středa 16. února 2011

Směr času III.


V minulém díle vyvstala otázka po příčině toho, že Vesmír na svém počátku měl nízkou entropii. Slíbil jsem, že se k otázce vrátím, a činím tak dnes.

Především, otázky tohoto typu jsou těžké. Ani ne tak moc protože by vyžadovaly neobvyklé či rozsáhlé znalosti; spíš protože zavádějí do říše spekulativního dumání o prvotních příčinách. Svým způsobem by se mohlo zdát legitimní tuto otázku zahrnout do stejné skupiny s teologickým „jaká je příčina vesmíru“ či metlou filosofie „proč vůbec něco existuje“. Ve všech těchto případech se ptáme na jedinečnou událost, a je prakticky vyloučené, že by se navržené řešení problému dalo přímo experimentálně ověřit.

Když jsem před rokem psal proti antropickému principu, pokoušel jsem se vymezit, co vlastně je možno považovat za platné vysvětlení určitého faktu. Můj názor tehdy byl - a stále je - že vysvětlení musí přinášet novou informaci. K tomu, aby X bylo dobré vysvětlení Y nestačí, že X → Y: výrok Y → Y je pravdivý pro všechna představitelná Y, přeto bylo by absurdní říkat „entropie roste, protože entropie roste“. Aby X bylo vysvětlením Y, musí

  1. buď X být jednodušší (úsporněji, či elegantněji formulované), než Y,
  2. nebo být obecnější než Y, tj. mít i jiné důsledky, které z Y samotného neplynou.

Podmínka X → Y přitom není nutná; stačí, když X zvyšuje pravděpodobnost Y, tedy P(Y|X) > P(Y). Vysvětlení evoluce pomocí teorie přirozeného výběru je příklad převážně prvního typu: přirozený výběr je relativně jednoduchý princip který výrazně omezuje způsob, jakým se organismy vyvíjejí (byť směr vývoje neurčuje jednoznačně). Vysvětlení padání jablek pomocí gravitačního zákona spadá spíše do druhé škatulky, protože gravitační zákon neimplikuje pouze fakt, že jablka padají k zemi, ale i konkrétní zrychlení při pádu, padání ostatních předmětů, pohyby planet a další jevy [*].

Mám trochu potíž představit si vysvětlení nízké počáteční entropie vyhovující prvnímu uvedenému kritériu, protože „Vesmír měl nízkou počáteční entropii“ je relativně jednoduché tvrzení [*]. U druhého kritéria se mi jeví šance přijatelněji, je docela dobře možné, že vypozorujeme nějakou obecně platnou zákonitost, z které by nízká entropie počátečního stavu Vesmíru vyplývala. Určitě jsou vyhlídky na nalezení smysluplné odpovědi lepší, než u otázky „proč vůbec něco existuje“.

Považuji tedy otázku po příčinách nízké počáteční entropie za v zásadě smysluplnou. Přesto, není mi známa žádná odpověď, jež by se kvalifikovala jako vysvětlení prvního či druhého popsaného typu. Naštěstí ale existuje ještě jeden typ „vysvětlení“:

  1. X je platnou odpovědí na otázku po vysvětlení Y, pokud z X plyne, že Y nevyžaduje vysvětlení.

Tento druh „vysvětlení“, který Angličané označují frází explain away, jež pravděpodobně nemá elegantní český ekvivalent, způsobuje to, že namísto odpovědi na kladenou otázku získáme náhled, že tato otázka nemá smysl. Pátrá-li někdo seriózně po tom, jak funguje astrologie, dobere se pravděpodobně podobného „negativního vysvětlení“: astrologie nefunguje. Ne vždycky je možná podobobě lakonická formulace. Složitější negativní vysvětlení zpravidla vyžadují pečlivou demonstraci důvodů, proč neplatí některé intuice, proč daný problém vyžaduje jiný přístup, jakých chyb v úsudku bránících pochopení se obvykle dopouštíme atd.

Pro specifickou orientaci (nebo, chcete-li, šipku) času se přinejmenším jedno negativní vysvětlení nabízí: šipka času je definována směrem růstu entropie. Toto vysvětlení je velmi prosté a má svou logiku: pokud jediný způsob, jak odlišit dopředný směr času od opačného je pozorováním termodynamických systémů, pak není důvod, proč očekávat, že v přírodě existuje nezávislá asymetrie, která shodou okolností bude privilegovat stejný směr. Největším problémem pro toto vysvětlení je naše intuitivní vnímání času jako něčeho absolutního a nezávislého na hmotě. Máme proto sklon si myslet: I kdyby směr růstu entropie byl ve směru do minulosti, naše vnímání času by bylo stále stejné jako dnes - tedy pamatovali bychom si minulost, nikoli budoucnost. Taková úvaha je ale neplatná, protože naše vnímání času existuje pouze v rámci mozku, který podléhá stejným termodynamickým zákonitostem, jako veškerá hmota kolem. Pokud by entropie světa rostla směrem do „minulosti“, pak by i entropie našeho mozku rostla směrem do „minulosti“, a pamatovali bychom si „budoucnost“ (slova „minulost“ a „budoucnost“ píšu do uvozovek, protože v popsaném hypotetickém případě by měly přesně opačné významy - ve skutečnosti by se svět jevil úplně stejný, jako je dnes).

