Odhady a kotvy

V neděli jsem kupoval pračkový ventil. Nepatřím k lidem, co před nákupem obíhají obchody a hledají, kde mají nejlepší ceny. Taková činnost mě nebaví a potenciální nepohodlí mi nestojí za ušetřených pár korun. Kvůli tomu ale mám při nákupu méně obvyklých komodit problém: jak poznat, že mě obchodník nebere na hůl? Samozřejmě můžu cenu nějak odhadnout. Potíž je, že odhad není ničím konkrétním podložený, a příliš v něj nedůvěřuji. Konkrétně u pračkového ventilu by mě nepřekvapilo, kdyby stál 50 Kč, a příliš by mě nepřekvapilo ani to, kdyby stál 1000 Kč. Kdybych ale koupil za tisíc věc, která běžně stojí něco přes stovku, nebylo by to příliš moudré rozhodnutí.

Jde-li člověk kupovat věc, o jejíž ceně má prachbídnou představu, snadno se může stát obětí jednoduchého obchodnického triku: Obchodník umístí onu těžko ocenitelnou věc, třeba pračkový ventil, do blízkosti dražších typů zboží, například koupelnových baterií s cenou v řádu několika tisíců. Trik spočívá v tom, že zákazník vždy posuzuje cenu relativně. Když zná obvyklou cenu pračkových ventilů, porovnává s ní. Když ji ale nezná, stane se objektem porovnání nějaká úplně jiná cena; je přitom dost velká šance, že zákazník bude (podvědomě) porovnávat s cenou drahých baterií, a ventil za 500 se bude v tomto srovnání jevit jako dobrá koupě.

Podobné triky se skutečně používají. Dan Ariely zmiňuje kdysi vydaný inzerát na předplatné časopisu The Economist. Nabízely se v něm tři možnosti:

1. Web, 59 dolarů. Roční předplatné zahrnuje přístup přes internet ke všem článkům od rokeu 1997.
   
2. Tištěná verze za 125 dolarů. Opět roční předplatné.
   
3. Web a tištěná verze za 125 dolarů. Kombinuje předchozí možnosti.
   

Třetí možnost tedy stojí stejně, jako druhá; jinak řečeno, přístup k elektronickému archivu je zadarmo, předplatí-li si člověk tištěnou verzi žurnálu. Mít možnost přístupu k elektronickému archivu má těžko nějaká negativa - nechci-li ji využívat, nic mě k tomu nenutí. Lze tudíž těžko předpokládat, že by někdo zvolil předplatné druhého typu, a stejně těžko předpokládat, že by si toho vydavatelé nebyli vědomi (tím spíš vezmeme-li v úvahu, o jaký časopis se jedná). Proč tedy byla druhá možnost v inzerátu vůbec uvedena?

Ariely provedl pokus: skupině studentů předložil inzerát, s otázkou, jakou variantu předplatného by zvolili, kdyby potřebovali přístup k článkům Economistu. 84% zvolilo dražší třetí možnost a 16% zvolilo levnější, pouze elektronický přístup. Celkem logicky nikdo nepreferoval jasně nevýhodnou možnost číslo 2. Zdá se proto, že nabídka druhé možnosti je skutečně plýtvání tiskařskou černí. Nebo ne?

Kontrolní skupina studentů dostala k posouzení upravený inzerát, nabízející pouze první a třetí možnost (očíslovanou v tomto případě pochopitelně jako druhá). V této skupině ale zvolilo levnější webovou možnost plných 68%. Zahrnutí zdánlivě irelevantní nevýhodné nabídky mělo tedy velký nepřímý vliv na rozhodování mezi dvěma zbývajícími "rozumnými" nabídkami. [zdroj]

Čtenář by předcházející případ měl mít na paměti, až bude hledět na plazmovou televizi za 35 tisíc umístěnou v obchodě hned vedle domácího kina za 150 tisíc.

Poučení nespočívá pouze v tom, že vysoké číslo se jeví ne až tak vysokým, stojí-li vedle srovnatelné ještě vyšší hodnoty, či že cena výrobku se jeví nižší, je-li za stejnou cenu nabízen i další, výrazně horší produkt. Efekt působí i tehdy, máme-li sami odhadnout nějakou hodnotu, a působit mohou i čísla, která s odhadovanou hodnotou nemají zjevně vůbec nic do činění. Tato čísla se nazývají kotvy a jejich působení je někdy vskutku bizarní.

Kahneman a Tversky [1] provedli test, ve kterém nejdřív nechali subjekty točit kolem štěstí [2] a pak je požádali o odhad: kolik procent členských států OSN leží v Africe? Ti, kdo si předtím vylosovali číslo 10, tipovali průměrně 25%. Ti, kdo vylosovali 65, tipovali v průměru 45% [PDF] (správná odpověď je zhruba 27%). O jiných zajímavých ilustracích jevu, kdy naprosto nesouvisející číslo ovlivňuje výši předkládaného odhadu, se lze dočíst zde.

Teorie je ta, že při odhadování neznámé hodnoty je třeba někde začít. Člověk tak automaticky jako startovní bod vezme jakékoli číslo má nejlépe k dipozici, a následně hodnotu upravuje na základě známých informací tak, aby nebyla úplně absurdní. Zpravidla je úprava nedostatečná a získaný odhad je tak od správné hodnoty vychýlen ve směru počáteční kotvy. Počáteční kotvou by mohlo klidně být náhodné číslo, ale lidský mozek neobsahuje generátor náhodných čísel, a tak se kotvou stane první číslo, na které si vzpomeneme - třeba hodnota vylosovaná na kole štěstí. To vše se děje podvědomě, takže nijak nepomůže, že si člověk je vědom toho, že kotva nemá s předmětem odhadu nic společného.

Těžko dát jednoznačné doporučení, jak s tímto jevem bojovat. Snad jen nedůvěřovat expertním odhadům, které nejsou zakotveny v měření či statistice. Mohou totiž velmi snadno být zakotveny třeba v telefonním čísle expertovy manželky.

Poznámky:
1. Titíž, na jejichž článek jsem odkazoval v příspěvku o konjunkčním bludu.
2. Kolo bylo upraveno tak, že se zastavilo vždy buď na čísle 65 nebo 10, z důvodu zmenšení velikosti potřebného statistického vzorku. Účastníci experimentu o tom nevěděli.

