pondělí 26. prosince 2011

Nepřímá autoreference


Toto je osmý a poslední díl seriálu o logice, který volně sleduje myšlenky D.Hofstadtera sepsané v jeho knize Gödel, Escher, Bach. Navigace: úvodní článek - předchozí díl.

V předchozích dílech tohoto seriálu jsme si ukázali výraz ∃m:P(m,n), jež má interpretaci „existuje číslo m, které je Gödelovým číslem korektního odvození výrazu, jehož G.č. je n“, neboli výraz s G.č. n je teorém formální aritmetiky“. P(m,n) je v tomto případě zkratka za nepředstavitelně dlouhý řetězec znaků z abecedy formální aritmetiky, vyjadřující primitivně rekurzivní fakt, že sekvence výrazů reprezentovaná číslem m (přes Gödelovo číslování) je důkazem výrazu reprezentovaného číslem n. Toto je předposlední krok v naší snaze reprezentovat lhářův paradox formálně, či ještě spíše ukázat, že vždy, aspoň tedy v jakémkoli formálním systému který je schopen vyjádřit primitivně rekurzivní predikáty, je možné tento paradox formulovat. Stačilo by nějak zařídit, aby ve výraz ¬∃m:P(m,n) měl Gödelovo číslo zrovna n. Můžeme samozřejmě zkoušet různá n, a dokonce různá schémata Gödelova číslování, přesto ale nemáme zaručeno, že se kýženou podmínku podaří splnit. Můžeme ale vytáhnout ještě jeden mazaný trik, který Hofstadter nazval quinování, inspirovav se jménem filosofa a logika W.Quina, jenž s trikem jako první přišel [*], a pomocí něho zkonstruovat kýžený autoreferenční výrok, přičemž autoreference dosáhneme nepřímo.

Předmětem quinování jsou výroky, a quinování jako takové je vcelku jednoduchý proces: vezmeme výrok a vložíme do něj jeho citaci (tj. kopii v uvozovkách). Momentálně se mi hodí nadefinovat si quinování tak, že citaci budu vkládat mezi druhé a třetí slovo výroku [*]. Kupříkladu, kdyby se mi zachtělo quinovat výrok „prase je savec“, výsledek bude „prase je „prase je savec“ savec“. Zvolený příklad nedělá quinování příliš velkou čest: nejenže není jasné, k čemu by se dalo použít, ale výsledek ani není gramaticky korektní výrok. Věc se začne jevit o trochu zajímavější, když povolíme quinování fragmentů výroků. Abych dlouho nechodil kolem horké kaše, předhodím ctěnému čtenářstvu quinovací verzi lhářova paradoxu:

L: quinování výrazu „quinování výrazu je nepravdivé“ je nepravdivé

Této bizarní větě je třeba rozumět následujícím způsobem: podmětem věty je zjevně výraz „quinování výrazu „quinování výrazu je nepravdivé““. Ovšem quinování výrazu „quinování výrazu je nepravdivé“ je samotný výraz L! L tedy mluví sám o sobě (a popírá svou pravdivost), aniž by používal explicitního odkazu „tento výrok“. Jistě, cenou za to je pofidérní operace quinování, kterou je nutno nadefinovat, a přítomnost uvozovek uvnitř výrazu. Našim cílem ale není mít lhářův paradox sepsán tak, aby mu bylo snadno rozumět, nýbrž tak, aby jej bylo lze snadno formalizovat. A tomuto požadavku quinovací verze paradoxu vyhovuje.

Nejdřív si ale definujeme formální aritmetickou verzi quinování. Jejím objektem tentokráte nejsou normální výroky, ale výrazy formální aritmetiky. Aritmetické quinování bude fungovat trochu odlišně od výše popsané procedury: zaprvé, do výrazu budeme doplňovat ne jeho citaci, ale jeho Gödelovo číslo zapsané standardním způsobem (tedy jako SSSS...S0). Dále, abychom se vyhnuli nepříjemnému problému spojeného s tím, kam přesně do výrazu číslo zapsat, quinovatelné výrazy musí obsahovat alespoň jednu instanci volné (tj. nekvantifikované) proměnné. Quinování nahradí všechny volné proměnné Gödelovým číslem původní formule. Samozřejmě si neodpustím příklad. Nechť původní výraz A zní (x=0). Použijeme-li Gödelovo číslování ve verzi zavedené v minulém díle, doplněné pravidlem, že znaku x odpovídá číslice 9, je Gödelovo číslo výrazu A rovno 19 542. Quinování A je pak výraz B = (SSSS...S0=0), kde v řetězci za sebou stojí přesně 19 542 písmen S [*].

