sobota 29. ledna 2011

Směr času II.


Na základě stížnosti v komentáři, týkající se nenápadnosti hvězdičkovaných poznámek užitých v minulém díle, budou hvězdičky umístěny v hranatých závorkách [*] a kurzor by se nad nimi měl měnit.

V minulém díle jsem popsal problém se směrem času: zatímco zákony řídící pohyb elementárních částic jsou symetrické vůči změně směru toku času, mnohé makroskopické jevy vykazují v tomto směru výraznou nesymetrii. Jedná se o všechny procesy zahrnující nějakým způsobem teplo. Týká se to nejen typicky termodynamických dějů, jako je chování parních strojů, ale i jevů, které patří do sféry zájmu jiných částí fyziky (tření, hystereze, elektrický nebo aerodynamický odpor), nebo dokonce mimo fyziku, tak jak je běžně chápána (chemické reakce, paměť). Na místě je ptát se po vysvětlení tohoto zdánlivého rozporu.

Při hledání odpovědi na tuto otázku je snadné narazit na zatemňující sofistiku, nebo přinejmenším na nepříliš jasné formulace. Například, známá učebnice Landaua a Lifšice z jinak velmi dobré série [*] učebnic tvrdí toto:

Statistická mechanika je sama o sobě plně symetrická vzhledem ke dvěma směrům času. Rovnice mechaniky zůstávají nezměněny, je-li čas t zaměněn za -t; pokud tyto rovnice dovolují jakýkoli konkrétní pohyb, dovolují proto i obrácený pohyb, ve kterém mechanický systém prochází stejnými konfiguracemi v opačném pořadí. Tato symetrie musí přirozeně být zachována ve statistice založené na klasické mechanice. Tudíž, pokud je možný jakýkoli konkrétní proces doprovázený vzrůstem entropie uzavřeného mechanického systému, obrácený proces, ve kterém entropie klesá, musí být také možný. Formulace zákona růstu entropie uvedená výše neprotiřečí této symetrii, protože mluví pouze o nejpravděpodobnějších důsledcích makroskopicky popsaného stavu. Jinými slovy, je-li dán určitý nerovnovážný makroskopický stav, zákon růstu entropie říká pouze to, že mezi všemi mikroskopickými stavy splňujícími daný makroskopický popis, velká většina vede k růstu entropie v následných okamžicích.


Je to pravda? Landau s Lifšicem na jedné straně přiznávají, že pokud existují mikrostavy, jejichž entropie roste [*], musí také existovat jiné mikrostavy jejichž entropie klesá; zároveň ale tvrdí, že symetrie nevynucuje žádný konkrétní závěr, jestliže uvažujeme statisticky, protože mikrostavů druhého typu je výrazně méně. To je ale absurdní. Časový vývoj je jednoznačný, v tom smyslu, že znalost mikrostavu v jednom okamžiku v principu umožňuje spočítat mikrostav v jiném okamžiku, ať už je tento okamžik umístěn v budoucnosti, nebo v minulosti. Cílových vysokoentropických stavů je tudíž přesně stejně tolik, jako počátečních nízkoentropických stavů, z kterých se tyto vyvinuly. A časová symetrie implikuje, že přesně stejné množství vysokoentropických stavů s časově invertovanými počátečními podmínkami [*] se vyvine do časově invertované podoby nízkoentropických stavů. Interpretováno tak, že možných stavů, které se vyvíjejí směrem k větší entropii, je více, než těch, jejichž vývoj entropii snižuje, je Landauovo vysvětlení nepravdivé.

Je možná nefér strefovat se do citátu z padesát let staré učebnice [1] (natož, když existuje smysluplná alternativní interpretace, kterou uvedu níže). Příklad ale zde uvádím proto, že jsem se už setkal se snahou vysvětlit nevratnost termodynamických procesů jako přímý důsledek (vratných) mikroskopických zákonů. Podobná zdůvodnění nebývají příliš průhledná a srozumitelná, protože ani nemohou být. Narušení symetrie vůči inverzi času nelze korektně odvodit z časově symetrických pravidel. K vysvětlení nevratnosti termodynamických zákonů je potřeba nějaký další, nezávislý postulát, který dopředný směr času privileguje.