Letecké pomníky

V každém aspoň trochu větším ruském městě stojí pomník, připomínající úspěchy sovětského vojenského průmyslu. Na počet asi vedou legendární tanky T-34, nijak vzácné nejsou ale ani letecké pomníky. V Dubně, která má zhruba šedesát tisíc obyvatel, lze vidět dva:

Letoun MiG-25 patří k nejrychlejším sériově produkovaným letounům. Ve výšce je schopen dosahovat rychlosti kolem 3500 km/h, ačkoli při rychlostech nad 3100 km/h dochází k přehřívání motoru a jeho poškození. Dostup je přes 20 000 m, s prázdným letounem se ale podařilo vystoupat do výšky 36 km. MiG-25 byl produkován od začátku sedmdesátých let, jako většina sovětské techniky té doby s důrazem na minimální technologickou náročnost. Důsledkem je mimo jiné vysoká hmotnost, prázdný letoun váží 20 tun. Vyfotografovaný památník stojí poblíž závodu, který se na výrobě těchto MiGů podílel.

Novější památník zobrazuje starší letoun. Jedná se o bombardér Iljušin Il-2, jeden z nejúspěšnějších bombardérů druhé světové války. "Šturmoviků" bylo vyrobeno více než třicet šet tisíc, což z typu dělá jeden z nejmasověji vyráběných letounů v historii.

Dvojici leteckých památníků doplňuje raketa neurčeného typu, stojící před branami závodu na výrobu raket. V sovětských dobách byla tato část města uzavřená a cizincům nepřístupná.

Machův princip a obecná relativita

První dva Newtonovy zákony říkají:

1. Těleso se pohybuje rovnoměrně a přímočaře (tj. s nulovým zrychlením), nepůsobí-li na něj žádná síla.
2. Zrychlení tělesa je rovna síle, která na něj působí, dělené hmotností tělesa.

Toto tradiční [1] podání se snadno může stát terčem námitek. Jedna věc je, že první zákon vypadá jako pouhý speciální případ zákona druhého, a mohl by být proto ze sady zákonů bez újmy vypuštěn. Vážnější je ale otázka, vůči čemu měříme zrychlení, a jak zjistíme, jestli na těleso působí síla.

Zjišťovat přítomnost síly na základě toho, jestli se těleso pohybuje bez zrychlení, přitom nejde: to by se Newtonovy zákony proměnily v tautologii. V Newtonových dobách byly ale všechny známé druhy sil svázány se vzájemným působením těles. Tělesa buď na sebe přímo tlačila či narážela, nebo působila na dálku gravitačně. Později byla objevena elektrostatická síla, která, podobně jako gravitace, se vzdáleností rychle ubývá. Nabízela se proto možnost klauzuli "nepůsobí-li na něj žádná síla" v prvním zákoně nahradit podmínkou "je-li velmi daleko od ostatních těles" [2]. Tato podmínka zajišťuje absenci sil pouze přibližně, zato ale není pochyb o jejím významu.

Pořád ovšem zůstává otázka, vůči čemu měřit zrychlení. Newton sám zřejmě věřil v existenci jakéhosi ideálního prostoru tvořícího pozadí pohybům těles. I když nemůžeme přímo (tj. bez užití druhého Newtonova zákona) měřit zrychlení těles vůči tomuto prostoru, můžeme si pomoct nepřímo: najdeme těleso, o kterém máme dost dobré důvody se domnívat, že na něj nepůsobí žádná síla, a zrychlení měříme vzhledem k tomuto referenčnímu tělesu, které definuje inerciální soustavu. Protože zrychlení vůči jakýmkoli dvěma tělesům vzájemně se pohybujícím stálou rychlostí je stejné (Galileův princip ekvivalence inerciálních soustav), je možno naměřené zrychlení interpretovat jako zrychlení vůči absolutnímu prostoru.

Úvahy o povaze absolutního prostoru vedly k různým myšlenkovým experimentům. Typicky se uvažuje prázdný prostor obsahující jediný objekt, například kouli z pružného materiálu. Je-li objekt v klidu, zůstává jeho tvar kulovým. Platí-li newtonovská představa absolutního prostoru, objekt může taktéž rotovat, a potom se působením odstředivé síly zplošťuje. Na základě zploštění lze tedy určit, zda objekt rotuje či ne, ačkoli v popisovaném myšleném vesmíru není nic, vůči čemuž by objekt rotoval.

Možnost zjistit absolutní rotaci, nejen rotaci relativní k ostatním objektům, definitivně pohřbila geocentrické modely vesmíru. Zdánlivý pohyb těles na obloze lze vysvětlit tak, že tato tělesa se skutečně pohybují; dokonce je to přirozenější vyslětlení pro pozemského pozorovatele. Efekty rotace přímo na Zemi, jako je stáčení roviny kyvu Foucaultova kyvadla, Coriolisovu sílu působící na pohybující se předměty, nebo menší tíhu na rovníku než na pólu ale jednoznačně implikují, že je to Země, co se točí.

Jedním z těch, kdo tento způsob uvažování kritizovali, byl Ernst Mach. Mach správně podotkl, že nemáme k porovnání dva vesmíry s relativním pohybem Země a okolních hvězd, z nichž v jednom je to Země, která se absolutně točí, a v druhém hvězdy. Máme pouze jeden vesmír, kde pozorujeme relativní rotaci, a pojem absolutního prostoru je pouhou interpretací faktů. Coriolisova síla a další efekty jsou samozřejmě reálné, ale mohou být stejně tak důsledkem relativního pohybu Země vůči vzdáleným hvězdám [3].