Výraz B má taktéž své Gödelovo číslo, jak také jinak. To nabízí v dalším kroku zadefinovat predikátovou funkci Q(g,h) takto: pokud h je Gödelovo číslo výrazu, který vznikne quinováním výrazu, jehož Gödelovo číslo je g, je Q(g,h) rovno pravdě, a v jiných případech je rovno nepravdě. Stále užívajíce náš výběr Gödelova číslování, můžeme snadno nahlédnout, že Q(19 542 , 13 333...334 542) nabývá hodnoty pravda, je-li v druhém argumentu přesně 19 542 trojek.

Čtenář asi již očekává, že důležitou roli bude hrát primitivní rekurzivita funkce Q (která je stejně evidentní, jako u posledně definované funkce P: i vyhodnocení Q je čistě mechanická záležitost, jejíž trvání je úměrné délce výroků odpovídajících jejím parametrům). Stejně jako funkci P(m,n), i funkci Q(g,h) bude možné zakódovat do nějakého obludně komplikovaného řetězce Q(g,h). Kdybychom se hodně snažili a měli opravdu mnoho času, mohli bychom přesnou podobu tohoto řetězce v principu objevit; nic takového ale dělat nepotřebujeme, stačí nám vědomí jeho existence.

Můžeme tedy začít překládat lhářův paradox, konkrétněji výraz L, do formální podoby. Nejtěžší je část v uvozovkách (označme ji třeba U), její detaily tak ponechme nakonec. Budeme ale potřebovat její Gödelovo číslo u. Chceme říct, že quinování výrazu s G.č. u není teorém. Označím-li toto quinování jako výrok K, znamená to, že neexistuje číslo d, které by bylo G.č. odvození výroku K. K má své vlastní G.č., pochopitelně, označme jej k. Teď celou věc dáme dokupy, a dostaneme výrok

G: ¬∃d:∃k:(P(d,k)Q(u,k))

Pro jistotu ještě jednou přečteme: není pravda, že existuje výrok, který je quinováním výroku U a který je zároveň teorém. Pokud U zvolíme tak, že bude obsahovat aspoň jednu volnou proměnnou, bude existovat jeho quinování, a tudíž G říká, že toto quinování není teorém. Zbývá zvolit U tak, aby jeho quinováním vznikl výrok G. Což takhle zkusit tohle:

U: ¬∃d:∃k:(P(d,k)Q(x,k))

U a G vypadají úplně stejně, kromě toho, že U obsahuje volnou proměnnou (konrétně x), zatímco G má na jejím místě konkrétní, byť prozatím nevyčíslenou, hodnotu u. Quinováním U nahradíme volnou proměnnou x Gödelovým číslem U, to jest u, čímž dostaneme výrok G. Výrok G tak skutečně popírá svou vlastní pravdivost!

(Doporučuji čtenáři před dalším čtením věnovat pět minut promyšlení celé věci a kontrole, zda jsem se nedopustil závažného podvodu. Konkrétně by si měl být jist, že U je dobře formulovaný výrok, že není žádný problém v definici jeho Gödelova čísla u, že G je dobře definovaný výrok a že jeho interpretace je taková, jakou jsem napsal. Výroky U a G nejsou z nejprůhlednějších, a jelikož je G vlastně vyvrcholením série osmi článků, stojí za tu trochu pozornosti.)

Co jsme si vlastně ukázali, a co nikoliv
Člověk se občas setká s fatalistickými interpretacemi Gödelovy věty: Pravda neexistuje. Poznání je nemožné. Logika je nespolehlivá. Silná slova na jedné straně přispívají k nárůstu zájmu o Gödelovské problémy a logiku obecně, na druhé straně ale vytvářejí značně nadsazené představy o důležitosti podobných paradoxů. Pečlivější pohled nabádá zůstat při zemi, neb situace není tak dramatická, jak by se mohla jevit.

