Směr času II.

Na základě stížnosti v komentáři, týkající se nenápadnosti hvězdičkovaných poznámek užitých v minulém díle, budou hvězdičky umístěny v hranatých závorkách [*] a kurzor by se nad nimi měl měnit.

V minulém díle jsem popsal problém se směrem času: zatímco zákony řídící pohyb elementárních částic jsou symetrické vůči změně směru toku času, mnohé makroskopické jevy vykazují v tomto směru výraznou nesymetrii. Jedná se o všechny procesy zahrnující nějakým způsobem teplo. Týká se to nejen typicky termodynamických dějů, jako je chování parních strojů, ale i jevů, které patří do sféry zájmu jiných částí fyziky (tření, hystereze, elektrický nebo aerodynamický odpor), nebo dokonce mimo fyziku, tak jak je běžně chápána (chemické reakce, paměť). Na místě je ptát se po vysvětlení tohoto zdánlivého rozporu.

Při hledání odpovědi na tuto otázku je snadné narazit na zatemňující sofistiku, nebo přinejmenším na nepříliš jasné formulace. Například, známá učebnice Landaua a Lifšice z jinak velmi dobré série [*] učebnic tvrdí toto:

Statistická mechanika je sama o sobě plně symetrická vzhledem ke dvěma směrům času. Rovnice mechaniky zůstávají nezměněny, je-li čas t zaměněn za -t; pokud tyto rovnice dovolují jakýkoli konkrétní pohyb, dovolují proto i obrácený pohyb, ve kterém mechanický systém prochází stejnými konfiguracemi v opačném pořadí. Tato symetrie musí přirozeně být zachována ve statistice založené na klasické mechanice. Tudíž, pokud je možný jakýkoli konkrétní proces doprovázený vzrůstem entropie uzavřeného mechanického systému, obrácený proces, ve kterém entropie klesá, musí být také možný. Formulace zákona růstu entropie uvedená výše neprotiřečí této symetrii, protože mluví pouze o nejpravděpodobnějších důsledcích makroskopicky popsaného stavu. Jinými slovy, je-li dán určitý nerovnovážný makroskopický stav, zákon růstu entropie říká pouze to, že mezi všemi mikroskopickými stavy splňujícími daný makroskopický popis, velká většina vede k růstu entropie v následných okamžicích.

Je to pravda? Landau s Lifšicem na jedné straně přiznávají, že pokud existují mikrostavy, jejichž entropie roste [*], musí také existovat jiné mikrostavy jejichž entropie klesá; zároveň ale tvrdí, že symetrie nevynucuje žádný konkrétní závěr, jestliže uvažujeme statisticky, protože mikrostavů druhého typu je výrazně méně. To je ale absurdní. Časový vývoj je jednoznačný, v tom smyslu, že znalost mikrostavu v jednom okamžiku v principu umožňuje spočítat mikrostav v jiném okamžiku, ať už je tento okamžik umístěn v budoucnosti, nebo v minulosti. Cílových vysokoentropických stavů je tudíž přesně stejně tolik, jako počátečních nízkoentropických stavů, z kterých se tyto vyvinuly. A časová symetrie implikuje, že přesně stejné množství vysokoentropických stavů s časově invertovanými počátečními podmínkami [*] se vyvine do časově invertované podoby nízkoentropických stavů. Interpretováno tak, že možných stavů, které se vyvíjejí směrem k větší entropii, je více, než těch, jejichž vývoj entropii snižuje, je Landauovo vysvětlení nepravdivé.

Je možná nefér strefovat se do citátu z padesát let staré učebnice [1] (natož, když existuje smysluplná alternativní interpretace, kterou uvedu níže). Příklad ale zde uvádím proto, že jsem se už setkal se snahou vysvětlit nevratnost termodynamických procesů jako přímý důsledek (vratných) mikroskopických zákonů. Podobná zdůvodnění nebývají příliš průhledná a srozumitelná, protože ani nemohou být. Narušení symetrie vůči inverzi času nelze korektně odvodit z časově symetrických pravidel. K vysvětlení nevratnosti termodynamických zákonů je potřeba nějaký další, nezávislý postulát, který dopředný směr času privileguje.

Přirozeným kandidátem na takovou hypotézu by mohl být kvantový kolaps. Kolaps vlnové funkce je okamžitý proces, ke kterému dochází v okamžiku měření. Jestliže není kvantový systém v tzv. ostrém stavu [*], je měření nedeterministické, a může vrátit různé hodnoty s určitým rozdělením pravděpodobnosti. Ať už ale měření dopadne jakkoli, systém během něho „zkolabuje“ do ostrého stavu odpovídajícího naměřeným hodnotám (díky tomu, provedeme-li okamžitě opakované měření, naměříme stejné hodnoty). Kolaps není časově symetrický: není postulován opačný proces, kdy stav s ostrou hodnotou měřené pozorovatelné je okamžitě konvertován na neostrý stav.