Přirozeným kandidátem na takovou hypotézu by mohl být kvantový kolaps. Kolaps vlnové funkce je okamžitý proces, ke kterému dochází v okamžiku měření. Jestliže není kvantový systém v tzv. ostrém stavu [*], je měření nedeterministické, a může vrátit různé hodnoty s určitým rozdělením pravděpodobnosti. Ať už ale měření dopadne jakkoli, systém během něho „zkolabuje“ do ostrého stavu odpovídajícího naměřeným hodnotám (díky tomu, provedeme-li okamžitě opakované měření, naměříme stejné hodnoty). Kolaps není časově symetrický: není postulován opačný proces, kdy stav s ostrou hodnotou měřené pozorovatelné je okamžitě konvertován na neostrý stav.

Problém s kvantovým vysvětlením je ten, že je těžké jej formulovat nějak konkrétněji, než pouze v poněkud magickém tvaru „kolaps narušuje symetrii, a proto je symetrie v makroskopickém světě porušena“. Kolaps sám je jako základní postulát kvantové teorie dost problematický, protože se moc nesnáší s relativitou, a vyžaduje jasnou hranici mezi pozorovatelem a pozorovaným systémem (detailněji jsem psal zde). Dekoherenční interpretace (diskutoval jsem zde) výlučný pojem kolapsu postrádají a jsou tak o poznání konsistentnější. Kolaps je v rámci těchto interpretací pouze pomocný model, který se hodí k zjednodušenému popisu jisté třídy procesů, které vnímáme jako měření. Pro dekoherenční interpretace je ale typické postulovat procesy, ve kterých dojde ke korelaci stavu systému a stavu vědomí pozorovatele, přičemž výsledek zůstane v paměti pozorovatele uchován. Takové dynamiky jsou ale schopny pouze systémy s disipací [*]. Je tak pravděpodobné, že ačkoli kolaps s termodynamickou nevratností souvisí, logická struktura je opačná: kvantový kolaps je jejím důsledkem, nikoli příčinou.

Ještě jsem ale dlužen alternativní interpretaci Landaua a Lifšice. Nuže, tvrzení

„mezi všemi mikroskopickými stavy splňujícími daný makroskopický popis, velká většina vede k růstu entropie v následných okamžicích“

může být pravdivé, když spojení „všemi stavy“ nerozumíme ve smyslu „všemi přípustnými stavy“, ale „všemi stavy realizujícími se v přírodě“. To samozřejmě není totéž. Neexistuje žádný zásadní důvod, proč by se (u určitého typu izolovaných systémů) měly realizovat všechny možné stavy se stejnou pravděpodobností. Je jistě možné, že stavy se zvyšující se entropií se z nějakých důvodů vyskytují v přírodě častěji. Nezdá se, že by zvyšování entropie byl jev omezený na blízkou oblast vesmíru či krátký časový úsek. Jestliže se tedy entropie v celém Vesmíru od okamžiku jeho vzniku zvyšuje, znamená to, že na počátku byla neobvykle nízká [*], a tuto skutečnost lze vnímat jako příčinu růstu entropie. Je-li tomu tak, nabízí se ale přirozeně možnost, že růst entropie nevydrží věčně, a ve vývoji Vesmíru může nastat fáze, během které entropie bude naopak klesat.

Myšlenka, že růst entropie je banálním důsledkem počátečních podmínek, se ale také setkává s odporem. Jako ilustrace může sloužit článek Luboše Motla nazvaný příznačně „Myths about the arrow of time“ [*]. Článek stojí za přečtení přinejmenším proto, že je ideální ilustrací vzácného žánru fyzikálního pamfletu, kde autor označuje své odpůrce za hluboce zmatené, užívá „ilegálních“ řečnických figur (např. „většina talentovaných dvanáctiletých dětí ví“) a dokonce zmiňuje v bizarní souvislosti politickou korektnost.