Tím jsme ale nevyřešili otázku, proč entropie vůbec v nějakém směru roste, a proč byla tedy nízká na počátku existence Vesmíru. I zde ale existuje určitá volnost pro negativní vysvětlení, spočívající v manipulaci s časem, kterou se pokusím nastínit.

Od nejstarších dob byl čas vnímán jako něco naprosto nezávislého od materiálního světa. Čas plyne všude stejně rychle, bez ohledu na chování předmětů. Když Newton formuloval své pohybové zákony, považoval čas za absolutní veličinu, která univerzálně parametrizuje pohyb všech objektů. Celá mechanika je o zodpovídání otázek o časovém vývoji:

  • A. „v čase t0 je Jupiter v bodě x0, v jakém bodě bude Jupiter v čase t1?“

Samozřejmě se můžeme ptát i opačně,

  • B. „v jakém okamžiku dojde Jupiter do bodu x1?“

tato otázka ale není moc přirozená; koneckonců se může docela dobře stát, že Jupiter při svém putování prostorem nikdy do bodu x1 nedorazí, nebo jím naopak projde opakovaně; zatímco otázka na polohu ve specifickém čase má garantovanou jednoznačnou odpověď. V tomto systému je pozice x vlastností Jupitera, zatímco čas t je jakýsi vnější parametr, který s Jupiterem nemá nic moc společného. Ve fundamentálních rovnicích mechaniky je neznámou funkce x(t); roli závislé proměnné může nahradit jiná dynamická veličina - energie, hybnost, síla... - ale nezávislou proměnnou je vždy čas.

Specifická role času ve fyzikálním formalismu začala způsobovat potíže s objevením se teorie relativity a kvantové mechaniky. V prvním případě z toho důvodu, že čas ztratil svůj absolutní charakter. Ukázalo se například, že pojem časového intervalu uplynuvšího mezi dvěma událostmi není možné smysluplně jednoznačně definovat: různí pozorovatelé naměří různé časy, byť pro ně platí stejné fyzikální zákony. V druhém případě problém vznikl tím, že v kvantovém formalismu dynamické proměnné již nejsou reprezentovány čísly, ale lineárními operátory, zatímco čas zůstal ve své staré podobě číselného parametru. Běžně užívaný kvantový formalismus je díky tomu velmi dobře uzpůsoben pro otázky typu A, zatímco odpovídat na otázky typu B (a obecně cokoli co se týká měření času) je očistec. No a když přijde řeč na kombinaci kvantové mechaniky a teorie relativity, objeví se různé nepříjemné paradoxy.

Část problémů vymizí, přejde-li se od mechaniky k teorii pole, kde prostorové souřadnice hrají stejnou roli jako čas. Přesto, je téměř bezesporné, že žádná prostoročasová souřadnice (tedy ani x, ani t) nemá absolutní fyzikální význam. Víme to především kvůli platnosti obecné teorie relativity. Obecná relativita se vyznačuje symetrií, která se nazývá obecná kovariance, a říká, že nezávisle na tom, jaké vybereme souřadnice pro popis časoprostoru, rovnice mají pořád stejný tvar. V newtonovské fyzice máme svobodu mnohem omezenější: můžeme otáčet a posouvat prostorovými osami a měnit jednotky délky, a můžeme zvlášť posouvat časovou osu a měnit jednotky času. Když ale začneme mixovat časové a prostorové proměnné, jako například při přechodu do rotující souřadné soustavy, což de facto není nic jiného, než změna souřadnic v časoprostoru



změna nás nutí zavést korekci do Newtonových zákonů v podobě odstředivé a Coriolisovy síly. Natož kdybychom provedli nějaké větší zvěrstvo, například nahradili x a t novými proměnnými a, b podle



Původní rovnice pohybu, v nepřítomnosti síly triviální d2x/dt2 = 0, by se pak změnila k nepoznání na [*]



Formalismus obecné relativity je ale zkonstruován tak, že ani jedna z těchto změn souřadnic, ani jakákoli jiná změna, tvar fyzikálních zákonů nemění. Od proměnných x, y, z, t můžeme tak přejít k jiným proměnným, třeba a, b, c, d, a všechny fundamentální fyzikální zákony zůstanou, jak byly. V Newtonovské fyzice máme možnost rozlišit mezi oběma sadami souřadnic, a můžeme jednoznačně určit, která z nich hraje roli času, právě požadavkem na určitý tvar pohybových zákonů. Mimo jiné to znamená, že v čtyřrozměrném newtonovském prostoročasu každá událost (tj. bod v prostoročasu) jednoznačně určuje třírozměrný podprostor s ní současných událostí. V relativistickém prostoročase současnost jednoznačně definována není.