Problém s kvantovým vysvětlením je ten, že je těžké jej formulovat nějak konkrétněji, než pouze v poněkud magickém tvaru „kolaps narušuje symetrii, a proto je symetrie v makroskopickém světě porušena“. Kolaps sám je jako základní postulát kvantové teorie dost problematický, protože se moc nesnáší s relativitou, a vyžaduje jasnou hranici mezi pozorovatelem a pozorovaným systémem (detailněji jsem psal zde). Dekoherenční interpretace (diskutoval jsem zde) výlučný pojem kolapsu postrádají a jsou tak o poznání konsistentnější. Kolaps je v rámci těchto interpretací pouze pomocný model, který se hodí k zjednodušenému popisu jisté třídy procesů, které vnímáme jako měření. Pro dekoherenční interpretace je ale typické postulovat procesy, ve kterých dojde ke korelaci stavu systému a stavu vědomí pozorovatele, přičemž výsledek zůstane v paměti pozorovatele uchován. Takové dynamiky jsou ale schopny pouze systémy s disipací [*]. Je tak pravděpodobné, že ačkoli kolaps s termodynamickou nevratností souvisí, logická struktura je opačná: kvantový kolaps je jejím důsledkem, nikoli příčinou.

Ještě jsem ale dlužen alternativní interpretaci Landaua a Lifšice. Nuže, tvrzení

„mezi všemi mikroskopickými stavy splňujícími daný makroskopický popis, velká většina vede k růstu entropie v následných okamžicích“

může být pravdivé, když spojení „všemi stavy“ nerozumíme ve smyslu „všemi přípustnými stavy“, ale „všemi stavy realizujícími se v přírodě“. To samozřejmě není totéž. Neexistuje žádný zásadní důvod, proč by se (u určitého typu izolovaných systémů) měly realizovat všechny možné stavy se stejnou pravděpodobností. Je jistě možné, že stavy se zvyšující se entropií se z nějakých důvodů vyskytují v přírodě častěji. Nezdá se, že by zvyšování entropie byl jev omezený na blízkou oblast vesmíru či krátký časový úsek. Jestliže se tedy entropie v celém Vesmíru od okamžiku jeho vzniku zvyšuje, znamená to, že na počátku byla neobvykle nízká [*], a tuto skutečnost lze vnímat jako příčinu růstu entropie. Je-li tomu tak, nabízí se ale přirozeně možnost, že růst entropie nevydrží věčně, a ve vývoji Vesmíru může nastat fáze, během které entropie bude naopak klesat.

Myšlenka, že růst entropie je banálním důsledkem počátečních podmínek, se ale také setkává s odporem. Jako ilustrace může sloužit článek Luboše Motla nazvaný příznačně „Myths about the arrow of time“ [*]. Článek stojí za přečtení přinejmenším proto, že je ideální ilustrací vzácného žánru fyzikálního pamfletu, kde autor označuje své odpůrce za hluboce zmatené, užívá „ilegálních“ řečnických figur (např. „většina talentovaných dvanáctiletých dětí ví“) a dokonce zmiňuje v bizarní souvislosti politickou korektnost.

Motlův hlavní argument [2] se zdá být ten, že tření a podobné nevratné procesy (vlajkovým příkladem je pak rozbíjení vajíček) se vyskytují všude ve vesmíru a vyskytovaly se vždy. Motl říká, že nízká počáteční entropie nemůže plně vysvětlovat termodynamickou nevratnost, protože

„...pořád by mohlo být pravda to, že celková entropie Vesmíru roste, ale ve 40% Vesmíru se vajíčka sbíjejí [*] Zbývajících 60% Vesmíru, kde se vajíčka rozbíjejí, by překompenzoval tuto anomálii. Věřte mi nebo ne, ale vajíčka se rozbíjejí v celém pozorovatelném Vesmíru a oblasti s opačnými šipkami času prostě nemohou koexistovat.“

Rozdělení Vesmíru v poměru 3:2 na dvě oblasti s opačnou šipkou času nízká počáteční entropie sice nevylučuje, jenže ani neimplikuje. Problém jsou Motlova hausnumera. Byla-li počáteční entropie dostatečně nízká, a entropii zvyšující procesy dostatečně pomalé, není důvod, proč by dnes poměr mezi četností entropii zvyšujících a snižujících procesů nemohl být 10²⁰:1, a ne Motlových 3:2 (a první poměr pozorovanou nevratnost velmi dobře vysvětluje). Implicitní předpoklad, že entropii snižující procesy by měly být soustředěny v nějakých výlučných oblastech, spíše než rovnoměrně rozloženy po celém vesmíru, je taktéž odůvodněn pouze touhou po vykreslení protivného názoru jako pokud možno co nejméně smysluplného. Celá Motlova argumentace pak není o moc víc, než odvolání se na intuici, která ale v tomto případě nefunguje. Všichni jsme viděli rozbití vejce, a nikdo neviděl, že by se vejce naopak sbilo. Proto nám představa sbití vejce připadá absurdní a toho se dá využít ke konstrukci zavádějícího argumentu. Že intuitivní smysl pro absurdnost není zrovna dobrý základ pro fyzikální argumenty, není snad třeba dodávat.

