře známa přinejmenším mezi geografy — a bylo tomu tak již od dob antických. Zásluha Lobačevského a Bolyaiho spočívala v tom, že rozpoznali možnost formalizovat neplanární geometrii pomocí prvních čtyřech Eukleidových axiomů.

Po mnoho staletí tak lidé věřili, že existuje jedna automaticky správná formální geometrie, a tato víra se ukázala falešnou. Znamená to ale, že eukleidovská geometrie je pouhý sociální konstrukt? Zajisté ne. Existují i geometrie jiné, neeukleidovské, ale volba mezi užitím konkrétní geometrie není pouhá sociální konvence. Naopak, tato volba je dána praktickou potřebou: používat hyperbolickou geometrii při stavbě domu je pošetilé, stejně jako je pošetilé používat eukleidovskou geometrii při námořní navigaci na velké vzdálenosti.

Příklad různých geometrií je ilustrativní i jinak. Ukazuje, jakou sílu interpretace má při posuzování pravdivosti výroků. Jeden ze způsobů, jak bylo možné dokázat pátý Eukleidův postulát byl důkaz sporem: zkusme vzít jeho negaci za axiom a ukažme, že výsledný systém je nekonsistentní. Nekonsistenci se sice nedařilo nalézt, ale lidé po staletí věřili, že když se budou snažit dostatečně, jednou na nějakou narazí. Až v okamžiku, kdy se podařilo najít interpretaci geometrie obsahující negaci pátého axiomu, bylo rázem zřejmé, že nekonsistence neexistuje. Ač to nebylo formálně dokázáno — není zas tak jednoduché dokázat, že Lobačevského geometrie je konsistentní — bylo to zřejmé. Od systému se smysluplnou interpretací nekonsistenci prostě nečekáme.

Pátý postulát tedy není dokazatelný pomocí prvních čtyřech. Je ale pravdivý? Po tom, co bylo řečeno, je evidentní marnost takto položené otázky. Bez bližší specifikace významu pravdivosti není možno jednoznačně odpovědět. Pravdivost závisí na interpretaci, a interpretace geometrických pojmů „rovnoběžka“, „úhel“ či „bod“ se v různých geometriích liší. U abstraktních matematických výroků můžeme snadno mluvit o dokazatelnosti; pravdivost je mnohem subtilnější a nejasnější vlastnost.