Je tedy představitelné - nebo aspoň pro fyziku konce 19. století bylo představitelné - že setrvačné efekty jsou důsledkem relativního pohybu vzhledem k těžkým předmětům. Můžeme si to představit tak, že kromě nám známých, se vzdáleností ubývajících, sil existuje ještě další působení mezi tělesy. Příslušná síla je úměrná hmotnosti těles podobně jako gravitace, ale navíc je ještě úměrná jejich relativnímu zrychlení a působí opačným směrem. Aby nedošlo ke konfliktu s experimentálními daty, musí tato "setrvačná" síla být mezi blízkými tělesy mnohem slabší než gravitace, ale na rozdíl od ní klesat pomaleji se vzdáleností (nebo neklesat vůbec). Setrvačné působení například mezi planetami Sluneční soustavy by tak bylo natolik slabé, že je prakticky nepozorovatelné. Na druhou stranu celková hmotnost všech hvězd ve vesmíru je dostatečně velká na to, aby vykompenzovala slabost setrvačných sil, a celkové působení od nich je tím, co zodpovídá za setrvačnost.

Machova setrvačnost vůči ostatním (vzdáleným) objektům je v rámci našeho světa neodlišitelná od Newtonovy setrvačnosti vůči absolutnímu prostoru. V rámci myšlených experimentů se ale liší. V machovském světě se gumová koule nezploští, ať již rotuje nebo ne, protože zploštění rotujících koulí, které pozorujeme v našem světě, je výsledek působení obrovské hmoty tvořící zbytek vesmíru, která v popsaném myšleném experimentu chybí. Jestliže se koule nezplošťuje, není v principu možno rozlišit, zda rotuje nebo ne; samotný pojem rotace má význam jenom relativní, vůči jiným objektům. Newton ilustroval představu o rotaci vůči absolutnímu prostoru na příkladu kbelíku s vodou. Rotuje-li voda v kbelíku, je její hladina parabolická. V newtonovském světě nezávisí tvar hladiny na vzájemné rychlosti kbelíku a vody v něm; pohyb kbelíku samotného je irelevantní (neuvažujeme-li tření vody o stěny kbelíku). V machovském světě kbelík na vodu působí, a pokud by ve vesmíru nebylo nic kromě kbelíku s vodou (a zdroje gravitace, která drží vodu uvnitř), pak tvar hladiny může záviset pouze na rychlosti rotace vody vůči kbelíku.

Mach nenavrhl konkrétní podobu alternativních fyzikálních zákonů. Samotný název "Machův princip" použil poprvé Albert Einstein až po Machově smrti. Einsteina údajně Machovy myšlenky o relativitě pohybu inspirovaly při formulování obecné teorie relativity. Tato skutečnost vede k debatám o tom, nakolik odpovídá obecná teorie relativity Machovu principu. Jelikož Mach sám nikdy žádný jednoznačný princip nezformuloval, mívají diskutující problém vůbec se shodnout na tom, co onen princip říká. Carlo Rovelli uvádí osm verzí Machova principu (s odkazy na Newtonův kbelík, volně přeloženo [4]):

1. Vzdálené hvězdy ovlivňují to, jaké souřadné soustavy jsou inerciální.
   
2. Zda je vybraná soustava inerciální je plně určeno rozložením hmoty ve vesmíru.
   
3. Rotace kbelíku způsobuje, že inerciální soustava uvnitř kbelíku také rotuje, a síla tohoto efektu roste s rostoucí hmotností kbelíku.
   
4. V limitě (nekonečně) těžkého kbelíku inerciální soustava rotuje spolu s kbelíkem.
   
5. Nemá smysl mluvit o rotaci vesmíru jako celku.
   
6. Bez přítomnosti hmoty by neexistovala setrvačnost.
   
7. Neexistuje absolutní pohyb, pouze relativní pohyb vůči něčemu jinému, a proto voda (s parabolickou hladinou) v kbelíku nerotuje absolutně, ale relativně vůči nějakému fyzikálnímu objektu.
   
8. Zda je vybraná soustava inerciální je plně určeno dynamickými poli ve vesmíru.
   

Rovelli označuje za pravdivé (tj. v souladu s obecnou teorií relativity) principy 1, 3, 7 a 8, za nepravdivé pak verze 2, 5 a 6. Status čtvrtého principu záleží na tom, jak přesně limitu realizujeme.

K tomu je třeba dodat několik poznámek. Zaprvé, pravdivost prvního, třetího a případně čtvrtého principu je do jisté míry důsledkem právnického chápání jejich významu. Obecná relativita vedla k předefinování obsahu pojmu inerciální soustavy. Pro Newtona byla soustava svázaná s volně padajícím objektem neinerciální, protože na objekt působí gravitační síla. V obecné relativitě jsou naopak inerciální soustavy ty, které padají volným pádem, a gravitační síla má podobný status, jako odstředivá či Coriolisova síla v klasické fyzice. To je ale do značné míry otázka formulační: volně padající soustavu od inerciální soustavy bez přítomnosti gravitace zevnitř neodlišíme ani v rámci newtonovské fyziky.

Díky zmíněné redefinici inerciálnosti samozřejmě vzdálené objekty ovlivňují inerciálnost soustav. Děje se to ovšem prostřednictvím dobře známé gravitace, a k témuž dochází i v rámci Newtonovy teorie. Jistý rozdíl je ten, že obecná relativita připouští jisté efekty, které jsou v newtonovské fyzice nemožné, například gravitační vlny, nebo Lense-Thirringův efekt, jenž je zodpovědný za platnost "Machových principů" ve verzích 3 a 4. Lense-Thirringův efekt ale způsobuje jen to, že rotující objekty budí ve svém okolí jiné gravitační pole, než objekty statické. Ačkoliv Newtonova teorie nic podobného nepřipouští, rozdíl je detekovatelný pouze u velmi těžkých objektů typu černých děr. Dá se tedy oprávněně pochybovat o tom, že tvrzení 1 a 3 jsou pravdivá díky přítomnosti Machova principu v obecné relativitě. Spíše se jedná o důsledky toho, že gravitační pole má, podobně jako pole elektromagnetické, vlastní dynamiku, a není pevně vázáno na hmotná tělesa - na rozdíl od newtonovské fyziky (a proto neplatí tvrzení číslo 2 v seznamu výše). S duchem původních Machových myšlenek to ale má pramálo společného.