Především, ukázali jsme si (poněkud nepořádně — rigorózní matematik by nebyl spokojen, ale tento blog nepíšu pro přísné matematiky) formální verzi paradoxu lháře. Pokud vás nijak neznepokojuje tradiční lhářův paradox, není důvod, abyste byli znepokojeni jeho formalizovanou verzí. Jestliže gramaticky správná věta „tento výrok není pravdivý“ nezasadí smrtelnou ránu vašemu přesvědčení o možnosti poznání či platnosti logiky, proč by toto přesvědčení mělo kapitulovat před reformulovanou verzí téhož, nota bene slabší: Výrok G o sobě netvrdí, že je nepravdivý, pouze že je nedokazatelný. Pouze pokud je (byla) vaše důvěra v logiku založena na víře, že existuje formální systém, v rámci kterého lze dokázat každý pravdivý výrok o přirozených číslech a žádný nepravdivý výrok o přirozených číslech, je pro vás Gödelův objev důvodem ke znepokojení. Mám ovšem pocit, že postmoderní filosofové hledící na Gödela jako na jednoho z proroků neexistence objektivní pravdy, se pramálo zajímají o přirozená čísla.

Existují různé cesty, jak se vyrovnat s Gödelovou větou. Nejortodoxnější je připustit, že G je pravdivý výrok. Jelikož jeho pravdivost implikuje jeho nedokazatelnost, musíme pak uznat, že náš formální systém má díry a nedokáže odvodit všechny pravdy — a v širším důsledku pak i to, že žádný formální systém není schopen dokázat všechny pravdy o přirozených číslech. Existují tedy výroky, které jsou pravdivé, ale přesto formálně nedokazatelné. Jsou to zpravidla výroky tvrdící, že všechna přirozená čísla mají určitou vlastnost (kterou jsme schopni ověřit pro každé přirozené číslo zvlášť), nebo že existuje číslo mající určitou vlastnost. Je nedokazatelnost některých takových výroků znepokojující? Asi do jisté míry ano, vzhledem k tomu, že prakticky všichni matematikové a logikové přelomu devatenáctého a dvacátého století věřili v opak, ale určitě to není natolik znepokojující, aby bylo nutno váhat nad samotnou možností poznání či existencí pravdy (ať už obě fráze přesně znamenají cokoli).

Nebo můžeme uvěřit tomu, že G je ve skutečnosti nepravdivý (a tudíž je dokazatelný). K takové věci bychom byli dokonce nuceni, kdyby se podařilo opravdu G dokázat. Tato možnost už znepokojuje poněkud více, neboť ohrožuje naši důvěru v matematicky dokázané pravdy. Pokud formálně dokázaná věta není pravdivá, jak pak vůbec můžeme věřit matematice? Kdyby se v rámci Peanovy aritmetiky objevil důkaz G, měli by matematikové zřejmě tendenci axiomy Peanovy aritmetiky zavrhnout nebo aspoň revidovat. Nicméně pořád by to nic neměnilo na tom, že Peanova aritmetika je užitečným formálním systémem pro odvození obrovské spousty výroků, pomocí kterých se dá popisovat celá řada jevů existujících v přírodě i lidské společnosti. Byla by existence dokazatelných nepravdivých výroků typu „tento výrok je nepravdivý“ tak velkým problémem?

Nebo můžeme zaujmout vágnější pragmatické stanovisko a příliš se nestarat o ideály pravdivosti u výroků, jejichž předmětem jsou abstraktní objekty, případně výroky samotné. Většina lidí koneckonců nemá problém akceptovat, že tradiční lhářův paradox nemá pravdivostní hodnotu. Když ho zabalíme do hávu, ve kterém vypadá jako výrok o přirozených číslech, zdá se, že najednou jsou jeho předmětem reálné věci. Absence pravdivostní hodnoty výroku o přirozených číslech se zdá stejně absurdní, jako absence pravdivostní hodnoty výroku „včera v Klatovech pršelo“. Ale není to pouze iluze? Přirozená čísla jsou abstrakce stejného řádu jako výroky; nevadí-li, že výrok mluvící sám o sobě postrádá pravdivostní hodnotu, proč by to mělo vadit u výroku o přirozených číslech?

Pokud autoreferenční paradoxy něčím skutečně otřásají, pak jsou to představy o absolutnosti apriorních pravd odvoditelných na základě přísné logiky a nemajících jakýkoli empirický obsah. Pro mnoho filosofů byly tyto apriorní pravdy tím nejdůležitějším, čeho lidské poznání může dosáhnout. Když se ukazuje, že některé tyto pravdy se vzpírají poznatelnosti, neznamená to ovšem, že jejich pravdivost není odrazem existujícího řádu v reálném světě, ale spíš problémů ve struktuře lidského jazyka a myšlení? V reálném světě nejsou paradoxy — v Klatovech nemůže pršet a nepršet naráz.