Motlův hlavní argument [2] se zdá být ten, že tření a podobné nevratné procesy (vlajkovým příkladem je pak rozbíjení vajíček) se vyskytují všude ve vesmíru a vyskytovaly se vždy. Motl říká, že nízká počáteční entropie nemůže plně vysvětlovat termodynamickou nevratnost, protože

„...pořád by mohlo být pravda to, že celková entropie Vesmíru roste, ale ve 40% Vesmíru se vajíčka sbíjejí [*] Zbývajících 60% Vesmíru, kde se vajíčka rozbíjejí, by překompenzoval tuto anomálii. Věřte mi nebo ne, ale vajíčka se rozbíjejí v celém pozorovatelném Vesmíru a oblasti s opačnými šipkami času prostě nemohou koexistovat.“

Rozdělení Vesmíru v poměru 3:2 na dvě oblasti s opačnou šipkou času nízká počáteční entropie sice nevylučuje, jenže ani neimplikuje. Problém jsou Motlova hausnumera. Byla-li počáteční entropie dostatečně nízká, a entropii zvyšující procesy dostatečně pomalé, není důvod, proč by dnes poměr mezi četností entropii zvyšujících a snižujících procesů nemohl být 1020:1, a ne Motlových 3:2 (a první poměr pozorovanou nevratnost velmi dobře vysvětluje). Implicitní předpoklad, že entropii snižující procesy by měly být soustředěny v nějakých výlučných oblastech, spíše než rovnoměrně rozloženy po celém vesmíru, je taktéž odůvodněn pouze touhou po vykreslení protivného názoru jako pokud možno co nejméně smysluplného. Celá Motlova argumentace pak není o moc víc, než odvolání se na intuici, která ale v tomto případě nefunguje. Všichni jsme viděli rozbití vejce, a nikdo neviděl, že by se vejce naopak sbilo. Proto nám představa sbití vejce připadá absurdní a toho se dá využít ke konstrukci zavádějícího argumentu. Že intuitivní smysl pro absurdnost není zrovna dobrý základ pro fyzikální argumenty, není snad třeba dodávat.

Zajímavé je podívat se, jak tedy Motl vysvětluje existenci privilegovaného směru času. Podle něho je celá asymetrie je zakódovaná v tom, že jinak mluvíme a uvažujeme o minulosti a jinak o budoucnosti:

„Všechny tvrzení, otázky a pravděpodobnosti o procesech týkajících se makroskopických předmětů zahrnují průměrování přes nerozlišitelné stavy v minulosti a sčítání přes nerozlišitelné stavy v budoucnosti. Předcházející věta je zřetelně nesymetrická vůči minulosti a budoucnosti, a odtud celá asymetrie přichází. Makroskopické systémy proto upřednostňují vývoj z makrostavů s málo nerozlišitelnými mikrostavy v minulosti (protože jsou průměrovány, přidávajíce faktor „1/N“) do makrostavů s mnohem více nerozlišitelnými mikrostavy v budoucnu (protože pravděpodobnost se přes ně sčítá). Proto entropie roste a druhý termodynamický zákon platí. Žádná další vysvětlení nejsou potřeba a žádná další vysvětlení neexistují.“


S průměrováním a sčítáním se to má následovně. Ptáme se, s jakou pravděpodobností se makrostav B vyvine za pět minut do makrostavu C. Makrostav B je souhrnné označení pro řadu mikrostavů b1, b2 ..., které se nám jeví nerozlišitelné; podobně C obsahuje mikrostavy ci. Znalost mikroskopické dynamiky nám umožňuje stanovit pravděpodobnost [*], že se mikrostav bi vyvine do mikrostavu cj; označme tuto pravděpodobnost symbolem p(bi→cj). Pravděpodobnost, že B se vyvine v C je rovna



Číslo p(bi) je pravděpodobnost, že systém popisovaný makrostavem B je ve skutečnosti v mikrostavu bi; je-li všech N možných mikrostavů bi stejně pravděpodobných, pak p(bi) = 1/N. Protože ve vzorci vystupují pravděpodobnosti počátečních mikrostavů bi, ale nikoli koncových ci, mluvíme o středování přes počáteční stavy a sčítání přes koncové.