Samostatná povaha gravitačního pole v obecné relativitě má důsledky, které lze z hlediska Machova principu interpretovat jak jako jeho potvrzení, tak i jako jeho vyvrácení. Zda je lokální souřadná soustava inerciální je určeno hodnotami gravitačního pole v daném místě (a proto je pravdivá osmá verze Machova principu). Zrychlení se tak de facto měří vůči gravitačnímu poli, které lze vnímat jako fyzikální objekt; to by bylo možno považovat za potvrzení Machovy myšlenky, že pohyb musí být vždy definován vůči nějaké fyzikální entitě (viz sedmá verze principu). Na druhou stranu ale je zvykem místo o gravitačním poli mluvit o geometrii časoprostoru [5]. Relativistický časoprostor sice zdaleka nemá tak rigidní strukturu jako Newtonův absolutní prostor (geometrie časoprostoru je ovlivněna hmotu v něm se nacházející), přesto se ale nabízí závěr, že má smysl mluvit o zrychlení vůči časoprostoru samému, zcela v duchu Newtonových představ. Protimachovskou interpretaci posiluje i výsledek relativistické verze myšlenkového experimentu popsaného na začátku tohoto článku: obecná teorie relativity připouští existenci pustého prostoru obsahujícího gumovou kouli zploštělou následkem rotace. Prostor ale samozřejmě není úplně pustý, nutně obsahuje gravitační pole [6], které určuje, jaké soustavy jsou v daném případě inerciální.

Do značné míry se dá říct, že obecná teorie relativity redukovala spor o Machův princip do sémantické roviny. Záleží na tom, jestli raději mluvíme o časoprostoru nebo o gravitačním poli. Časoprostor v teorii relativity ale není Newtonovým jevištěm, na kterém se pohybují hmotné objekty a které exituje nezávisle na nich. Mach tedy měl pravdu, když kritizoval ideu absolutního prostoru. Mýlil se ale, pokud si myslel, že zrychlení nebo rotaci tělesa je možné definovat pouze relativně k ostatním hmotným tělesům [7].

Poznámky:
1. V originálním latinském znění: I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
2. Věc se začne komplikovat, přibereme-li do úvahy elektromagnetické vlnění, a obecněji všechny efekty vzájemného působení těles a fyzikálních polí. Elektromagnetické a gravitační pole mohou existovat samostatně a působit silou, aniž by bylo na blízku další těleso jsoucí zdrojem této síly. Existence polí dělá také paseku v zákonu akce a reakce.
3. Mach píše:

Svět nám není dán dvakrát s klidnou a rotující Zemí, ale pouze jednou s jeho stanovitelnými relativními pohyby. Nemůžeme proto říct, jaké by to bylo, kdyby Země nerotovala. Nám daný jediný případ můžeme interpretovat různými způsoby. (Die Mechanik in ihrer Entwickelung: historisch-kritisch dargestellt, 1883, str. 216 [zde])

4. C.Rovelli, Quantum Gravity, str. 54. (Elektronická verze, číslo strany se může v tištěných vydáních lišit.)
5. "Gravitační pole" a "geometrie časoprostoru" jsou samozřejmě různá slova označující tutéž věc. Existují různé ekvivalentní matematické popisy časoprostorové geometrie. Užívajíce metriku nebo konexi je přirozenější mluvit o geometrii, tetrádový formalismus více navozuje jazyk polních teorií.
6. Gravitační pole můžeme identifikovat třeba s metrickým tensorem. Je dobré si uvědomit, že tento tensor (a tudíž i gravitační pole) je nenulový i v situaci, kdy nepozorujeme žádné gravitační působení, například v (téměř) prázdném prostoru. I v takových situacích tedy má smysl mluvit o zrychlení vůči gravitačnímu poli, samozřejmě poté, co je řečeno, co se tím přesně myslí.
7. Nechal jsem bez komentáře pátou verzi Machova principu. Argument pro její neplatnost se opírá o existenci Gödelova řešení Einsteinových rovnic, které bývá interpretováno jako model vesmíru vykazujícího globální rotaci. S Gödelovým řešením nejsem blíže obeznámen a přesná interpretace významu "globální rotace" v tomto případě je mi nejasná.

Pondělní šifra XXIV.

Následující obrázek v sobě skrývá zašifrovanou tajenku, kterou může být slovo, výraz nebo věta dávající v češtině dobrý význam (může to být i vlastní jméno nebo cizí slovo, pokud je v češtině dostatečně často používáno). Způsob šifrování není předem specifikován, ale měl by být odhalitelný na základě relativně jednoduchých pozorování. V některých případech může být k rozluštění potřeba znalost Morseovy abecedy nebo Braillova písma.

Je možné poznat šarlatána?

Samozřejmě že je. Není to ovšem vždy snadné. Rozumí-li člověk tématu, o němž šarlatán [1] mluví, šarlatánství rozezná, jenže téma si vybírá šarlatán sám a ne vždy se poštěstí, že se trefí do něčeho, o čem jeho posluchač něco ví. A zpravidla se najdou posluchači, kteří o věci nic moc nevědí.

Kdysi jsem napsal, že existuje pár poměrně spolehlivých indikátorů, jak rychle identifikovat blázna nebo podvodníka hlásajícího nekonvenční teorie. Nuže, zde jsou některé z nich.

Široký záběr.

Doba, kdy jeden člověk mohl obsáhnout všechno vědění je nenávratně pryč. Pryč je pravděpodobně i doba, kdy člověk mohl být prostě lékařem, matematikem, biologem či historikem, objem nashromážděných poznatků je tak vysoký, že bližší specializace je nevyhnutelná, chce-li se člověk stát odborníkem na soudobé úrovni.

Ačkoli nepravděpodobné, je možné, že člověk objeví díru v nějaké konvenční teorii. Je ale to ale podmíněno tím, že je skutečně odborníkem v dané věci [2,3]. Věří-li člověk idei odporující názoru odborníků, aniž by sám měl srovnatelné znalosti, chová se iracionálně. Nelze být odborníkem v mnoha oborech, ergo, člověk hlásající revoluční myšlenky spadající do mnoha oborů se chová iracionálně přinejmenším ve většině z nich.