Zajímavé je podívat se, jak tedy Motl vysvětluje existenci privilegovaného směru času. Podle něho je celá asymetrie je zakódovaná v tom, že jinak mluvíme a uvažujeme o minulosti a jinak o budoucnosti:

„Všechny tvrzení, otázky a pravděpodobnosti o procesech týkajících se makroskopických předmětů zahrnují průměrování přes nerozlišitelné stavy v minulosti a sčítání přes nerozlišitelné stavy v budoucnosti. Předcházející věta je zřetelně nesymetrická vůči minulosti a budoucnosti, a odtud celá asymetrie přichází. Makroskopické systémy proto upřednostňují vývoj z makrostavů s málo nerozlišitelnými mikrostavy v minulosti (protože jsou průměrovány, přidávajíce faktor „1/N“) do makrostavů s mnohem více nerozlišitelnými mikrostavy v budoucnu (protože pravděpodobnost se přes ně sčítá). Proto entropie roste a druhý termodynamický zákon platí. Žádná další vysvětlení nejsou potřeba a žádná další vysvětlení neexistují.“

S průměrováním a sčítáním se to má následovně. Ptáme se, s jakou pravděpodobností se makrostav B vyvine za pět minut do makrostavu C. Makrostav B je souhrnné označení pro řadu mikrostavů b₁, b₂ ..., které se nám jeví nerozlišitelné; podobně C obsahuje mikrostavy c_i. Znalost mikroskopické dynamiky nám umožňuje stanovit pravděpodobnost [*], že se mikrostav b_i vyvine do mikrostavu c_j; označme tuto pravděpodobnost symbolem p(b_i→c_j). Pravděpodobnost, že B se vyvine v C je rovna



Číslo p(b_i) je pravděpodobnost, že systém popisovaný makrostavem B je ve skutečnosti v mikrostavu b_i; je-li všech N možných mikrostavů b_i stejně pravděpodobných, pak p(b_i) = 1/N. Protože ve vzorci vystupují pravděpodobnosti počátečních mikrostavů b_i, ale nikoli koncových c_i, mluvíme o středování přes počáteční stavy a sčítání přes koncové.

Povšimněte si, že nikde v předcházejícím odstavci nic neodkazuje na čas. Kritickým nedostatkem Motlovy argumentace je chybná identifikace toho, co v logice výše uvedeného vzorce rozlišuje makrostavy „počáteční“ od „koncových“, a tedy určuje, kde se bude sčítat a kde středovat. Stav se nestane (z hlediska rozlišení sčítání vs. středování) „počátečním“ proto, že je s ním asociována nižší hodnota proměnné t, ale proto, že je to výchozí stav výpočtu. Slovo „počáteční“ je tak samozřejmě matoucí; je lépe říct, že středujeme přes makrostav, který známe, a sčítáme přes ten neznámý. Kdybychom chtěli pro změnu spočítat, že náš makrostav B se během uplynulých pěti minut vyvinul ze stavu A, bude výsledek



Středování se tentokráte děje u pozdějšího stavu [3].

Tento díl tak ukončím konstatováním, že nesymetrie směrů času je důsledkem specifických podmínek na počátku existence Vesmíru. Konstatováním, které může vyvolávat další otázky; zejména jak vysvětlit, že počáteční podmínky byly tak specifické. To bude předmětem příštího dílu.

<< předcházející část | následující část >>


Poznámky:
1. Zrovna tento díl Landaua a Lifšice bych příliš nedoporučoval. Základní principy statistické fyziky se sice za posledních padesát let nezměnily, ale moderní přístup k výkladu je přeci jen elegantnější. Sovětská škola je navíc spíše zaměřená na schopnost dobře spočítat konkrétní problémy (o Landauovi samotném se vypráví, že nutil své studenty integrovat složité funkce z hlavy během chůze po chodbě), než na porozumění logické struktuře teorie, což může vysvětlovat, proč autoři diskusi našeho problému a jednoznačné formulaci svých myšlenek dle mého názoru nevěnovali dostatečnou pozornost.
2. Části Motlova článku jsou samozřejmě pravdivé. Nepolemizuji s jeho tvrzeními, že privilegovaný směr času nemá co dělat s gravitací, narušením CP nebo kvantovou mechanikou.
3. Je možné, že Motl byl zaveden na scestí nepochybným faktem, že otázky

1. Jaká je pravděpodobnost, že daný (pozdější) stav B se vyvinul z dřívějšího stavu A?
   
2. Jaká je pravděpodobnost, že daný (dřívější) stav A se vyvine do pozdějšího stavu B?
   

jsou různé, ačkoliv to nemusí být na první pohled patrné. Chybně pak usuzuje, že jsme povinni se omezit na otázky typu 2 (ve kterých středujeme přes A), zatímco otázky typu 1 (kde se středuje přes B) jsou z nějakého důvodu nemožné. Rozdíl mezi těmito dvěma typy otázek je ale prachobyčejné rozlišení mezi podmíněnými pravděpodobnostmi P(A|B) a P(B|A); nemá vůbec nic společného s časem.