6 komentářů:

  1. Nevim, zda se to neresilo v predchozich dilech, ale je treba si uvedomit, ze kdyz se mluvi v logice o pravdivosti, je potreba rozlisovat pravdivost formule (vyrazu) v konkretnim modelu (konkretne pravdivost v prirozenych cislech) a pravdivost formule v teorii (i.e. pravdivost ve vsech modelech, ktere splnuji axiomy te te teorie). Je vhodne zminit, ze pro takto definovanou pravdivost formule v teorii nepravdivost formule neni ekvivalentni pravdivosti negace te formule.

    Napr. Peanova aritmetika (PA) je axiomatizace N ('standardnich' prirozenych cisel), ale N neni jediny model PA - existuji i jine matematicke struktury, ktere jsou modelem PA.

    A tady je trochu problem s tim, co vlastne znamena ona formule \Em: P(m,n). Ztotoznit ji s existenci korektnich formalnich dukazu je mozne pouze pokud ji interpretuji v modelu N. Pokud ale tu formuli budu formalne dokazovat v ramci PA, tak ta interpretace uplne neodpovida (nebot onen objekt 'm' muze byt 'prirozene' cislo ve smyslu PA, ale nikoliv 'opravdove' prirozene cislo).

    Ta diskuse v clanku ma par deravych mist. V prve rade Godelova veta dokazuje ('metamatematicky', tedy vne PA ci logiky prvniho radu), ze formuli G opravdu nelze dokazat v PA (ci jejich rozumnych rozsirenich). Tedy to, ze G nelze dokazat, vime nikoliv proto, ze by to G sama o sobe tvrdila, ale proto, ze to tvrdi Godelova veta (o ktere samotne nemame duvod pochybovat). Zaroven taky vime z Godelovy vety o uplnosti [*], ze G neni pravdive v PA. To, ze G neni pravdive v PA, znamena pouze, ze existuje nejaky model PA, ve kterem G neni pravdive, ale stale muze existovat jiny model (treba N), ve kterem G pravdive je. To, ze G je pravdive v N je konzistentni s tim, ze G nelze dokazat v PA.

    Konstrukce takoveho modelu PA, ve kterem G neni pravdive (a tedy existuje v nem objekt splnujici ty predikaty uvnitr G) je naznacena ve skriptech prof. Stepanka 'Meze formalni metody' ( http://kti.mff.cuni.cz/teaching/files/materials/StepanekPetr_Meze.pdf ), ktere se podrobne zabyvaji Godelovou vetou.

    [*] Godel krome vety o neuplnosti dokazal take vetu o uplnosti, ktera tvrdi, ze formule je dokazatelna v teorii T prave tehdy, kdyz je v teorii T pravdiva.

    Tedy strucne, prvni alternativa ('Nejortodoxnější je připustit, ...') je v poradku, zatimco druha alternativa ('Nebo můžeme uvěřit tomu, že G je ve skutečnosti nepravdivý ...') IMHO vychazi z nepochopeni nekterych detailu. Stejne tak treti 'vagnejsi/pragmatictejsi' stanovisko. Pravdivost tech vyroku je vcelku bez potizi a jasne definovana.

    Jinak dokazat pouze neuplnost samotne Peanovy aritmetiky je vcelku jednoduche, Godelovy vety jsou zajimave hlavne proto, ze to ukazuji i pro jeji libovolne 'rozumne' rozsireni (takze ukazuji, ze ta 'deravost' se neda napravit, alespon v logice prniho radu) a navic explicitne konstruuji nedokazatelnou formuli. Nerika to ale uplne pro vsechny formalni systemy, jen pro systemy zalozene na logice prvniho radu. Mimochodem, vyroky typu ze existuje cislo, ktere ma nejakou (rekurzivne spocetnou) vlastnost (tedy tzv. sigma_1 vyroky), je mozne v PA dokazat vzdy (pokud jsou pravdive v N) - tzv. sigma_1 uplnost PA.

    > Pokud autoreferenční paradoxy něčím skutečně otřásají, pak jsou to představy o absolutnosti apriorních pravd odvoditelných na základě přísné logiky a nemajících jakýkoli empirický obsah.