Popsaná heuristika většinou ukáže na případy, které jsou většinou tak jako tak jasné: než o šarlatány v obvyklém smyslu se spíše jedná o blázny či mašíbly, jejichž vyšinutost je patrná na první pohled. I kdyby posluchač neviděl chybu v, například, teorii o židovském spiknutí, bude se na to dívat mnohem obezřetněji, dozví-li se, že propagátor oné myšlenky taktéž věří, mimo jiné, že Měsíc je umělý objekt. Mezi "renesančními" šarlatány jsou ale i lidé s ne úplně špatným společenským postavením a kreditem. Jestliže jistý poradce trvá na tom, že se nevyvinul z opice, vrhá to jisté světlo i na důvěryhodnost jeho tvrzení o globálním oteplování [4].

Příliš obecné teorie

Učinit objev, který řeší všechny problémy naráz, je lákavá vize. Má moc přimět lidi zapomenout na nepříjemnou zkušenost, že cesta k pokroku je obtížná, pomalá a postupující malými kroky. Říká-li někdo, že zabil mnoho much jednou ranou, je pravděpodobně šarlatán. Čím víc much, tím spíše.

Jako jeden příklad za všechny může sloužit jeden z klenotů světového šarlatánství: Miracle Mineral Supplement (MMS). Ptáte se, co je MMS? Údajně to je všelék, který léčí rakovinu, AIDS, malárii, žloutenku, pásový opar, cokoli si vzpomenete. Zabíjí všechny patogeny, zatímco lidskému tělu neškodí.

Ve skutečnosti je MMS roztok chloritanu sodného, toxického oxidačního činidla, které se průmyslově užívá k bělení papíru či desinfekci vody. Jeho propagátor, jistý Jim Humble [5], se tím překvapivě nijak netají, a z prodeje této chemikálie si udělal výnosnou živnost. Úspěch MMS je tak velký, že proti němu byla vydána varování v mnoha státech, včetně našeho (diskuse pod odkazovaným článkem dává vzniknout silným pochybnostem o účinnosti podobných varování, a vůbec nedobře vypovídá o soudnosti české veřejnosti).

Představa snadno dostupného všeléku patří bezpochyby k nejatraktivnějším nesmyslům, ale fenomén univerzálních řešení zasahuje i nemedicínské obory [6]. Nelze nezmínit politické vizionářství. Názor, že nějakou rámcově jednoduchou změnou společenského řádu lze snadno vymítit všechny nešvary, patřil v první polovině dvacátého století k téměř povinné výbavě intelektuálů, a i dnes je rozšířen mnohem více, než je zdrávo. Každopádně takové názory spadají do stejné kategorie se zázračnými všeléky: do myšlenkové výbavy šarlatánů.

Interdisciplinární kecy

Do stejného soudku jako dva předchozí symptomy patří i třetí: užívání faktů náležejících do jednoho oboru v oboru jiném. Mluví-li někdo o kvantové homeopatii [7], je šarlatán. K takovému závěru nemusím rozumět ani kvantové fyzice, ani homeopatii (dá-li se vůbec smysluplně mluvit o porozumění homeopatii). V kruzích postmoderních filosofů bývalo zvykem hledat hluboké souvislosti mezi relacemi neurčitosti a sociální podmíněností pravdy, či mezi teorií relativity a kulturním relativismem [8]. Může se o tom hezky psát, ale zdravý rozum velí dívat se na podobné úvahy s krajním podezřením. Vytahovat teorii relativity v debatě, která není o fyzice, nebo Darwina v debatě, která není o biologii svědčí o tom, že argument není tak úplně zakotven v realitě.

Náboženství a tradice

Je-li jakékoli faktické tvrzení (například o věku Země nebo o příčinách AIDS) dokládáno citáty z Bible (nebo jiného svatého textu), znamená to, že jsme opustili sféru zdravého rozumu. Ať už se díváme na společenskou roli náboženství jakkoli, z obsahu svatých písem a zjevení proroků nelze vydolovat o nic víc věcných informací, než z jakékoli staré literatury. To znamená: prakticky nic. Totéž platí i pro různé pravdy skryté v moudrostech a bájích starých a přírodních národů. Jejich kulturní hodnota může být vysoká, ale informace, snad s výjimkou údajů o některých historických skutečnostech, v nich nejsou.

Moralizující jazyk

Moralizace často zapleveluje zejména politické diskuse, kde bývá obvykle mnohem lehčí poznat, kdo je proti komu, než o čem je vlastně spor. Fakta ale nezávisí na morálce. Jsou situace, kdy se morálka musí přizpůsobit faktům, ale nikdy naopak. Nelze vyvrátit evoluční teorii poukazem na sociální darwinismus, ani nelze smysluplně argumentovat, že AIDS není pohlavně přenosná choroba, poukazujíce na nemravnost užívání kondomů. Pokud není sporná otázka skutečně etického či morálního charakteru, je vnášení morálky do debaty pouze příznakem iraconality. 

Velikášství
K úspěšnému šarlatánovi patří sebevědomí. Sebevědomí samo o sobě nemusí signalizovat nic negativního, avšak když zbytní příliš, začne fungovat jako spolehlivé znamení nesoudnosti. Mnozí šarlatáni trpí velikášstvím: představují si sebe jako jednoho z největších lidí v historii, spasitele, velikého objevitele, nepochopeného génia. O Arthuru Bolsteinovi jsem nakonec už jednou psal.

Konspirační teorie

Konspirační teorie, toť nejklasičtejší znak vyšinutého uvažování. Jsou logickým doplňkem iracionálního přesvědčení, protože pomáhají vysvětlit většinu rozporů mezi představou a skutečností. Nesou také morální podtext: nositelé neortodoxních pravd se mohou pasovat do role osamělých hrdinných bojovníků za pravdu, nebo naopak nevinných obětí konspirační hydry. Ať už je ale motivace jakákoli, přesvědčení, že široká skupina zahrnující miliony lidí (židé, zednáři, bolševici, neoliberálové, křesťané, muslimové, státní správa...) vedena nekalými úmysly drží v tajnosti důležité informace a plánuje nebo vykonává promyšlené koordinované akce s cílem škodit zbytku světa, o střízlivosti uvažování nesvědčí.