Povšimněte si, že nikde v předcházejícím odstavci nic neodkazuje na čas. Kritickým nedostatkem Motlovy argumentace je chybná identifikace toho, co v logice výše uvedeného vzorce rozlišuje makrostavy „počáteční“ od „koncových“, a tedy určuje, kde se bude sčítat a kde středovat. Stav se nestane (z hlediska rozlišení sčítání vs. středování) „počátečním“ proto, že je s ním asociována nižší hodnota proměnné t, ale proto, že je to výchozí stav výpočtu. Slovo „počáteční“ je tak samozřejmě matoucí; je lépe říct, že středujeme přes makrostav, který známe, a sčítáme přes ten neznámý. Kdybychom chtěli pro změnu spočítat, že náš makrostav B se během uplynulých pěti minut vyvinul ze stavu A, bude výsledek



Středování se tentokráte děje u pozdějšího stavu [3].

Tento díl tak ukončím konstatováním, že nesymetrie směrů času je důsledkem specifických podmínek na počátku existence Vesmíru. Konstatováním, které může vyvolávat další otázky; zejména jak vysvětlit, že počáteční podmínky byly tak specifické. To bude předmětem příštího dílu.


<< předcházející část | následující část >>


Poznámky:
1. Zrovna tento díl Landaua a Lifšice bych příliš nedoporučoval. Základní principy statistické fyziky se sice za posledních padesát let nezměnily, ale moderní přístup k výkladu je přeci jen elegantnější. Sovětská škola je navíc spíše zaměřená na schopnost dobře spočítat konkrétní problémy (o Landauovi samotném se vypráví, že nutil své studenty integrovat složité funkce z hlavy během chůze po chodbě), než na porozumění logické struktuře teorie, což může vysvětlovat, proč autoři diskusi našeho problému a jednoznačné formulaci svých myšlenek dle mého názoru nevěnovali dostatečnou pozornost.
2. Části Motlova článku jsou samozřejmě pravdivé. Nepolemizuji s jeho tvrzeními, že privilegovaný směr času nemá co dělat s gravitací, narušením CP nebo kvantovou mechanikou.
3. Je možné, že Motl byl zaveden na scestí nepochybným faktem, že otázky

  1. Jaká je pravděpodobnost, že daný (pozdější) stav B se vyvinul z dřívějšího stavu A?
  2. Jaká je pravděpodobnost, že daný (dřívější) stav A se vyvine do pozdějšího stavu B?

jsou různé, ačkoliv to nemusí být na první pohled patrné. Chybně pak usuzuje, že jsme povinni se omezit na otázky typu 2 (ve kterých středujeme přes A), zatímco otázky typu 1 (kde se středuje přes B) jsou z nějakého důvodu nemožné. Rozdíl mezi těmito dvěma typy otázek je ale prachobyčejné rozlišení mezi podmíněnými pravděpodobnostmi P(A|B) a P(B|A); nemá vůbec nic společného s časem.

7 komentářů:

  1. Moc pěkný článek. Se spojením kolapsu vlnové funkce a šipky času jsem se poprvé setkal v knize The Physical Basis of The Direction of Time (H. D. Zeh), kde autor velice pěkně vysvětluje spojení šipek času plynoucích z růstu entropie (termodynamická), nevratnosti kolapsu vlnové funkce, nesymetrii v použití retardované a advancované Greenovy funkce pro elektromagnetismus a některých dalších. Ukazuje tam, že ve skutečnosti je časová nesymetrie vždy nakonec spojená s termodynamickou šipkou času.

    U toho kolapsu proto, že převažují procesy, při kterých se v okolí uloží informace o tom, v jakém ze superponovaných stavů se stav nacházel, oproti procesům, kdy se tato informace zapomene. (Chápu to asi tak, že příprava čistého stavu je zároveň příprava do stavu s nízkou entropií - v termální rovnováze je všechno entangolováno se vším a čisté stavy se zde typicky nevyskytují, takže ani nepozorujeme asymetrický kolaps.)