Vraťme se teď na moment k popisu makrostavů ve statistické fyzice. V minulých dílech jsem vycházel ze zjednodušené představy, že makrostav je množina mikrostavů - čím více mikrostavů se uvnitř makrostavu nachází, tím méně přesně je makrostav určen a tím vyšší má entropii. Ve skutečnosti se ale vyplatí uvažovat o něco obecnější definici makrostavu, ve které má každý mikrostav s navíc přiřazenou váhu ρ(s). Tu můžeme chápat jako pravděpodobnost, že systém v daném makrostavu se ve skutečnosti nachází ve stavu s. Entropie je pak definována formulí



Makrostav je tak zřetelně definován funkcí ρ. Dříve užitá definice makrostavu je pouze speciálním případem s konstantním ρ na nějaké podmnožině fázového prostoru, a nulovým na zbytku.

Extrémně oblíbeným (tj. důležitým) druhem makrostavu je tzv. kanonický soubor. Kanonický soubor je makrostav, který má nejvyšší entropii mezi všemi makrostavy se zvolenou střední energií. Energii na mikrostavech měří Hamiltonova funkce H(s) (zkráceně Hamiltonián), a kanonický soubor má



Číslo Z je prozatím nezajímavá konstanta zaručující, že integrál z ρ je roven jedné a T má význam teploty daného makrostavu [*]. Podstatnější ale je Hamiltonián H. Pomocí něho, s užitím Hamiltonových rovnic, lze spočítat časový vývoj systému. A to jednoznačně, bez jakýchkoli pochyb o tom, jaká proměnná hraje roli času.

Hamiltonovský formalismus totiž narušuje relativistické symetrie. Pokud jej používáme pro popis relativistického systému, vybereme nejdřív, jakou proměnnou budeme považovat za čas, a potom zkonstruujeme Hamiltonián (výsledek bude záviset na volbě času). Pak můžeme nadefinovat rozdělovací funkci ρ kanonického souboru (výsledek opět závisí na tom, jak jsme zvolili čas). Vtip je v tom, že to lze i obráceně - z ρ spočítat H, a odtud určit, jaká proměnná hraje roli času.

Postulát statistické mechaniky říkající, že každý systém, necháme-li jej svému osudu, se vyvine do stavu s maximální entropií - což zpravidla znamená do kanonického souboru - se tak začíná jevit mnohem prázdnějším, než by se mohlo zdát na první pohled. Ať už se totiž systém vyvine do jakéhokoli makrostavu, z jeho rozdělovací funkce vždy můžeme spočítat Hamiltonián a určit časovou proměnnou tak, aby tento makrostav byl kanonickým souborem. Entropie tak vlastně roste vždy a za jakýchkoli okolností jenom díky tomu, že to, co je subjektivně vnímáno jako čas, je určeno termodynamickými vlastnostmi světa. Toto je v zásadě Rovelliho hypotéza termálního času.

Hypotéza termálního času není asi úplně neprůstřelná ani definitivní. (Napadá mě řada námitek, ale jednak je nemám moc promyšlené, a dnešní článek jest už dost dlouhý i tak, takže je sem nebudu psát.) Přesto nabízí zajímavou perspektivu pro pohled na otázku směru času.



<< předcházející část |


Poznámky:
Dnes tu nic není!

3 komentáře:

  1. Dobrej post. Stejně by mě ale zajímalo, jak je to teda tom mozku zařízený, že když subjektivně vnímá směr času, tak přitom vlastně nějak měří růst entropie.

    Tamty obscurní souřadnice a, b sis vycucal z prstu, nebo se někde skutečně používají?

    Jo a mimochodem, možná by bylo vhodnější u odkazovaných článků, které se vyskytují též na arXivu, dávat spíše ten arXivovský odkaz. No, ale aspoň jsem se takhle dozvěděl, že existuje něco jako "Ústav základních otázek".

    OdpovědětSmazat
  2. Ha! Dával jsem sem komentář, pár minut tady byl, ale pak zmizel. Tak znovu:

    Dobrej post. Stejně by mě ale zajímalo, jak je to v tom mozku zařízený, že když si subjektivně uvědomuje směr času, tak přitom vlastně nějak měří růst entropie.

    Ty obscurní souřadnice a, b sis vycucal z prstu, nebo se někde skutečně používají?

    Jo a mimochodem, možná by bylo vhodnější u odkazovaných článků, které se vyskytují též na arXivu, uvádět spíše ten arXivovský odkaz. No, ale aspoň jsem se takhle dozvěděl, že existuje něco jako "Ústav pro základní otázky".

    OdpovědětSmazat
  3. Spamový filtr tvoje komentáře z nějakého důvodu klasifikoval jako spam. Oba dva. Nevím proč. Je to poprvé, co zde k něčemu podobnému došlo. (Mimochodem, pokud se to stane, doporučuji použít v opakovaném komentáři jiné formulace, jinak je vysoká pravděpodobnost, že i druhý pokus dopadne stejně.)

    ArXivovský odkaz jsem tam nedal, protože jsem si myslel, že to na arXivu není. Nevím proč. Dohledal jsem to Gůglem.

    Obscurní souřadnice jsem si vymyslel.

    OdpovědětSmazat