Petrohradská loterie

V rámci série článků o Petrohradě se nabízí i jedno téma do rubriky paradoxy. Je jím petrohradská loterie.

Petrohradskou loterii vymyslel Nicolas Bernoulli a jeho bratranec Daniel nápad přednesl před Petrohradskou akademií věd někdy na počátku 18. století [1,2]. Loterie je formulována následovně: Poté, co hráč zakoupí sázenku, přichází krupiér, který hodí mincí. Padne-li líc, hráč získá jeden rubl a hra končí. Padne-li rub, hra pokračuje druhým kolem, kde znovu krupiér hází mincí. Pokud nyní padne líc, hráč získá dva rubly, padne-li však rub, hra pokročí do třetího kola, kde se ovšem hraje již o čtyři rubly. Hraje se tak dlouho, dokud nepadne líc a je vyplacena výhra, a s každým dalším kolem se potenciální výhra zdvojnásobuje.

A teď si můžeme položit klíčovou otázku: kolik by měl rozumný hráč být ochoten zaplatit za sázenku petrohradské loterie?

U hazardních her se považuje za férové, když je očekávaná výhra stejně vysoká jako cena počátečního vkladu. Je-li vyplacení výhry podmíněno podmínkou, že na kostce v jednom hodu padne trojka, pak férový vstupní vklad má být šestinou výhry, jelikož pravděpodobnost, že padne trojka, je jedna šestina. Je-li možno vyhrát více výher, pak je nutné spočítat jejich průměr vážený pravděpodobností, abychom získali férovou cenu.

Spočítejme tedy očekávanou (tj. střední) výhru v petrohradské loterii. S pravděpodobností 1/2 je výhra 1 rubl, s pravděpodobností 1/4 je výhra 2 rubly, s osminovou pravděpodobností 4 rubly, a tak dále, tudíž očekávaná výhra je

1/2 .1 + 1/4 . 2 + 1/8 . 4 + 1/16 . 8 + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = ∞.

Nekonečno. Co to znamená? Představa nekonečného množství peněz je jistě bizarní z různých důvodů, ale spočtené číslo můžeme interpretovat: investovat libovolně vysokou částku do koupě sázenky se vyplatí, protože očekávaná výhra je vždy vyšší. Není-li to paradox, aspoň to tak vypadá. Těžko totiž očekávat, že by kdokoli rozumný za takovou sázenku dal více, než několik set rublů; člověka zaplativšího milion bych aspoň já odkázal k návštěvě psychiatrické léčebny. Přesto, matematika mluví jednoznačně: jakákoli částka se vyplatí.

Abychom se ale vrátili do reality. Vcelku snadno viditelný zádrhel s celou úvahou spočívá v oné nekonečnosti. Nikdo prostě nemůže vyplatit větší výhru, než činí jeho aktiva v bance. Předpokládejme, že hrajeme v celkem bohatém kasinu, které má v bance k dispozici sto milionů rublů. Ať se tedy hra vyvíjí jak chce, nikdy nezískáme vyšší výhru, než sto milionů rublů. Taková výhra by sice nebyla k zahození, ale jak to ovlivní výši očekávané výhry? Sto milionů překročí výhra tehdy, padne-li mince rubem navrch aspoň dvacet sedmkrát po sobě. Naše nekonečná řada 1/2 + 1/2 + ... je tedy utnuta po dvaceti sedmi členech; součet zbylých ∞ - 27 členů je nahrazen číslem 100 000 000 . 2^-27, což je asi 0,74. Což je částka v relativně velkém kontrastu oproti původnímu nekonečnu. Dohromady vyjde férová cena sázenky zhruba na 14 rublů. [3]

Můžeme se samozřejmě ptát na to, co se stane, bude-li kasino bohatší. Střední výhra bude přibližně rovna polovině dvojkového logaritmu maximální výhry. Logaritmus je pomalu rostoucí funkce: když kasino bude mít k dispozici sto miliard rublů, očekávaná výhra se zvýší někam k devatenácti rublům. Odhadem jsou v Rusku v oběhu nějaké tři biliony rublů (pokud interpretuji dobře informace zde), a kdyby byly v sázce všechny, pořád by sázenka nestála za víc, než nějakých dvaadvacet rublů.

V praxi nás tedy paradox trápit nemusí, protože peněz je na světě omezeně. Pořád ale existují takoví, jimž vrtá v hlavě otázka: a co kdybychom nechali praktické námitky stranou? I když jsem se v úvodu snažil vzbudit dojem, že jsem si na paradox vzpomněl kvůli svým ostatním příspěvkům s adjektivem "petrohradský", bezprostřední motivací k jeho sepsání byl článek na Stanfordské encyklopedii filosofie [zde], ke kterému jsem se shodou okolností nedávno dostal. Jeho autoři zastávají přesně takový postoj (viz hlavně poslední, šestou sekci). Jsou si vědomi toho, že nelze tisknout nekonečné množství peněz, aniž by peníze ztrácely hodnotu, jsou si vědomi klesajícího mezního užitku, i toho, že užitek může být shora omezen [4], i toho, že náš čas je omezen a nemůžeme donekonečna házet mincí, ale všechny tyto argumenty berou jako odvádění pozornosti od toho, že na pravděpodobnosti založená teorie rozhodování má prostě problém:

