úterý 14. prosince 2010

Jazyk a číselná soustava


Desítková soustava je natolik zakořeněná v naší kultuře, že ji považujeme za naprosto přirozenou. Její užití je navíc rozšířené po celém světě, a počítání v jiné soustavě je pro nás velmi těžko představitelné. Občas se sice setkáme s přežitky jiných číselných soustav, třeba při návštěvě anglosaských zemí, kde je stále dvanáct palců do stopy a osm pint do galonu, nebo obyčejněji při pohledu na hodinky nebo úhloměr; ve všech těchto případech se ale desítková soustava přebrala aspoň část práce: počet hodin, minut a sekund zapisujeme číslicemi desítkové soustavy, a hlavně, používáme názvy číslovek uzpůsobené pro desítkovou soustavu.

Univerzálnost desítkové soustavy se obvykle vysvětluje počítáním na prstech; jelikož všichni lidé mají deset prstů, je desítka přirozený základ pro číselné soustavy. Přesto existují jazyky, jejichž číselný systém má jiný základ. Jedná se výhradně o izolované jazyky ze zaostalejších částí světa. Tento fakt je snadno pochopitelný. S rozvojem přichází gramotnost, jejíž součástí je matematika a arabské číslice, a jejich užití vytváří tlak na jazyk: užití jazyka s dvanáctkovou bází číslovek zároveň s desítkovou soustavou číslic by vyžadovalo aktivně přepočítávat každé napsané číslo předtím, než jej vyslovíme, a nepraktičnost takového počínání je zjevná. Sice by bylo možné adaptovat arabská čísla potřebám domorodého jazyka (například zavedením speciálních symbolů pro desítku a jedenáctku, je-li domorodý jazyk duodecimální), ale výsledný stav by ztěžoval komunikaci mezi domorodci a zbytkem světa: při překladu číslic z jednoho jazyka do druhého by zase tlumočník musel aktivně počítat.

V dřívějších dobách, kdy běžný život nebyl tak úzce svázán s čísly jako dnes, byla situace pestřejší, a pozůstatky nedesítkových soustav z těch dob lze najít i v evropských jazycích.

Podívejme se detailněji, s jakými soustavami se lze setkat.

Jedna-dvě-moc
Přísně vzato se nejedná o číselnou soustavu, ale pro úplnost tento nejprimitivnější způsob počítání stojí za zmínku. V jazycích pralesních sběračů a lovců často neexistuje způsob tvoření složených číslovek. To znamená, že existují slova pro číslovky 1 až z a nejvyšší číslovku zpravidla lze použít i pro označení jakéhokoli vyššího množství než z. Hodnota z je typicky rovna čtyřem nebo šesti, ale v některých jazycích údajně z=2. Nejslavnější je dnes zřejmě amazonský jazyk Pirahã, který údajně postrádá přesné číslovky vůbec, jelikož význam jeho výrazů pro "jedna" a "moc" závisí na kontextu (zajímavost navíc je, že oba výrazy jsou prakticky stejné (hoi) - liší se pouze tónem).

Jednoduché vs. kombinované systémy
Je přirozené předpokládat, že všechny jazyky (pokud nejsou umělé) prošly fází popsanou o odstavec výše. S tím, jak se objevila potřeba počítání, přestala existující slova pro číslovky 1 až z stačit, a z se snadno mohlo stát základem složitější číselné soustavy. Systém počítání, kde existují nezávislá slova pro číslice 1 až z a pro několik nejnižších celočíselných mocnin z budu nazývat jednoduchými. V takových systémech je každá číslovka analyzovatelná jako součet členů tvaru x-krát zn. (Čeština má takový systém: každá číslovka ve standardním tvaru [1] je složena výhradně z kořenů "jedna" až "devět" a slov označujících mocniny desítky.)

Kombinované jsou ty soustavy, ve kterých existuje více základů. Například v babylónské soustavě číslovek se číslo 89 vyjádřilo jako šedesát a dvakrát deset a devět [2]. V této soustavě tedy existovaly dva základy: deset a šedesát.

Je vhodné mít na paměti, že v dřevních dobách bylo počítání s velkými čísly charakteristické pro určité kontexty (obchod, zeměměřičství) a potřeba mít jednu univerzální soustavu nebyla pociťována; mohlo tak docházet k užívání jedné soustavy pro počítání peněz a jiné pro měření polí.

3
Trojka je asi nejnižší reálně užívaný základ číselné soustavy. Hammarström [3] uvádí pět jazyků s trojkovým počítáním, z nich čtyři na Nové Guinei a jeden v Amazonii. Z uvedené tabulky pro novoguinejský jazyk Ambulas je ale vidět, že užitá soustava je spíše kombinovaná se základy 3 a 6 a dost nepravidelná (viz odkaz v pozn. [3]).

