úterý 25. ledna 2011

Směr času I.


Upozornění: Kratší poznámky (značené hvězdičkou*) jsou od nynějška řešeny stylem mouseover, tedy stačí umístit kursor nad hvězdičku a poznámka se zjeví. Delší číslované poznámky jsou nadále klikací, ale jejich četnost bude menší, než bývalo zvykem.

Základní fyzikální zákony jsou invariantní vůči inverzi času. Co to znamená? Když nafilmujeme srážku dvou ideálně pružných koulí a záznam pustíme pozpátku, divák nepozná, že je záznam puštěn pozpátku. Kdybychom uměli vyrobit kopii Sluneční soustavy s planetami v pozicích, na kterých se nacházejí právě teď, akorát s opačnými rychlostmi, dostali bychom soustavu, která se pohybuje "zpět v čase": Měsíc v tomto modelu by zítra byl tam, kde byl skutečný Měsíc včera, modelový Saturn by byl za rok na loňské pozici skutečného Saturna atd. Matematicky je to následkem toho, že ve fyzikálních zákonech vystupují druhé časové derivace (a jinak v nich čas nefiguruje). Například druhý Newtonův zákon říká



Provedeme-li v rovnici záměnu času za opačně běžící "záporný" čas, tedy t → -t, rovnice se nijak nezmění.

Důsledek je, že z pohledu mechaniky panuje perfektní symetrie mezi minulostí a budoucností. Vědomosti o minulosti a budoucnosti by tak měly být symetricky přístupné ze znalosti o stavu světa v současnosti. Známe-li okamžitou polohu kyvadla, zjistit jeho polohu před pěti minutami vyžaduje řešit stejné rovnice jako zjištění jeho polohy za pět minut.

Symetrie mezi minulostí a budoucností ale nebyla odjakživa zřejmým faktem. Aristoteles se domníval, že katapultem vymrštěný projektil letí po přímce tak dlouho, dokud nevyčerpá svou zásobu síly, která jej žene vpřed, a pak spadne obráncům kolmo na hlavu [1]. Tato představa nebyla symetrická vůči inverzi času: Aristoteles nevěřil, že projektil může nejdřív vystoupat po přímce nahoru a po dosažení určité výšky nabrat směr šikmo dolů.

Není příliš nutné se divit, že starověcí filosofové neobjevili časovou symetrii přírodních zákonů. Tato symetrie se ve světě kolem nás prostě neprojevuje. Pouze pohyby nebeských těles jsou zjevně symetrické vůči inverzi času, ale před Newtonem nikdo nepředpokládal, že se nebeská tělesa řídí stejnými zákony jako tělesa pozemská.

I po Newtonovi zůstalo mnoho jevů, které se časové vratnosti vzpíraly - pohyby za přítomnosti tření nebo odporu vzduchu, chemické reakce, vedení tepla. S nástupem atomové teorie ale začalo být jasné, že tyto procesy jsou pouze důsledky kolektivní interakce velkého množství částic, z nichž každá se řídí časově symetrickými zákony. A objevila se zákonitá otázka: jak je možné, že vratné mikroskopické zákony řídící pohyb atomů implikují nevratné makroskopické zákony termodynamiky?

Před odpovědí na tuto otázku je nutno vyjasnit určité techničtější detaily, čemuž věnuji zbytek dnešního příspěvku (pokusím se psát pokud možno srozumitelně). Nevratnost termodynamických procesů se obvykle formuluje pomocí zákona růstu entropie; bude tedy třeba říct, co je to entropie. Spojení mezi pohybovými zákony, jimiž se řídí molekuly, a zákony termodynamiky, jimiž se řídí složité systémy, zprostředkovává statistická fyzika. Nebudu předstírat vysvětlování principů statistické fyziky, ale budu muset zavést dva její klíčové pojmy: makroskopický a mikroskopický stav.

Nuže, mikroskopický stav (krátce mikrostav) je přesný stav systému. Je-li naším systémem plyn v nádobě, znalost mikrostavu znamená, že známe polohu a rychlost každé jednotlivé molekuly. Kdybychom znali mikrostav plynu, můžeme, v principu, použít Newtonovy pohybové rovnice k výpočtu toho, jak se tento stav bude vyvíjet. Prakticky jsou ale znalost polohy kvadrilionu molekul, a natož řešení soustavy kvadrilionu diferenciálních rovnic, nemožné.

Proto se zavádí pojem makroskopického stavu (krátce makrostavu). Makrostav ignoruje část (zpravidla většinu) informací obsažených v mikrostavu, a je tedy pouze neúplným popisem. Jestliže se dva systémy liší pouze detaily poloh a rychlostí částic, ale v makroskopickém měřítku se jeví stejně, nacházejí se ve stejném makrostavu. Makroskopický stav je typicky definován veličinami jako je tlak, teplota, celková energie.