Poznámky:
1. Kdysi jsem si myslel, že slovo šarlatán nějak souvisí se slovem šarlat, třeba proto, že kdysi šarlatáni chodili oblečeni v šarlatových šatech, aby je bylo lze snadno poznat i bez přečtení tohoto příspěvku. Není tomu tak. Šarlatán je (přes francouzské charlatan) z italského slova ciarlatano, které je zkomolením původního cerretano, kontaminované slovesem ciarlare = tlachat. Slovo cerretano údajně původně označovalo obyvatele města Ceretto, jehož šarlatáni si dobyli ve své době proslulost. Slovo šarlat přišlo z francouzského escarlate, kam se dostalo z perského saqirlát, které je z arabského siqillát, což je přejaté z latinského sigillatum, od sigillum = pečeť. Vývoj významu byl látka s potiskem → zdobená drahá látka → červená látka → druh červené barvy.
2. Slovem odborník neimplikuji nutně formální vzdělání v oboru.
3. Jsou oblasti vědění, kde lze racionálně být ve sporu s odborníky i bez dlouhodobého důkladného studia. Stejně jako bylo v 18. století možné relativně snadno poukázat na problematičnost flogistonové teorie hoření, i dnes existují obory, kde samotné základy nejsou příliš pevně ustaveny. V souladu s Kuhnovou terminologií jsou to obory, které jsou stále v předparadigmatickém stadiu, tj. ve stadiu, kdy ještě nevznikl široký konsensus o základních faktech metodách ani mezi znalci. V takových oborech je rozeznat šarlatána výrazně obtížnější, nabízí se však otázka, zda je to vůbec potřebné.
4. Zde je vhodné upozornit na to, že provedená úvaha slouží pouze ke stanovení spolehlivost mluvčího jako zdroje informací, a o samotné otázce globálního oteplování nevypovídá v zásadě nic. Použili-li bychom Hájkovy názory na evoluci v rámci debaty o klimatu (či jeho názory na klima v debatě o evoluci), dopustili bychom se chybného argumentu ad hominem. Na druhou stranu, člověk nemůže vážně posuzovat vše, co slyší, a je posouzení důvěryhodnosti zdroje je proto důležité. Šarlatán sice může mít občas pravdu, ale i tak je lepší ho ignorovat.
5. Jako typický šarlatán Mr. Humble skromností zrovna neoplývá, nevzdory svému jménu.
6. Medicína přitahuje šarlatány určitě proto, že na rozdíl od filologie či botaniky občas musí zajímat každého. Možná ale i z toho důvodu, že ještě v nedávné historii zažila medicína objevy, které jako by vypadly z oka jednoduchým a přitom univerzálním šarlatánským řešením: sterilizace, vakcinace, penicilin. Ignorovat všeléky ale i tak zůstává nejrozumějším rozhodnutím, nechceme-li věnovat čas detailnímu zkoumání předkládaných hypotéz.
7. Kvantovou homeopatii propaguje jistý MUDr. Hrušovský, nositel to zlatého Bludného balvanu za rok 2002.
8. Pěkný rozbor podobných lapsů lze najít na stránkách A.Sokala, např. zde.

Historie železnic: Habsburská monarchie

České země patřily k místům, kde začínala historie železniční dopravy. Pomineme-li Anglii, která byla čtvrt století napřed, patřilo tehdejší Rakousko k předním průkopníkům železnic, nezaostávaje v ničem za ostatními evropskými zeměmi.

O titul nejstarší evropské železnice soutěží dnešní trať 196 spojující České Budějovice s hraničním přechodem Horní Dvořiště/Summerau. Její stavba začala již v roce 1825 pod vedením F.A.Gerstnera. Cílem koněspřežné železnice bylo spojit Dunaj a Vltavu pro převoz zboží. Úsek mezi Budějovicemi a Kerschbaumem (poblíž dnešních hranic) byl uveden do provozu v roce 1827. Pod Gerstnerovým vedením náklady na výstavbu překračovaly původní očekávání, a protože Gerstner nechtěl ustoupit od finančně náročného způsobu stavby, zbývající úsek do Lince byl dostavěn pod vedením Matthiase Schönerera, a uveden do provozu v roce 1832. Ke 129 km trati (z čehož je téměř přesná polovina na českém území) přibyl v roce 1836 úsek z Lince do Gmundenu. Trať byla převážně provozována jako nákladní, osobní doprava byla pouze doplňková a v zimě chyběla vůbec. Na obrázku je přesto osobní vůz první třídy Hannibal.

Na přelomu šedesátých a sedmdesátých let 19. století byla trať přestavěna pro parní provoz. Znamenalo to kompletní výměnu traťového svršku, protože původní dráha využívala dřevěných, železnými pásy pobitých kolejnic o neobvyklém rozchodu 1106 mm. Během přestavby se ukázalo, že ne vždy je šetrnost přínosem: malé poloměry oblouků a strmá stoupání jižní poloviny trasy koněspřežky byly pro parní provoz nevhodné a trať byla postavena prakticky znovu, zatímco dráže postavený severní úsek vede, až na malé změny, ve stopě koněspřežky dodnes.

V druhé polovině třicátých let padlo rozhodnutí o stavbě první parostrojní železnice. Byla jí Severní dráha císaře Ferdinanda (Kaiser Ferdinands-Nordbahn), jež měla spojit Vídeň s Haličí. Stavba začala v roce 1836 a první vlaky se po ní rozjely již v roce následujícím. V roce 1839 přijely vlaky do Břeclavi a posléze i Brna. Na obrázku je lokomotiva Moravia, jedna z prvních lokomotiv provozovaných na českých tratích. Moravia byla postavena v roce 1837 ve Stephensonových dílnách a převezena v rozebraném stavu do Rakouska. Byla to na svou dobu standardní lokomotiva typu Planet s uspořádáním dvojkolí 1A.

Stavba severní dráhy císaře Ferdinanda pokračovala, a po odbočkách do Brna a Olomouce (1841) dosáhla na Ostravsko (v Bohumíně 1847) a později až do Krakova. Dnes v trase "Ferdinandky" vede druhý tranzitní koridor.