    Myslim, ze i tento zaver je prehnane bombasticky. Na povaze 'absolutnich' (ryze deduktivnich) pravd se toho moc nezmenilo (co lze dokazat v PA je spolehlive pravdive v N). Pouze to ukazalo meze tohoto pristupu, ze nektere veci (uplnou formalni axiomatizaci N v logice prvniho radu) udelat nejde, a taky ze si je treba davat radny pozor na detaily.

    Jina otazka je, co by vlastne na PA ci obecne deduktivnich teoriich melo byt absolutne/apriorniho - volba axiomu rozhodne apriorni neni, ty proste volime tak, aby vysledny 'produkt' delal to, co chceme.

    OdpovědětSmazat
  2. Díky za komentář.

    "Je vhodne zminit, ze pro takto definovanou pravdivost formule v teorii nepravdivost formule neni ekvivalentni pravdivosti negace te formule."

    Bylo to zmíněno dříve. Obecně místo pravdivosti v tomto smyslu užívám "dokazatelnost".

    "Tedy to, ze G nelze dokazat, vime nikoliv proto, ze by to G sama o sobe tvrdila, ale proto, ze to tvrdi Godelova veta (o ktere samotne nemame duvod pochybovat)."

    Neopírá se metamatematický důkaz Gödelovy věty právě o to, že G něco "o sobě tvrdí"?

    "zatimco druha alternativa ('Nebo můžeme uvěřit tomu, že G je ve skutečnosti nepravdivý ...') IMHO vychazi z nepochopeni nekterych detailu. Stejne tak treti 'vagnejsi/pragmatictejsi' stanovisko. Pravdivost tech vyroku je vcelku bez potizi a jasne definovana"

    Jasná definovaností se myslí, že volbou konkrétního modelu PA lze (mimo PA) jednoznačně rozhodnout o pravdivosti G?

    OdpovědětSmazat
  3. > Obecně místo pravdivosti v tomto smyslu užívám "dokazatelnost"

    V tom je ale rozdil. Pravdivost (v teorii) je semanticky koncept, Dokazatelnost je koncept syntakticky. Kazdy je definovan jinak. Prvni pomoci pravdivosti ve vsech modelech dane teorie, druhy odvoditelnosti z axiomu pomoci dedukcnich pravidel. Az teprve veta o uplnosti je spojuje (viz poznamka [*] v mem predchozim komentari).

    > Bylo to zmíněno dříve.

    Tam to bylo zmineno (pokud jsem neprehledl) jen pro dokazatelnost, to same ale obecne plati i pro pravdivost v teorii.

    > Neopírá se metamatematický důkaz Gödelovy věty právě o to, že G něco "o sobě tvrdí"?

    Pochopil jsem ten usek spis jako diskutovani vysledku ("Existují různé cesty, jak se vyrovnat s Gödelovou větou") nez jako pokracovani dukazu Godelovy vety. Pokracovani dukazy by asi melo byt delano trochu opatrneji (napr. rozborem pripadu - bud G je dokazatelna nebo neni, predpokladejme prvni pripad, pak ale ten dukaz ma nejaky kod, a tedy G neni pravdivy v N a tedy ani v PA - spor, plati tedy druhy pripad (kde zadny spor neni)). V diskutovani vysledku ale uz neni treba delat takove uvahy - Godelova veta (ve sve obvykle formulaci) jasne rika, ze G (nebo obecne nejaka podobna formule) dokazatelna neni, ani v PA, ani v jejim libovolnem rozumnem [**] bezespornem rozsireni. Godelova veta v tomto smyslu nijak nenaznacuje spornost PA, resp. bezespornost PA je dokazana, ale prostredky vne PA.

    [**] Tak jak ten dukaz je tady veden, by nejspis platil jen v rekurzivne aximoatizovatelnych rozsirenich PA, pro ktere je N stale modelem. Obcas se ten dukaz vede trochu jinak, aby to platilo pro vsechna rekurzivne aximoatizovatelna rozsireni PA, bez ohledu na to, zda N je jejich model.

    > Jasná definovaností se myslí, že volbou konkrétního modelu PA lze (mimo PA) jednoznačně rozhodnout o pravdivosti G?

    V kazdem konkretnim modelu PA je pravdivost G jednoznacne (i kdyz nefinitne a neefektivne/nerekurzivne) definovana (narozdil od 'tradicniho' lharova paradoxu, jehoz semantika je vubec problematicka). V nekterych modelech je pravdiva, v jinych pravdiva neni.