Zjednodušeně [2] můžeme říct, že jednomu makrostavu odpovídá spousta mikrostavů: jednu hodnotě tlaku a teploty lze pochopitelně realizovat různými konfiguracemi pozic a rychlostí molekul. Ve fázovém prostoru odpovídá mikrostavu jeden bod, zatímco makrostav je kus prostoru s nenulovým objemem.

Počet mikrostavů tvořících makrostav není pevně stanoven. Mohou existovat makrostavy natolik specifické, že obsahují pouze jeden jediný mikrostav (v takovém makrostavu je krystal za nulové (absolutní) teploty). Zpravidla ale jednomu makrostavu odpovídá nezměrné množství mikrostavů. Logaritmus počtu mikrostavů spadajících do makrostavu se nazývá jeho entropií. Přesněji řečeno, platí známý Boltzmannův vztah



kde Ω je objem fázového prostoru, který makrostav zahrnuje (tento objem je de facto "počet mikrostavů")*.

Čím více mikrostavů se v daném makrostavu nachází, tím méně přesně makrostav popisuje systém. Entropie tedy měří neznalost o systému: čím je větší, tím méně toho víme. Entropie makrostavu je maximální, pokud obsahuje všechny přípustné mikrostavy; jinak řečeno, makrostav s maximální energií nijak nespecifikuje, v jakém mikrostavu systém je*.

Mohlo by se zdát, že entropie je jakýsi imaginární koncept který souvisí jenom s popisem systému a je ryze subjektivní. Entropie je tím větší, čím méně toho pozorovatel o systému ví. Systém sám se ale nachází v jednom specifickém mikrostavu, a jeho entropie je minimální*.

Entropie ale není zcela subjektivní. Jestliže jsme omezeni na popis systému pomocí makroskopických veličin, narážíme na problém, že ne každý mikrostav jimi lze charakterizovat přesně. Ve výjimečných případech to jde - viz příklad krystalu při absolutní nule* - většinou ale makroskopické veličiny neizolují jediný mikrostav. I kdybychom znali přesné polohy a rychlosti všech molekul plynu v nádobě a mohli tak jeho stav lokalizovat v nezměrném 1024-rozměrném fázovém prostoru, nevměstnáme takto přesnou informaci do stručného výčtu hodnot teploty, tlaku a objemu.

Jeví se tak smysluplné mluvit nejen o entropii naší znalosti o systému, ale i o entropii systému samotného. Tu můžeme "definovat" jako entropii nejmenšího makrostavu, který systém v tu chvíli popisuje*. Mělo by také být jasné, jak tato entropie souvisí s intuitivně vnímanou uspořádaností: čím je systém uspořádanější, tím méně potřebujeme informací k jeho přesnému popisu.

Časový vývoj
Zákon růstu entropie říká, že necháme-li izolovaný systém volně vyvíjet, jeho entropie v průběhu času nebude klesat, ale může růst. To je jasné porušení symetrie času vůči inverzi, a vzniká tak otázka, jak je to možné.

Tak, jak se mikrostavy systému vyvíjejí s uplývajícím časem, jim přiřazené body ve fázovém prostoru se pohybují. Následujících dvě animace ilustrují fungování fázového prostoru na příkladu ideálního kyvadla.



Vlevo vidíme kyvadlo tak, jak se normálně jeví, se vyvíjet ze čtyř různých počátečních stavů lišících se rychlostí. Vpravo je potom zachycen pohyb odpovídajících bodů ve fázovém prostoru*. Souřadnice ve fázovém prostoru jsou úhel α určující výchylku od svislé polohy, a moment hybnost J, který je úměrný úhlové rychlosti. Velikost výchylky je omezena mezi -π/2 a π/2, což je znázorněno svislými čarami; pokud stav přeleze jednu z čar, objeví se na druhé straně*.

Kyvadlo sice není prototyp statistického systému, ale to neznamená, že na něm nelze ilustrovat ideu makrostavu. Znalost makrostavu kyvadla prostě odpovídá tomu, že lokalizaci kyvadla ve fázovém prostoru můžeme určit jenom přibližně, čili místo bodu tam budeme mít skvrnu. Každý bod nacházející se uvnitř skvrny bude přípustný mikrostav kyvadla, a logaritmus plošného obsahu skvrny bude entropie makrostavu.

Když necháme systém vyvíjet, bude se skvrna pohybovat podle těch zákonů, které určují pohyb bodů skvrnu tvořících. Můžeme pozorovat (viz animace*), že se skvrna deformuje a natahuje. Její plocha ale zůstává pořád stejná. Zachování plochy skvrny, vznešeněji řečeno fázového objemu, není specialita kyvadla, ale platí obecně. Tento fakt se nazývá Liovillovou větou. Platnost Liouvillovy věty má ale na pohled nepříjemný důsledek: entropie makrostavu se v průběhu času nemění. Jak je tedy možné, že v termodynamice entropie roste?