Na Ferdinandovu dráhu navazovala Severní státní dráha (k.k. Nördliche Staatsbahn), která k železniční síti připojila Prahu. První trasa vedla z Olomouce přes Českou Třebovou, Pardubice a Kolín, později byl doplněn úsek mezi Třebovou a Brnem. První vlaky přijely do Prahy v srpnu 1845 a vedly je lokomotivy Böhmen, Prag a Olmütz (národní obrození bylo v plném proudu, a tak první jmenovaná lokomotiva měla na jedné straně tabulku se jménem Böhmen, a z druhé strany tabulku se jménem Čechy; není mi známo, zda dvojjazyčné byly i ostatní lokomotivy). Stroje byly tentokráte vyrobeny lokomotivkou ve Vídeňském Novém Městě, a měly "americké" uspořádání pojezdu 2'A, s otočným předním podvozkem, což mělo více vyhovovat profilu trati.

Koněspřežka z Budějovic do Lince nebyla jedinou v Čechách. Jen o rok později zahájila provoz koněspřežná železnice mezi Prahou (dnešní nádraží Dejvice) a Kladnem, prodloužená ještě téhož roku do Lán. Lánská koněspřežka měla, stejně jako linecká, rozchod 1106 mm (též se uvádí 1120 mm). Původní plán počítal s tratí vedoucí až do Plzně, koněspřežka ale byla nerentabilní, v roce 1833 se zastavila výstavba a o rok později i provoz. Ten byl sice obnoven, trať ovšem sloužila pouze k přepravě dřeva z lánských lesů. Větší část trati byla přestavěna na parní provoz v roce 1863, kdy koněspřežku koupila Buštěhradská železniční společnost. Úsek mezi Stochovem a Lány byl ještě krátkou dobu provozován v koňské trakci, poté byla dráha rozebrána.

Samotná Buštěhradská dráha vznikla v roce 1855, kdy železnice spojila Kladno s Kralupy nad Vltavou. V prvních letech provozu využívala lokomotiv Engerthovy konstrukce. Lokomotiva měla tři spřežené hnané nápravy s malým rozvorem, a část její hmotnosti spočívala na tendru. Toto uspořádání mělo umožnit průjezd ostrými oblouky a zároveň dodávat dostatečnou tažnou sílu a adhezi pro kopcovité trati (Engerthovy lokomotivy byly původně určeny pro Semmeringbahn). Lokomotiva Kladno na obrázku pochází z roku 1855 a je nejstarší dochovanou lokomotivou v Čechách. Současně je ve sbírkách národního technického muzea.

<< První lokomotivy ve Francii a Německu | Boj o rozchod >>

Petrohradská loterie

V rámci série článků o Petrohradě se nabízí i jedno téma do rubriky paradoxy. Je jím petrohradská loterie.

Petrohradskou loterii vymyslel Nicolas Bernoulli a jeho bratranec Daniel nápad přednesl před Petrohradskou akademií věd někdy na počátku 18. století [1,2]. Loterie je formulována následovně: Poté, co hráč zakoupí sázenku, přichází krupiér, který hodí mincí. Padne-li líc, hráč získá jeden rubl a hra končí. Padne-li rub, hra pokračuje druhým kolem, kde znovu krupiér hází mincí. Pokud nyní padne líc, hráč získá dva rubly, padne-li však rub, hra pokročí do třetího kola, kde se ovšem hraje již o čtyři rubly. Hraje se tak dlouho, dokud nepadne líc a je vyplacena výhra, a s každým dalším kolem se potenciální výhra zdvojnásobuje.

A teď si můžeme položit klíčovou otázku: kolik by měl rozumný hráč být ochoten zaplatit za sázenku petrohradské loterie?

U hazardních her se považuje za férové, když je očekávaná výhra stejně vysoká jako cena počátečního vkladu. Je-li vyplacení výhry podmíněno podmínkou, že na kostce v jednom hodu padne trojka, pak férový vstupní vklad má být šestinou výhry, jelikož pravděpodobnost, že padne trojka, je jedna šestina. Je-li možno vyhrát více výher, pak je nutné spočítat jejich průměr vážený pravděpodobností, abychom získali férovou cenu.

Spočítejme tedy očekávanou (tj. střední) výhru v petrohradské loterii. S pravděpodobností 1/2 je výhra 1 rubl, s pravděpodobností 1/4 je výhra 2 rubly, s osminovou pravděpodobností 4 rubly, a tak dále, tudíž očekávaná výhra je

1/2 .1 + 1/4 . 2 + 1/8 . 4 + 1/16 . 8 + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = ∞.

Nekonečno. Co to znamená? Představa nekonečného množství peněz je jistě bizarní z různých důvodů, ale spočtené číslo můžeme interpretovat: investovat libovolně vysokou částku do koupě sázenky se vyplatí, protože očekávaná výhra je vždy vyšší. Není-li to paradox, aspoň to tak vypadá. Těžko totiž očekávat, že by kdokoli rozumný za takovou sázenku dal více, než několik set rublů; člověka zaplativšího milion bych aspoň já odkázal k návštěvě psychiatrické léčebny. Přesto, matematika mluví jednoznačně: jakákoli částka se vyplatí.

Abychom se ale vrátili do reality. Vcelku snadno viditelný zádrhel s celou úvahou spočívá v oné nekonečnosti. Nikdo prostě nemůže vyplatit větší výhru, než činí jeho aktiva v bance. Předpokládejme, že hrajeme v celkem bohatém kasinu, které má v bance k dispozici sto milionů rublů. Ať se tedy hra vyvíjí jak chce, nikdy nezískáme vyšší výhru, než sto milionů rublů. Taková výhra by sice nebyla k zahození, ale jak to ovlivní výši očekávané výhry? Sto milionů překročí výhra tehdy, padne-li mince rubem navrch aspoň dvacet sedmkrát po sobě. Naše nekonečná řada 1/2 + 1/2 + ... je tedy utnuta po dvaceti sedmi členech; součet zbylých ∞ - 27 členů je nahrazen číslem 100 000 000 . 2^-27, což je asi 0,74. Což je částka v relativně velkém kontrastu oproti původnímu nekonečnu. Dohromady vyjde férová cena sázenky zhruba na 14 rublů. [3]

Můžeme se samozřejmě ptát na to, co se stane, bude-li kasino bohatší. Střední výhra bude přibližně rovna polovině dvojkového logaritmu maximální výhry. Logaritmus je pomalu rostoucí funkce: když kasino bude mít k dispozici sto miliard rublů, očekávaná výhra se zvýší někam k devatenácti rublům. Odhadem jsou v Rusku v oběhu nějaké tři biliony rublů (pokud interpretuji dobře informace zde), a kdyby byly v sázce všechny, pořád by sázenka nestála za víc, než nějakých dvaadvacet rublů.