    OdpovědětSmazat
  4. Zřejmě nechápu, jak se rozhoduje o pravdivosti v daném modelu. Jak rozhodnete o pravdivosti například Collatzovy doměnky v N? Nebo třeba o pravdivosti výroku 1+1=2 v N, bez odkazu na formální metody PA?

    (Měl jsem za to, že pravdivost je v podobných případech nejasná, a formalizace pomocí nějakého axiomatického systému se dělá právě proto, abychom namísto tohoto nejsaného konceptu získali něco lépe definovaného.)

    OdpovědětSmazat
  5. V prve rade si je treba uvedomit, ze je rozdil mezi tim, co jsme schopni jednoznacne definovat, a tim, co jsme schopni navic efektivne rozhodnout.

    Matematicky model je nosna mnozina, sada funkci (do nosne mnoziny) realizujici funkcni symboly (vcetne nularnich funkcnich symbolu pro konstanty) a sada funkci (do {true, false}) realizujici predikatove symboly. Pro konecne nosne mnoziny je tedy model (napr. Z5 jako model teorie teles) v podstate tabulka. Samozrejme, pro nekonecne nosne mnoziny je takovy model taky nekonecny a je tedy otazka, jak ho vlastne jednoznacne popsat. Pro rozumne modely (treba N) budou mit ty nekonecne tabulky nejakou rozumnou strukturu, takze by napr. sla popsat algoritmicky [*]. Bez ohledu na to, zda to jde nebo nejde, pokud mame nejaky model, tak proste hodnoty funkcnich a predikatovych symbolu jsou 'z definice modelu' dobre definovane (i kdyz nevime, jaky vlastne ten model je a tedy jaka je ta hodnota, je to tedy vlastne takova 'podminena definovanost').

    Je tedy zrejme, ze pravdivost nekvantifikovanych formuli (nebo formuli s omezenou kvantifikaci) v danem modelu je jednoznacne definovana (indukci podle struktury formule) a pokud je reprezentace modelu rekurzivni, tak je i pravdivost takovych formuli rekurzivni. Jakmile zavedu neomezenou kvantifikaci v nekonecnych modelech, tak o jakoukoliv efektivitu prijdu, ale pravdivost je stale jednoznacne definovana (indukci podle poctu kvantifikatoru - napr. formule '\exists X F(X)' je pravdiva v modelu T prave tehdy kdyz existuje prvek A z nosne mnoziny, ze po dosazeni prvku A jako hodnotu promenne X je F(X) pravdiva).

    Tedy pravdivost modelu je jednoznacne definovana, ale pro rozhodnuti o pravdivosti konkretni formule je nam to vcelku k nicemu, protoze efektivne podle te definice jsme schopni akorat potvrdit pravdivost sigma_1 formuli a vyvratit pravdivost pi_1 formuli (a rozhodnout o pravdivosti nekvantifikovanych formuli) a to jenom v rozumnych modelech (nad spocetnou nosnou mnozinou a s rekurzivne definovanymi realizacemi funkcnich a predikatovych symbolu). Oproti tomu axiomatizace pomoci uplne, rekurzivne spocetne teorie umozni rekurzivne rozhodnout pravdivost kazde formule, a i v neuplnem axiomatickem systemu se da dokazat ci vyvratit mnoho zajimavych formuli, nehlede na to, ze se s tim mnohem lip pracuje.

    [*] Tady by cloveka mohlo napadnout, ze presne tohle vlastne dela ta Peanova aritmetika. Ale to neni uplne pravda, je tam vyznamnovy posun - Peanova aritmetika se nesnazi konstruovat model, ale rika, jake operace s formulema v dukazu jsou korektni. Samozrejme, ten model N by slo udelat vicemene analogicky tem krokum, ktere odpovidaji axiomum PA, protoze zrovna PA (a take jednodussi Robinsonova aritmetika) je tak udelana. Ale obecne teorie nemusi byt takto 'konstruujici', napr. teorie teles toho moc nerika o tom, jak konkretne je realizovana operace + ci *.

    OdpovědětSmazat
  6. Dobře, to zní rozumně. Nuže, tu druhou možnost, kterou jste kritizoval (G je dokazatelný výrok v PA) bych přeformuloval takto: N není modelem PA. Je tohle korektní možnost, nebo existuje neprůstřelný argument, že N je modelem PA? Konflikt mezi PA a N by se mohl projevit třeba tak, že dokážeme ∀x:F(x) a zároveň najdeme x, pro které F(x) neplatí.

    OdpovědětSmazat