    OdpovědětSmazat
  2. Dík za komentář. Zeha jsem nečetl, dá se to někde stáhnout?

    Moc nechápu vaši poznámku o přípravě čistého stavu. Můžete rozvést?

    OdpovědětSmazat
  3. S tím čistým stavem to odnikud přímo necituji, spíš je to moje interpretace přečtené literatury, takže to taky může být špatně, ale myšlenka je, že když budu mít n-hladinový systém, který připravím tak, že se bude nacházet v čistém stavu (redukovaný operátor hustoty |i>|okolí> do stavu, kdy je systém s okolím entanglovaný a pokud přes stupně volnosti okolí středuji, na Hilbertově prostoru systému pozoruji kolaps vlnové funkce.

    Můžu se na to dívat tak, že došlo ke kolapsu vlnové funkce, který je jednosměrný, ale skutečnou příčinou je IMHO fakt, že stavy ve tvaru direktního součinu |systém>|okolí> (které popíšu jako čisté stavy) jsou vzácné a tedy v nich systém podle ergodického teorému stráví málo času. Pokud chci čistý stav |systém>|okolí> připravit, musím na to vynaložit nějakou energii a tedy někde zvednout entropii. (Podobným mechanismem, jako na zpracování jednoho bitu informace "spotřebuji" k_B log 2 entropie.) Pokud bychom byli v tepelné rovnováze, stavy |systém>|okolí> se téměř nebudou vyskytovat a otázka jakým směrem probíhá kolaps vlnové funkce ztratí význam. (Žádný pozorovat nebudeme, protože k samotnému aktu pozorování musíme být mimo tepelnou rovnováhu.)

    http://tinyurl.com/6xcoc2s (Časem to dám pryč - myslím, že to je ono, možná jen v trochu starší verzi.)

    OdpovědětSmazat
  4. Pardon, někde se mi tam při kopírování komentáře asi ztratilo pár řádek, mělo to být:

    ..., ale myšlenka je, že když budu mít n-hladinový systém, který připravím tak, že se bude nacházet v čistém stavu (redukovaný operátor hustoty |i><i| nebo superpozice takových stavů), pak pokud je v interakci s okolím, časem přejde do statistické směsi stavů exp(-H/k_B T)/norma, tedy do stavu, kdy je systém s okolím entanglovaný a pokud přes stupně volnosti okolí středuji, na Hilbertově prostoru systému pozoruji kolaps vlnové funkce.

    (následoval zbytek komentáře)

    Nechápu, kde se mi ten kus textu ztratil..

    OdpovědětSmazat
  5. Díky za PDF.

    Komentář o zvedání entropie si musím ještě promyslet. Přijde mi, že argument o nulové míře množiny tensorových součinů v rámci Hilbertova prostoru lze aplikovat i na případy systémů nestatistické povahy, kde máme vše pod kontrolou a nemusíme je popisovat pomocí smíšených stavů.

    OdpovědětSmazat
  6. Teď jsem se díval na tu knihu znovu a myslím, že nejzajímavější související diskuse je na stranách 130-132 toho pdf. (Závěr 4. kapitoly.)

    K tomu poslednímu komentáři - myslím, že ano. Pokud vyjdu z Everettovy interpretace, tak vesmír je popsán čistým stavem. Jako takový má entropii nulovou a ta se během jeho časové evoluce zachovává. Co se mění je podle mne entropie typických podsystémů vesmíru, jejichž operátor hustoty dostanu vystředováním přes stupně volnosti zbytku vesmíru. Myslím, že Zeh to na zmiňovaných stranách popisuje jako zvyšování kvantových korelací mezi podsystémy, což znamená, že vesmír na počátku musel být ve speciálním stavu, kdy tato korelace byla nízká. (Eq. 4.56)

    Osobně mi chybí ještě trochu formálnější popis, ale myšlenka takovéhoto spojení termodynamiky a kolapsu vlnové funkce mi přijde hodně zajímavá a motivující.