V praxi nás tedy paradox trápit nemusí, protože peněz je na světě omezeně. Pořád ale existují takoví, jimž vrtá v hlavě otázka: a co kdybychom nechali praktické námitky stranou? I když jsem se v úvodu snažil vzbudit dojem, že jsem si na paradox vzpomněl kvůli svým ostatním příspěvkům s adjektivem "petrohradský", bezprostřední motivací k jeho sepsání byl článek na Stanfordské encyklopedii filosofie [zde], ke kterému jsem se shodou okolností nedávno dostal. Jeho autoři zastávají přesně takový postoj (viz hlavně poslední, šestou sekci). Jsou si vědomi toho, že nelze tisknout nekonečné množství peněz, aniž by peníze ztrácely hodnotu, jsou si vědomi klesajícího mezního užitku, i toho, že užitek může být shora omezen [4], i toho, že náš čas je omezen a nemůžeme donekonečna házet mincí, ale všechny tyto argumenty berou jako odvádění pozornosti od toho, že na pravděpodobnosti založená teorie rozhodování má prostě problém:

"Jakýkoli teoretický model je idealizace ponechávající stranou některé praktické věci. 'Z matematického a logického úhlu pohledu', všímá si Resnik [5], 'je petrohradský paradox bezvadný'. A je to tento úhel pohledu, který musíme užít pro vyhodnocení teorie jako takové (ačkoli to není jediný úhel pohledu, který je třeba mít). V analogii, estetické hodnocení filmu nebere v úvahu skutečnosti, že jeho jediné místní promítání je daleko a najít někoho na hlídání dětí je v tuto pozdní hodinu nemožné. Pokud teorie estetiky tvrdí, že film je úžasný, ale ostatní ohledy vám brání na něj jít, není to defekt teorie estetiky. Podobně, matematická/logická teorie pro vysvětlení běžných her v kasinu není chybná proto, že ignoruje praktické otázky jako jsou omezení množství peněz v kasinu či trpělivosti hráčů."

Co se týká mého pohledu, neexistuje nic, co by bránilo idealizované teorii vytvářet paradoxy, a jestliže tak činí, svědčí to o tom, že vynechání jistých praktických ohledů je v daném kontextu defektem teorie - teorie prostě nepopisuje realitu dostatečně dobře, a těžko chtít po realitě, aby se přizpůsobovala teoriím. Popsat rozhodování lidí pomocí maximalizace očekávaného zisku (ne nutně peněžního) spočteného na základě teorie pravděpodobnosti má v mnohých situacích dobrý smysl; těžko se ale divit, že jsme schopni vymyslet nerealistický scénář, kde teorie selže. "Mnozí filosofové sdílejí nebezpečný instinkt:" - abych pro změnu ukradl citát Yudkowského - "pokud jim dáte otázku, snaží se na ni odpovědět." Na některé otázky ale odpovědět nelze. "Jaká je hodnota sázenky v idealizované petrohradské loterii?" je dle mého soudu jedna z nich.

Tím ale nechci říct, že odkazovaný článek na Stanfordské encyklopedii nestojí za přečtení.

Poznámky:
1. Daniel Bernoulli byl jedním z členů rodiny Bernoulliů, která je snad nejextrémnějším případem dynastického úspěchu ve vědě. Anglická Wikipedie uvádí 9 významných matematiků nesoucích jméno Bernoulli žijících v rozmezí necelých sto padesáti let.

2. Petrohradská akademie věd byla předchůdcem dnešní Ruské akademie věd, přičemž během své historie vystřídala několik názvů; mimo dva zmíněné např. Císařská akademie věd a umění nebo Akademie věd SSSR (viz zde). (Ruské императорская překládám jako císařská, ačkoli slovo císař se běžně pro ruského monarchu neužívá. Oficiální titul ruských panovníků počínaje Petrem I. byl imperator, výraz car ale nadále označoval panovníka v neoficiální řeči.)

3. Podobným způsobem (díky omezenému množství peněz) lze vyvrátit zdánlivou ziskovost populární sázkařské strategie Martingale.

4. Klesající mezní užitek jsem již zmiňoval jako falešné vysvětlení paradoxu dvou obálek, zde se na první pohled jeví relevantnějším. Tisícikoruna má jinou hodnotu pro bezdomovce a jinou pro milionáře, prvnímu může pomoct přežít do dalšího dne, zatímco druhý ji klidně dá číšníkovi jako spropitné. Čím víc máme peněz, tím menší hodnotu pro nás má každá další koruna. V důsledku toho má miliarda méně než tisíckrát větší hodnotu než milion, a vyhrát miliardu zdaleka není tisíckrát lepší, než vyhrát milion. (Představte si, co všechno byste si dopřáli po milionové výhře, a co všechno po miliardové. U většiny lidí se obě představy nebudou příliš lišit. Tento aspekt činí jednání většiny hazardních hráčů ještě iracionálnějším, než by se jevilo z prosté analýzy středního zisku, který je ve všech loteriích pro hráče záporný.)

Proti námitce o klesajícím mezním užitku lze paradox ubránit jeho přeformulováním tak, aby se v každém kole nezdvojnásobovala nominální, ale užitná hodnota částky. Nominálně by tedy výhry rostly ještě rychleji, ale když už jednou člověk připustí úvahy o nekonečném množství peněz, není to takový problém. Pokud ovšem je celkový užitek shora omezen (tedy pokud existuje jen omezené množství věcí, po kterých člověk touží, a které mu může provozovatel loterie nabídnout), pak paradox mizí, protože nekonečné výhry jsou v principu nemožné.

5. Citace pravděpodobně náleží Michaelu Resnikovi. V originálním textu z odkazovaného článku, jehož výňatek jsem přeložil, je jméno psáno jako Resnick, v odkazech pod článkem však již správně.