Vysvětlení spočívá v tom, že ne každá podmnožina fázového prostoru je dobrý makrostav. Vágně řečeno, makrostav musí mít jednoduché hranice, které se dají charakterizovat několika málo makroskopickými veličinami. Jednoduchost hranic se ale časovým vývojem nezachovává, jak jsme viděli na předcházející animaci, kde se kompaktní kapkovitá skvrna vyvinula v podlouhlého hada. Kdybychom nechali systém vyvíjet ještě o něco déle, had by hustě zaplnil celý prostor mezi trajektorií nejpomalejšího a nejrychlejšího mikrostavu ležícího uvnitř skvrny. Určit, zda bod ležící v této oblasti se nachází uvnitř, nebo naopak vně hada, vyžaduje vysokou přesnost výpočtu, a požadovaná přesnost roste s časem. Budeme-li chtít udržet popis systému jednoduchým, musíme zvolit nový makrostav, který obsahuje celého hada, ale je dostatečně jednoduchý. Tento makrostav je pochopitelně větší, a má vyšší entropii.

Předchozí odstavec ukazuje pouze to, že entropie může růst. Nijak z něj neplyne, že by to nemohlo být i naopak. Zákony, kterými se řídí pohyb bodů ve fázovém prostoru, jsou vratné; když si tedy pustíte všechny tři animace pozadu, neuvidíte nic, co by se příčilo přírodě. Stejně tak jako existují skvrny, které se vyvinou v hada, existují i hadi, ze kterých se časem stane kompaktní skvrna. Proč v přírodě kolem sebe pozorujeme to první a nenarážíme na to druhé budu diskutovat v příštím díle.


| následující část >>


Poznámky:
1. Obvykle se to takto vypráví, nicméně si Aristotelovým přesným názorem nejsem jist. (Aristotela přece jen více zajímalo proč se projektil pohybuje, než detaily tvaru trajektorie. Pozorované odchylky od ideální trajektorie mohl vysvětlovat působením větru a jiných nedokonalostí.) Jeho středověcí následovníci vytvořili teorii, jež užívala pojmu impetus. Impetus byla esence pohybu, kterou katapult projektilu dodal. Projektil pak nějakou dobu letěl po přímce, až nastal okamžik, kdy impetus začal vyprchávat, a projektil se pohyboval po kružnici. Jakmile impetus došel úplně, spadl projektil kolmo na zem; obrázek zde.
2. Z důvodu zajištění stručnosti se budu držet často používaného zjednodušení, ve kterém makrostav odpovídá množině mikrostavů splňujících určitou podmínku (příkladem takového makrostavu je tzv. mikrokanonický soubor, který je definován jako stav s jasně určenou hodnotou energie E; sestává ze všech mikrostavů, jejichž energie je přesně rovna E). Mnoho aplikací ale vyžaduje uvažovat obecnější definici makrostavu, kde je nejenom určeno, zda ten který mikrostav do daného makrostavu náleží, ale i s jakou pravděpodobností se v něm vyskytuje. K této obecnější definici budu pravděpodobně nucen se uchýlit v dalších článcích, ale pro dnešní diskusi je zjednodušený model dostatečný.

7 komentářů:

  1. Doporučoval bych místo obrázku

    http://latex.codecogs.com/gif.latex?m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}x^2}=F

    vložit obrázek

    http://latex.codecogs.com/gif.latex?m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=F

    OdpovědětSmazat
  2. Díky:); já na to čuměl dobrých pět minut a furt tam ten čas nemohl najít, tak jsem ten článek napoprvé vzdal s tím, že toto už asi nepochopím. Tedˇjsem se vrátil, pochopil a líbí. Počkám si na pokračování.

    OdpovědětSmazat
  3. Zajímavý pohled na entropii, těším se na další díl.

    Technická: Hvězdičky krátkých poznámek by nebylo špatné nějak odlišit, nikdy by mě nenapadlo držet nad nimi myš, když vypadají jako normální text. Navíc se nad nimi ani nezmění kurzor pro označení textu. (lze docílit CSS 'cursor: default;')

    OdpovědětSmazat
  4. Jo, hvězdičky by byly lepší větší, možná místo hvězdiček jiný (výraznější) symbol.
    Jinak je to pozitivní změna.

    A článek je zajímavý, vrhám se na druhou část :)

    OdpovědětSmazat
  5. ad předchozí komentář - poté, co jsem si přečetl začátek druhé části, si připadám jako debil (co se hvězdiček týče)...

    OdpovědětSmazat
  6. Žádný problém, člověk nemůže při čtení první části vědět, co bude v druhé.

    OdpovědětSmazat