Braessův paradox

V pátek jsem projížděl tramvají přes staveniště tunelu Blanka na Letné, a pohled na rodící se obří víceúrovňovou křižovatku prakticky v centru města ve mně nevyvolal příjemné pocity. Jako obyvatel Prahy mám, a myslím, že oprávněně, v zásadě odmítavý názor na automobilovou dopravu v centru, a jsem přesvědčen, že moderní města mají automobilismus vytlačovat ze svých středů mimo jiné investicemi do veřejné dopravy; z této perspektivy se jeví strategie pražského magistrátu poněkud zastarale. Investice do nákupu nových tramvají na příští rok budou téměř jistě výrazně pod očekáváním [1], výstavba pro jižní části města klíčové linky metra D je v nedohlednu, a stavba nejdelšího městského silničního tunelu v Evropě mi za těchto okolností připadá jako příliš velký luxus.

Dnes ale nechci psát politický pamflet. V tuto chvíli se mi zdají zajímavější paradoxy, které s výstavbou nových silnic přímo souvisejí. Až tolik zajímavý není Downsův-Thomsonův paradox. Ten říká, že investice do rozšíření silnic na úkor investic do veřejné dopravy může vést k tomu, že průjezdnost silnic bude horší, než byla před jejich rozšířením. Logika za tím není nijak překvapivá - zhoršení kvality na dotacích zkrácené veřejné dopravy vyžene víc lidí do aut, a zvýšení automobilového provozu může být výraznější, než bylo zvýšení kapacity komunikací. Skoro bych řekl, že tohoto efektu se můžeme v Praze obávat v souvislosti s výstavbou vnitřního okruhu.

Co je ale mnohem zajímavější, průjezdnost silniční sítě se může po výstavbě nových silnic zhoršit, aniž by došlo k nějakým změnám ve financování veřejné dopravy, či aniž by vůbec v oblasti nějaká veřejná doprava existovala. A aniž by se zvýšil celkový objem přepravy. Prostě je určité množství lidí, kteří se potřebují dostat z A do B, a všichni jedou autem. Postavíte novou silnici (staré silnice zůstanou použitelné), a těmto lidem bude cesta trvat déle. Nevěříte? To je Braessův paradox.

Paradox hned předvedu v celé jeho kráse, ale předtím musím zmínit jeho předpoklady. Za prvé, předpokládám, že každá silnice [2] umožňuje určitou maximální rychlost v_max, a že všechny vozy po této silnici cestují touto rychlostí. Pokud ovšem počet vozů na této silnici překročí určitou mez, začne se jejich rychlost snižovat, a bude tím nižší, čím více vozů na silnici je. Pro jednoduchost budeme uvažovat, že existuje pro každou silnici konstanta N_max udávající, kolik vozidel za hodinu může nejvýše po této silnici jet, aniž by jejich rychlost klesla pod v_max. Pokud je intenzita provozu N, tj. počet vozidel, které projedou za hodinu libovolným bodem silnice, větší než N_max, pak jízdní doba roste lineárně s intenzitou provozu, což znamená, že

v = v_max / (N - N_max).

Že realističnost paradoxu nezávisí na konkrétní podobě této funkce, ale pouze na empiricky potvrzeném faktu, že s rostoucím provozem klesá rychlost, bude doufám na konci jasné.

Druhý předpoklad je, že každý řidič chce dojet do cíle v nejkratším možném čase, a chová se podle toho.

K ilustraci nám stačí velmi jednoduchá síť, sestávající ze čtyř úseků a jedné spojky. Na začátku jsou místa A a B spojena dvěma silnicemi, z nichž každá se dělí na dva úseky. Severní silnice má úseky označené I a II, jižní úseky nesou označení III a IV. Úseky II a III jsou široké silnice, kde může jet až 1000 aut za hodinu plnou rychlostí, přičemž projetí každého z úseků II a III trvá 80 minut. Úseky I a IV jsou kratší, a plnou rychlostí je možné je projet za 50 minut. Jsou ale také užší, takže pokud provoz přesáhne 500 aut za hodinu, jízdní doba se prodlužuje o minutu za každých dvacet aut v hodině.

Jak severní, tak i jižní trasa procházejí městem X, kde jsou také hranice mezi úseky I a II na severu a III a IV na jihu; větve jsou v X odděleny řekou, a jejich spojení je možno jen přívozem, jehož jízdní doba je 35 minut (na obr. vyznačen zeleně).

Předpokládejme, že každou hodinu chce tisíc řidičů přejet z A do B. Pokud by severní trasou jezdilo 600 řidičů, bude jim průjezd úsekem I trvat 55 minut, a celkem by strávili na cestě 135 minut, jižní trasou by jelo 400 řidičů s jízdní dobou 130 minut. Dá se proto očekávat, že v takové situaci se řidiči ze severu začnou postupně přesouvat na rychlejší jižní trasu, až dojde k vyrovnání na poměr 500/500, přičemž oběma skupinám bude ujetí vzdálenosti trvat 130 minut. Toto je Nashova rovnováha: pokud kterýkoli řidič změní silnici, bude na tom tratit.

Ředitelství silnic a dálnic nyní rozhodne, že přívoz v X brzdí rozvoj místní ekonomiky, a nechá v X postavit most. Místo třiceti pěti minut na přívozu stačí teď pár sekund na přejetí mostu [3], a člověk se dostane z úseku III na úsek II, či z I na IV.

Řidič, který dosud jezdil I-II, má před sebou možnost přejet v X na úsek IV, kde byla dosud jízdní doba 50 minut. Tím, že přejede na úsek IV sice mírně sníží jeho rychlost, ale toto snížení je zanedbatelné - celou cestu projede za za 100 minut a tři vteřiny! Ovšem stejně tak řidič dosud jezdivší III-IV může stále jezdit čtvrtým úsekem, ale třetí nahradit prvním, s naprosto stejnou logikou. Je zřejmé, kam to vede. Původní rovnováha se zhroutí, a vytvoří se nová, kdy všichni řidiči budou jezdit úseky I a IV. Díky hustšímu provozu je ale jízdní doba každým z těchto úseků 75 minut, a celkově tak trvá cesta z A do B o dvacet minut více, než před otevřením mostu. Nová situace je znovu v Nashově rovnováze, protože každému jednotlivému řidiči nepomůže, pokud místo I užije III nebo místo IV užije II: v takovém případě by jen ztratil dalších 5 minut.

Na Braessově paradoxu není samozřejmě nic logicky sporného, ale přesto se příčí intuici. Spolu s vězňovým dilematem to je jeden z příkladů situace, kdy nekoordinované racionální chování jednotlivců nevede k optimálnímu výsledku. Kdyby se řidiči mohli domluvit, mohli by i v situaci s mostem jezdit tak, jak jezdili předtím - tj. 500 severní větví, 500 jižní. Ale uspořádání by bylo nestabilní. Každý z řidičů by si mohl cestu výrazně zkrátit jejím porušením, za cenu mírného prodloužení cesty všem ostatním. Že to každý řidič udělá, pokud se mu naskytne příležitost, o tom netřeba pochybovat.

Poznámky:
1. Viz např. zde. Jsem zvědav, jak si při snížení rozpočtu dopadne nákup vozů Škoda 15T, které si DP nasmlouval. Objevují se i pesimistické spekulace.
2. Má-li silnice v různých úsecích různé vlastnosti, pak každý z úseků považujeme za samostatnou silnici.
3. Pro jednoduchos budeme dobu přejetí mostu považovat za nulovou.