neděle 13. září 2009

Zákon vs. komprimační algoritmus

V minulém příspěvku z fyzikální série jsem zmínil řadu požadavků, které obvykle automaticky očekáváme, že přírodní zákony budou splňovat.  Byla mezi nimi především úspornost, čímž jsem myslel to, že soubor informací, které fyzikální zákon vysvětluje, převyšuje velikost zákona a vstupních parametrů. Takhle stručná formulace nezní zrovna srozumitelně, a tak se to pokusím trochu rozvést.
 
Vezměme si pro konkrétnost sluneční soustavu, a podívejme se na ni pohledem člověka, jenž nezná žádné přírodní zákony. Chtěl jsem napsat člověka doby kamenné, ale v době kamenné lidé nevěděli ani to, že nějaká sluneční soustava vůbec existuje, pročež by to nebyl příliš dobrý příměr. Tak jako tak, představte si pozorovatele, který 50 let pozoruje sluneční soustavu s úkolem nakonec sdělit výsledky svého pozorování, a nemá přitom sebemenší ponětí o fyzice. Jak může splnit svůj úkol co nejlépe?
 
Pokud takový pozorovatel postupujete opravdu otrocky, nezbyde mu než zaznamenávat polohy planet okamžik po okamžiku, a po uplynutí 50 let předložit své záznamy. Za předpokladu pečlivosti onoho nebožáka bude výsledkem obrovské množství popsaných papírů, ze kterých si třeba přečteme, kde byl Jupiter v 6:45 11. března roku 27 od začátku pozorování. Možná tam najdeme i to, kde byl téhož dne v 6:46. Jelikož ale záznamy obsahují konečný počet dat, nemůže tam být informace o poloze Jupitera v každém myslitelném čase. Takovéto záznamy jsou tudíž celkem k ničemu, neboť z  celého intervalu 50 let, skládajícího se z nekonečného množství okamžiků, nám polohu Jupitera udává jenom v konečném množství časů. Nevíme tak třeba, kde byl Jupiter v čase 6:45:30.
 
Asi si řeknete, že by pozorovatel musel být úplný idiot, aby nezpozoroval, že mezi časy 6:45 a 6:46 se poloha Jupitera zrovna moc nezměnila, a ta malá změna, ke které přece jenom došlo, byla plynulá a s velkou přesností se jednalo o rovnoměrný přímočarý pohyb. Takže je úplně zbytečné zapisovat zvlášť polohu Jupitera v 6:45:30, umíme si ji totiž odvodit: leží uprostřed mezi polohami v 6:45 a v 6:46.
 
Pokud k seznamu poloh všech planet minutu po minutě přidá i pravidlo, že v jakémkoli čase mezi zaznamenanými polohami lze polohu planety dopočíst popsanou lineární interpolací, množství dostupných informací obrovsky vzroste. Nejsme již vázáni na časy uvedené v záznamu, můžeme se ptát na polohu planet v jakémkoli čase. Máme prototyp přírodního zákona. Klíčovým faktem je, že většina z dat, která jsou přístupná nyní, není někde výslovně zapsána; je ovšem možné je spočítat. Data jsou nahrazena výpočetním postupem.
 
Je samozřejmě jasné, že pokud bude pozorovatel znát Keplerovy zákony, je na tom výrazně lépe, protože mu stačí udat poloosy a sklon orbit a k tomu oběžnou dobu jedné z planet (a totéž pro měsíce, zajímáme-li se o ně) a ušetřit si tak absurdní otročinu zapisování planet minutu po minutě. Celé pozorování padesáti let se vejde na pár stránek a bude sestávat pouze z formulace Keplerových zákonů a seznamu těles, které byly pozorovány, s několika málo čísly pro každé z nich. Keplerovy zákony neplatí úplně přesně (protože ignorují vzájemné gravitační působení mezi planetami), takže je možné, že pozorovatel bude muset připsat jisté opravy, budou-li jeho požadavky na přesnost vyšší. Situaci může zlepšit, zná-li Newtonovy zákony. Ještě přesnějších výsledků bude možno dosáhnout se znalostí obecné relativity.