4, 5
Čtyřka je základem číselných soustav pro mnoho jazyků, z nichž je ovšem většina již mrtvých. Jednoduchý čtyřkový systém existoval v jazyce Čumašů (etnikum původně žijící v Kalifornii), mnoho dalších jazyků mělo kombinované systémy, se sekundárními základy 8, 10 nebo 20. Australský domorodý jazyk Gumatj [4] má údajně jednoduchý systém se základem 5, přičemž řada dalších jazyků v oblasti používá kombinované systémy se základy 5 a 20.

Možným pozůstatkem výrazné role pětky je počítání v jazycích slovanských: ve spojeních číslovka+jméno je jméno ve shodě s číslovkou v prvním pádě pouze tehdy, je-li číslovka menší než pět (a v češtině i u složených číslovek končících na "jedna" až "čtyři"); od pětky nahoru je pak jméno v genitivu plurálu (srovnej čtyři prasata vs. pět prasat). V prvním případě se tak číslovka chová jako shodný přívlastek, zatímco v druhém formálně hraje jméno roli přívlastku (tentokrát neshodného). Interpretace této skutečnosti ale není jistá, a pravděpodobně s číselnými soustavami užívanými u starých Slovanů přímo nesouvisí. (Zajímavost je, že v baltských jazycích je tato hranice až u desítky; tedy v lotyšském vepříně je rozdíl mezi deviņi cūkas (9) a desmit cūku (10)).

6, 8
Základ 6 se vyskytuje u některých jazyků na Nové Guineji. Osmičkovou soustavu údajně využívá mexický jazyk Otopame.

Podobně jako se v baltoslovanské skupině mění pádová koncovka počítaného jména pro čísla větší než 4 resp. 9, mění se počáteční mutace počítaného slova v irštině pro čísla větší než 6. Tudíž v irském vepříně je sé mhuc (6) vs. seacht muc (7). Zde se ale téměř jestě nejedná o pozůstatek staré šestkové či sedmičkové číselné soustavy, ale pouhý následek skutečnosti, že staroirské číslovky 7-10 končily na nosovou souhlásku, zatímco číslovky nižší na samohlásku. Koncové hlásky během vývoje splynuly s počátečními hláskami následujících slov, a různé koncovky vedly k různým druhům mutací.

12
Dvanáctková číselná soustava se dodnes vyskytuje v řadě jazyků (i navzájem nepříbuzných) ve střední Nigérii, z nichž největší je zřejmě jazyk Berom s třemi sty tisíci mluvčími.

Dvanáctka hrála výraznou roli v různých evropských soustavách měr, vah a peněz [5], a pozůstatkem toho je existence slova tucet v evropských jazycích (tucet, stejně tak jako jeho anglický ekvivalent dozen, ovšem pochází ze složeného latinského duodecim). Častý výskyt dvanáctky v anglicky mluvících zemích dokonce vedl k seriózně míněným návrhům na nahrazení desítkové soustavy dvanáctkovou.

15 a výše
Novoguinejský jazyk Huli užívá údajně patnáctkovou soustavu. Šedesátková soustava, jak již bylo řečeno, byla užívána ve starověkém Sumeru a Babylóně. Náznaky speciální role padesátky nebo šedesátky jsou patrné v turečtině, jejíž číselný systém je sice jinak pravidelně desítkový, ale slova pro číslovky 20 (yirmi), 30 (otuz), 40 (kırk) a 50 (elli) nemají nic společného s 2 (iki), 3 (üç), 4 (dört) a 5 (beş).

Dvacítka je relativně běžná jako druhotná báze, a dvacítkový systém byl přítomen v keltských jazycích. Tradiční počítání, které přežilo do dnešních dnů ve velštině, používá báze 10, 20 a 100, navíc s několika dalšími anomáliemi. Spolu s ním existuje standardní desítková soustava; oba systémy jsou dobře kompatibilní, protože "přepočet" je jednoduchý. Srovnejte sami:


číslotradiční formadoslovný významdesítková forma
10 deg deg
11 un ar ddeg jeden na deseti un deg un
12 deuddeg un deg dau
13 tri ar ddeg tři na deseti un deg tri
14 pedwar ar ddeg čtyři na deseti un deg pedwar
15 pymtheg un deg pump
16 un ar bymtheg jeden na patnácti un deg chwech
17 dau ar bymtheg dva na patnácti un deg saith
18 deunaw dvě devítky un deg wyth
19 pedwar ar bymtheg čtyři na patnácti un deg naw
20 ugain dau ddeg
21 un ar hugain jeden na dvaceti dau ddeg un
30 deg ar hugain deset na dvaceti tri deg
31 un ar deg ar hugain jeden na deseti na dvaceti tri deg un
40 deugain dvě dvacítky pedwar deg
41 deugain ac un dvě dvacítky a jeden pedwar deg un
50 hanner cant půl sta pum deg
51 hanner cant ac un půl sta a jeden pum deg un
60 trigain tři dvacítky chwe deg
70 deg a thrigain deset a tři dvacítky saith deg
71 un ar ddeg a thrigain jedna na deseti a tři dvacítky saith deg un
80 pedwar ugain čtyři dvacítky wyth deg
90 deg a phedwar ugain deset a čtyři dvacítky naw deg
100 cant cant


Pozůstatky dvacítkové soustavy a různé napravidelnosti jsou patrné i v dalších jazycích, nejtypičtěji ve francouzštině, kde stále (jako i v ostatních románských jazycích kromě rumunštiny) dvacet (vingt) je nezávislý kořen a čísla nad 60 jsou tvořena starým dvacítkovým způsobem (např. 97 = quatre-vingt-dix-sept) [6].

Z výše uvedeného, informace o číselných soustavách primitivních jazyků je nutno přijímat s rezervou. Primitivní početní systémy bývají nestálé, různí mluvčí mohou používat různé číslovky, číselné soustavy mohou být vytvářeny ad hoc. Při kontaktu s jinými jazyky snadno dochází k přejímání cizích číslovek. Navíc jsou informace získávány pouze sporadickým kontaktem, a řadu jazyků odlehlých oblastí nikdo z civilizovaného světa pořádně neovládá. I pokud informace existují, může být problém je najít a ověřit. Wikipedie například zmiňuje dva jazyky užívající jako základ číselné soustavy číslo 27; nezávislý zdroj jsem nenašel, a považuji toto tvrzení za krajně podezřelé.

Ideální soustava
Nehledě na to, jaké soustavy jsou nebo byly v historii používány, zajímavá je otázka, jaká soustava je pro člověka nejpřirozenější. To se sice těžko posuzuje bez experimentálních dat (a experimentální data by se v tomto případě dala získat asi jen tak, že donutíte subjekty dosáhnout zběhlosti v provádění početních operací ve vybrané soustavě a budete pak testovat jejich schopnosti), ale některé požadavky, které by měla taková soustava splňovat, se jeví být intuitivně jasné.

Prvním požadavkem je rozumná velikost základu. Dvojka je příliš málo. I nepříliš velká čísla by v dvojkové soustavě byla popisována nehezky dlouhými slovy, a číselný zápis by nebyl příliš přehledný (mimochodem, Jana Husa upálili v roce 101100001112). Šedesát je zase příliš mnoho. Nejen, že jednoduchá šedesátková soustava by vyžadovala šedesát různých slov pro číslice 0-59. Horší by bylo, že umět násobit by znamenalo pamatovat si výsledky 1830 různých součinů (desítková malá násobilka jich vyžaduje 55). Podobně pro sčítání.

Druhou rozumnou věcí je co nejvyšší počet dělitelů základu. Výhoda spočívá mimo jiné v tom, že čím více dělitelů, tím větší množství zlomků má konečný rozvoj. V desítkové soustavě mají konečný rozvoj ty zlomky, jejichž jmenovatel v základním tvaru obsahuje v prvočíselném rozkladu pouze dvojky a pětky. Násobení a dělení dvojkou a pětkou (a jejich součiny a mocninami) je v desítkové soustavě jednodušší, než násobení a dělení jinými čísly. Číselný základ soustavy by měl být sudý, pokud chceme, aby bylo snadno vidět, které číslo je sudé. Jak by situace vypadala, kdybychom tyto požadavky nesplnili, lze nahlédnout na příkladu sedmičkové soustavy. Zkuste si schválně tipnout, zda 1437 je sudé, nebo jak vypadá desetinný zápis jedné poloviny [7].

Desítka z tohoto posouzení nevychází špatně, i když dvanáctka, která je dělitelná dvěma, třemi a čtyřmi, a přibližně stejně velká, je téměř jistě lepší volba. Osmičková nebo šestnáctková soustava by připadaly v úvahu, i když jejich negativem je, že prvočíselném rozkladu základu je pouze dvojka.