    OdpovědětSmazat
  7. Zdravím. O druhém termodynamickém zákoně čas od času přemýšlím a měl bych dvě otázky, jednu týkající se tohoto článku a druhou trochu mimo.

    Neplatí náhodou, že vzrůst entropie je daleko pravděpodobnější než pokles, nehledě na to, jak vysoká entropie systému v daném okamžiku je? Vajíčka se nezačnou z čista jasna sbíjet ani v systému, kde jich je miliarda rozbitých a žádné v celku, nebo ne? I kdybychom si představili systém s velmi vysokou entropií, který dokážeme konec konců celkem dobře připravit, představme si třeba dokonale odizolovanou krabici z netečného materiálu s plynem uvnitř, pak se s největší pravděpodobností makroskopické veličiny popisující stav plynu uvnitř nebudou vůbec měnit. I když entropie takového systému může trochu fluktuovat, je velmi nepravděpodobné, že začne najednou prudce klesat, i když je tak vysoká. Souhlasím s tím, že entropie vesmíru na jeho počátku musela být velmi nízká, ale odvozuji tak spíš z faktu, že je celkem nízká i teď.

    Druhou otázkou je, zda lze druhý termodynamický zákon zobecnit i na systémy, kde se neprojevuje pouze termodynamika. V makroskopickém měřítku lze těžko z prostředí pouze brát teplo a přeměňovat ho na energii nějakým způsobem podobným tepelnému stroji. Člověk si ovšem může snadno představit trpaslíky vyrábějící energii z kinetické energie molekul poletujících kolem nich. Nebo co třeba využít tepelného záření. Představme si homogenní vesmír o teplotě třeba tisíc stupňů, v něm fotovoltaický článek připojený na o kus dál ležící přímotop. V takovém systému musí klesat entropie. (Ledaže by fotovoltaické články z nějakého fyzikálního principu nemohly využívat záření o teplotě, na kterou jsou samy zahřáty.) Nebo co třeba využít gravitační síly? Předchozí odstavec jsem chtěl zakončit tím, že kdyby byl celý vesmír vyplněn homogenní hmotou, tak by z ní těžko najednou začaly vznikat planety, pak mi ale došlo, že by možná klidně mohly. Taková hmota by totiž byla ovlivňována gravitační silou a drobné nerovnosti způsobené neuspořádaným pohybem částic by mohly být zesíleny gravitační silou a mohly by tak dát vzniknout složitějším strukturám.

    Můj dojem je tedy takový, že entropie může růst i klesat, ovšem jsou děje, které podporují růst entropie a jsou děje, které podporují její pokles. Například při termodynamických dějích obecně entropie neklesá, protože je krajně nepravděpodobné, aby klesala. Tedy alespoň entropie ve smyslu neuspořádanost. Kdyby gravitační síla byla daleko silnější, nejspíš by celý svět směřoval ke spojování částic dohromady spíš než k neuspořádanosti. Pokud definujeme růst entropie, jako „přiblížení ke stabilnějšímu stavu“, pak je možné, že entropie roste stále. Trochu tak přeformuluje svůj závěr. Existují jistě dynamické systémy, jako krabice s plynem, které vedou k neuspořádanosti, lze si představit systémy, které vedou ke shlukování částic, s trochou nadsázky třeba i systémy, kde nejstabilnějším objektem jsou slepičí vejce. Je však podle mě dost možné, že tak složitý systém, jako náš vesmír, vykazuje natolik chaotické chování, že nemá žádný stabilní stav a v některých jeho částech může docházet ke zvětšování neuspořádanosti, jsou ale určitě části vesmíru, kde všechno padá do nedaleké černé díry.

    Nejsem zatím příliš fyzikálně vzdělán maje za sebou pouze středoškolské vzdělání, takže je možné, že mé úvahy jsou plné chyb. Stejně Vás prosím o zodpovězení otázek a názor na můj příspěvek.

    OdpovědětSmazat