Rozdíly v účelnosti mezi lineární interpolací pro krátké časové intervaly (kterou by se člověk téměř zdráhal nazvat přírodním zákonem, protože její platnost bude vnímat jako naprosto zřejmou a triviální*), Keplerovými zákony, a nakonec třeba obecnou relativitou, je naprosto zřejmý. Přesto, vždycky mám dojem, že je dobré zdůraznit, že koncepční rozdíl je minimální: jak lineární interpolace poloh planet, tak složité diferenciální rovnice pro metriku v Einsteinově gravitačním zákoně jsou metodou, jak z nějakého relativně malého souboru dat (počátečních či okrajových podmínek) spočítat mnohem větší soubor dat. Je také dobré mít na paměti, že relativní úspornost Einsteinova zákona je částečně kompenzována výpočetní jednoduchostí interpolačního zákona.
 
Přirozený pohled člověka na přírodní zákony bývá často v souladu s použitím slova zákon v jiných souvislostech. Totiž že tyto zákony jsou předpis, který omezuje přírodu a nutí ji chovat se podle pravidel. Že existuje mnoho různých logicky možných variant budoucnosti, mezi nimiž přírodní zákony vybírají tu jednu pravou. Mám pocit, že lepší je trochu jiný pohled: svět se nějak vyvíjí a nějak vypadá a jsou v něm určité pravidelnosti. Přírodní zákon je postup, jak těchto pravidelností využít ke kompresi dat, která o světě známe. Správný přírodní zákon hodný toho jména je algoritmus, ne právní ustanovení. A dobrý zákon je efektivní algoritmus, malý program schopný dělat velké věci.

Pohled na přírodní zákony jako na algoritmus pro kompresi dat mimo jiné vylučuje tabulkovité zákony popsané v minulém příspěvku, ovšem má i další implikace, kterým se budu věnovat v dalších příspěvcích.

Poznámky:
*) Navzdory mému předsevzetí z prvního příspěvku nakonec jsem se tomu slovu nevyhnul.

4 komentáře:

  1. Co jsou to "logicky možné varianty budoucnosti"?

    OdpovědětSmazat
  2. Je sice pravda, že mezi lineární interpolací a obecnou relativitou "koncepční rozdíl je minimální", nicméně každý (včetně autora příspěvku) asi cítí, že přesto obecná relativita je v "lepší". Stálo by se tudíž zamyslet nad tím, jak se pozná "dobrý" přírodní zákon od "špatného". Kromě triviálních*) záležitostí (jako že obecná relativita má lepší kompresní poměr a zahrnuje širší třídu jevů), o kterých skoro ani nemá smysl mluvit, by mě zajímalo, zdali autor uznává takové efemérní a subjektivní (AUTZC**)) pojmy jako je matematická elegance apod.

    *) Tomuto slovu a jiným podobným slovům se na rozdíl od autora příspěvku nehodlám vyhýbat, naopak.

    **) Ať Už To Znamená Cokoliv

    OdpovědětSmazat
  3. Lepší kompresní poměr je samozřejmě zásadní, a nikoli triviální.

    Druhá věc je otázka výpočetní složitosti, která je často korelovaná s matematickou elegancí. Obecně se dá říct, že matematickou eleganci uznávám jako jedno z hledisek, ale nejsem si úplně jist, zda tenhle subjektivní pojem nelze vyjádřit jako funkci kompresního poměru a výpočetní složitosti.

    OdpovědětSmazat
  4. Ad logicky možné varianty budoucnosti: odkazuji na Wikipedii.

    Není to pojem, který bych nějak prosazoval, a jeho problematičnost je mi zřejmá. V praxi to zřejmě znamená "varianty, které si daný člověk je schopen představit".

    OdpovědětSmazat