Poznámky:
1. Přívlastek "ve standartním tvaru" znamená, že zanedbáváme běžně neužívané číslovky typu "tucet", "kopa", "mandel" atd.
2. Nejsem si jist, zda to tak probíhalo i v mluveném jazyku; z toho, co jsem našel o babylónských číslech vyplývá, že číslovky byly zapisovány číslicemi, nikoli slovy, takže je možné, že v mluveném jazyce byla, aspoň v některých kontextech, užívána pouze desítková soustava. (Babylónština byla semitský jazyk a semitské jazyky užívají desítkovou soustavu. V babylónštině exitovala slova pro "sto" a "tisíc", ačkoli pro šedesátkovou soustavu nebyla nutná. Že ale podobný způsob konstrukce číslovek je možný je patrné z příkladu francouzštiny, kde například 78 má tvar šedesát a deset a osm (soixante-dix-huit).)
3. H.Hammarström, Rarities in numeral systems, [PDF].
4. Nemám ponětí, jak se to čte, "Gumatj" je zřejmě přepis užívaný v angličtině.
5. Před rokem 1971 se britská libra dělila na 20 šilinků, každý po 12 pencích. Tento systém byl standardizován Karlem Velikým a byl (s různými jmény a obměnami) běžný i v jiných částech Evropy.
6. Belgická francouzština ale užívá septante, nonante pro 70, 90. Švýcarská francouzština má i huitante n. octante pro 80.
7. 1437 je sudé (je rovno 80 v desítkové soustavě). Pravidlo v soustavách s lichým základem je, že číslo je sudé tehdy, je-li jeho ciferný součet sudý. 1/2 má v sedmičkové soustavě zápis 0,33333...7.

11 komentářů:

  1. Velmi hezký článek.

    Jen pro zajímavost, existuje i několik variant přístupu k desítkové soustavě různě po světě, které si vynucují jistou dávku přepočítávání při překladu. Například mnoho asijských jazyků má navíc slovo pro "deset tisíc" a vyjadřují náš milion jako "sto desetitisíců".

    OdpovědětSmazat
  2. Pravda, to je případ východoasijských jazyků a staré řečtiny (tam 10 000 = μυριος). V Indii jsou zase slova pro sto tisíc a deset milionů (hindsky lakh a karód), ale výraz pro deset tisíc je složený.

    OdpovědětSmazat
  3. Nevím tedy jak je to v jiných východoasijských jazycích, ale v japonštině mají kromě zmíněného samostatného výrazu pro deset tisíc 万 (man/まん) také výrazy pro sto milionů 億 (oku/おく) a pro bilion 兆 (čó/ちょう).

    Nicméně letmé nahlédnutí na http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_numerals (doporučuji) napovídá, že i v čínštině je zřejmě poměrně bohatý systém výrazů pro velká čísla.

    OdpovědětSmazat
  4. Zajímavé. Speciálně by mě zajímalo, k čemu se užívá výraz pro 10^4096. Že by staří Číňané znali teorii strun?

    OdpovědětSmazat
  5. Na teorii strun by starým Číňanům mělo stačit 10^512. Myslím, že 10^4096 bude něco onačejšího.

    OdpovědětSmazat
  6. Myslím, že spoustě lidí dělá problém i převod anglických vysokých čísel (billion = miliarda, trillion = bilion...). Třeba včera jsem slyšel ve zprávách, že USA mají dluh asi 14 trilionů dolarů, to jsem si říkal, že by na tom byli asi hodně špatně.

    Ještě bych dodal, že z přístupu jedna-dvě-moc vychází i dříve velice rozšířené duálové skloňování. Poté, co začali lidé počítat větší čísla již nevznikaly nové tvary slov, ale podle wikipedie se v některých jazycích vyskytuje i trojné číslo.

    OdpovědětSmazat
  7. Podle anglické a německé Wikipedie existuje i čtverné číslo.

    OdpovědětSmazat
  8. Asi by stála za zmínku i soustava sumerská, kde se střídá násobek 6 a 10:
    0,6,60,360,3600,....

    OdpovědětSmazat
  9. Please let me know if you're looking for a article writer for your blog. You have some really good articles and I believe I would be a good asset. If you ever want to take some of the load off, I'd absolutely
    love to write some content for your blog in exchange
    for a link back to mine. Please shoot me an e-mail
    if interested. Regards!

    Visit my homepage - http://www.etourism-fitness.com/

    OdpovědětSmazat
  10. Everything is very open with a really clear clarification
    of the challenges. It was definitely informative.
    Your site is extremely helpful. Thanks for sharing!


    Also visit my page - htc Incredible s цена

    OdpovědětSmazat
  11. Currently it looks like BlogEngine is the best blogging platform available
    right now. (from what I've read) Is that what you're using on
    your blog?

    Take a look at my page :: htc one s цена

    OdpovědětSmazat