"Jakýkoli teoretický model je idealizace ponechávající stranou některé praktické věci. 'Z matematického a logického úhlu pohledu', všímá si Resnik [5], 'je petrohradský paradox bezvadný'. A je to tento úhel pohledu, který musíme užít pro vyhodnocení teorie jako takové (ačkoli to není jediný úhel pohledu, který je třeba mít). V analogii, estetické hodnocení filmu nebere v úvahu skutečnosti, že jeho jediné místní promítání je daleko a najít někoho na hlídání dětí je v tuto pozdní hodinu nemožné. Pokud teorie estetiky tvrdí, že film je úžasný, ale ostatní ohledy vám brání na něj jít, není to defekt teorie estetiky. Podobně, matematická/logická teorie pro vysvětlení běžných her v kasinu není chybná proto, že ignoruje praktické otázky jako jsou omezení množství peněz v kasinu či trpělivosti hráčů."

Co se týká mého pohledu, neexistuje nic, co by bránilo idealizované teorii vytvářet paradoxy, a jestliže tak činí, svědčí to o tom, že vynechání jistých praktických ohledů je v daném kontextu defektem teorie - teorie prostě nepopisuje realitu dostatečně dobře, a těžko chtít po realitě, aby se přizpůsobovala teoriím. Popsat rozhodování lidí pomocí maximalizace očekávaného zisku (ne nutně peněžního) spočteného na základě teorie pravděpodobnosti má v mnohých situacích dobrý smysl; těžko se ale divit, že jsme schopni vymyslet nerealistický scénář, kde teorie selže. "Mnozí filosofové sdílejí nebezpečný instinkt:" - abych pro změnu ukradl citát Yudkowského - "pokud jim dáte otázku, snaží se na ni odpovědět." Na některé otázky ale odpovědět nelze. "Jaká je hodnota sázenky v idealizované petrohradské loterii?" je dle mého soudu jedna z nich.

Tím ale nechci říct, že odkazovaný článek na Stanfordské encyklopedii nestojí za přečtení.

Poznámky:
1. Daniel Bernoulli byl jedním z členů rodiny Bernoulliů, která je snad nejextrémnějším případem dynastického úspěchu ve vědě. Anglická Wikipedie uvádí 9 významných matematiků nesoucích jméno Bernoulli žijících v rozmezí necelých sto padesáti let.

2. Petrohradská akademie věd byla předchůdcem dnešní Ruské akademie věd, přičemž během své historie vystřídala několik názvů; mimo dva zmíněné např. Císařská akademie věd a umění nebo Akademie věd SSSR (viz zde). (Ruské императорская překládám jako císařská, ačkoli slovo císař se běžně pro ruského monarchu neužívá. Oficiální titul ruských panovníků počínaje Petrem I. byl imperator, výraz car ale nadále označoval panovníka v neoficiální řeči.)

3. Podobným způsobem (díky omezenému množství peněz) lze vyvrátit zdánlivou ziskovost populární sázkařské strategie Martingale.

4. Klesající mezní užitek jsem již zmiňoval jako falešné vysvětlení paradoxu dvou obálek, zde se na první pohled jeví relevantnějším. Tisícikoruna má jinou hodnotu pro bezdomovce a jinou pro milionáře, prvnímu může pomoct přežít do dalšího dne, zatímco druhý ji klidně dá číšníkovi jako spropitné. Čím víc máme peněz, tím menší hodnotu pro nás má každá další koruna. V důsledku toho má miliarda méně než tisíckrát větší hodnotu než milion, a vyhrát miliardu zdaleka není tisíckrát lepší, než vyhrát milion. (Představte si, co všechno byste si dopřáli po milionové výhře, a co všechno po miliardové. U většiny lidí se obě představy nebudou příliš lišit. Tento aspekt činí jednání většiny hazardních hráčů ještě iracionálnějším, než by se jevilo z prosté analýzy středního zisku, který je ve všech loteriích pro hráče záporný.)

Proti námitce o klesajícím mezním užitku lze paradox ubránit jeho přeformulováním tak, aby se v každém kole nezdvojnásobovala nominální, ale užitná hodnota částky. Nominálně by tedy výhry rostly ještě rychleji, ale když už jednou člověk připustí úvahy o nekonečném množství peněz, není to takový problém. Pokud ovšem je celkový užitek shora omezen (tedy pokud existuje jen omezené množství věcí, po kterých člověk touží, a které mu může provozovatel loterie nabídnout), pak paradox mizí, protože nekonečné výhry jsou v principu nemožné.

5. Citace pravděpodobně náleží Michaelu Resnikovi. V originálním textu z odkazovaného článku, jehož výňatek jsem přeložil, je jméno psáno jako Resnick, v odkazech pod článkem však již správně.